追本溯源 以微知著——以教材习题为载体的一节函数探究课

宋翔翔 陈 敏

(1.浙江省瑞安中学 2.浙江省永嘉县罗浮中学)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》中提出:数学教学应着眼于学生的长期发展,回归数学的本来面目.在新课程的背景下,课堂的探究活动,不再停留于机械地对课外教辅书的讲评,这样会造成学生无法抓住知识的本质,不能很好地构建知识体系.课本中的习题具有示范性和典型性,是课本的精髓.因此要追本溯源——深化习题教学,以微知著——充分挖掘习题所蕴含的内在价值和外延价值,从而锻炼学生的思维能力,提升学生的数学学科素养.

一、背景介绍

众所周知,教材中的许多习题是经过编者精心设计的,它们或是重要的结论,或体现某种数学思想方法,亦或是某个数学命题的具体形式,它的延伸和拓广,可以呈现出丰富多彩的数学内容.

数学家波利亚曾指出:“好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找一找,很可能附近就有好几个.”在日常教材习题教学中,仅仅给出问题的解答,并不意味着问题探究的终结,应是导致新的更高层次问题的产生.现以人教A版必修第一册的一道课后习题为载体,以一组特殊函数——双曲函数的探究为主线,充分挖掘教材例习题的拓展教学价值.

为体现教材习题的内在价值,从教材160页综合运用第6题出发,发挥教材习题的教学功能;通过探究双曲正弦和双曲余弦函数的图象与性质,提升学生探究能力;通过概括研究一个新函数的一般路径,树立学生的模型意识;通过设计例题与变式纵向挖掘双曲函数,培养学生高阶思维.

为体现教材习题的外延价值,现介绍双曲函数的历史发展,物理应用和数学延伸,发挥其文化育人功能;提出三个提升与拓展任务,横向挖掘双曲函数,使学生开阔眼界;最后链接高考,通过配套作业发挥教材习题的评价功能.

二、教学过程

2.1 教材习题的内在价值

2.1.1 在习题分析中发挥教学功能

【教学片段1】——原题呈现,解法分析

(人教A版必修第一册第160页综合运用第6题)

(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1;

(2)f(2x)=2f(x)g(x);

(3)g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2.

解法展示解法对比教师总结同学甲直接将函数解析式代入进行指数运算,计算量相对较大同学乙先对式子进行平方差处理,再将函数解析式代入,简化了运算第(2)(3)问亦不难解决角度1:从条件中函数结构来看,这是两个复合函数,由熟悉的指数函数和对勾函数及飘带函数复合而成角度2:从求证的三个恒等式来看,他们均架构起f(x)和g(x)之间的桥梁.这也反映出这两个函数存在着某些内在联系,今天我们就来探究这两个函数,或许能发现其中的一些奥秘

设计意图：现抛出一个教材中的简单习题开启一堂探究课,并对学生的解法做简单点评.接着,从“已知”和“求证”两个角度提出这个习题中有价值的探究点,以小见大,在接下来的探究过程中让学生慢慢认识课本例习题所蕴含的价值.

2.1.2 在发现之旅中提升探究能力

【教学片段2】——绘制图象,探究性质

(学生动手操作,投影展示学生成果,分享作图过程)

生:我是通过取几个特殊点,再用光滑的曲线连接,作出f(x)的图象.

师:用有限个点是否能较为精准的刻画函数的图象?

生:不能,需要借助函数的性质研究.

师:你要研究这个函数的哪些性质?研究的先后顺序如何?

生:先研究定义域,奇偶性,再研究单调性,值域等.

师:奇偶性在研究函数性质的过程中能起到怎样的作用?

生:奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反.

奇偶性可以让函数单调性的研究缩短一半进程.

师:在(0,+∞)上只取了有限个点,用光滑曲线连接,一定是单调递增的吗?

可以通过哪些方法来研究函数f(x)在(0,+∞)上的单调性呢?

生:增函数-减函数=增函数;用定义法严格证明.

师:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,是否有可能最后趋向一个常数?

生:不可能趋于一个常数.角度1:指数函数爆炸式增长;角度2:函数值域.

生:类比f(x)的探究过程,g(x)先研究函数的定义域,奇偶性,再研究其单调性.

师:定义法不再重复,可以选择复合函数单调性分析.

学生导学案:f(x)=ex-e-x2g(x)=ex+e-x2定义域奇偶性单调性值域渐近线

师:在几何画板中把两个函数放在同一直角坐标系中,两个函数有交点吗?

生:形少数时难入微,g(x)-f(x)>0从代数的角度严格论证f(x)的图象始终在g(x)的图象下方.

设计意图：给出一个问题的解答,并不意味着问题探究的终结,而要引出更高层次问题.关于问题1,教师要鼓励学生勇于探索和大胆实践,及时启发引导学生发现更多的问题,由浅入深,进而在教师的引导下解决.不断挖掘教材中例习题的多种功能,挖掘其值得探究的知识增长点,深化例习题教学,发挥其内在作用,以达到深化知识、活跃思维、提高能力的目的.

2.1.3 在归纳概括中树立模型意识

【教学片段3】——归纳路径,建立模型

问题2:你能否根据两个特殊函数的探究过程,总结一个新函数的基本研究路径?

设计意图：关于问题2,让学生经历从特殊到一般的抽象概括活动,有目的性、有针对性、有选择性地引导学生学习,教给学生探究的方法和策略,培养科学的探究精神,使学生真正实现数学的“知识价值”到“思维价值”的转化,逐渐树立模型意识,从而达到会一题通一类的效果.

2.1.4 在变式训练中培养高阶思维

【教学片段4】——典例和变式

探究与发现：

师:双曲正弦函数和双曲正切函数的图象除了(0,0)还有别的交点吗?

师:如何求双曲正切函数的值域?

生:利用复合函数求解,值域是(-1,1).

师:这说明函数h(x)不同于双曲正弦函数,它有两条渐近线.

学生导学案:f(x)=ex-e-x2g(x)=ex+e-x2h(x)=ex-e-xex+e-x定义域奇偶性单调性值域渐近线

师:将具体函数h(x)换成一个抽象函数模型,同样的问题,该如何解决?

生:需要探究抽象函数的奇偶性和单调性.

师:没有具体解析式,如何研究函数的这两个性质?

生:借助奇偶性和单调性的定义(动手操作并展示).

师:事实上这个抽象函数的具体函数模型就是例题中的双曲正切函数,有兴趣的同学可以课后证明一下.

设计意图：通过例题和变式,纵向探究双曲函数,在教学中应尽可能多地从深度和广度上挖掘教材习题涉及的数学内容,并引导学生对它们进行梳理、归类、比较和优化.这样,在学习基础知识、掌握基本技能的同时,能使学生的高阶思维能力得到培养.

2.2 教材习题的外延价值

2.2.1 在文化渗透中实现育人功能

【教学片段5】——双曲函数的背景介绍

(1)双曲函数的历史发展

我们探究的这一组函数叫作双曲函数,分别为双曲正弦函数和双曲余弦函数.

双曲函数最早出现在悬链线的研究之中.意大利著名画家达·芬奇在创作《抱银貂的女子》时思考过:固定项链两端,在重力的作用下自然下垂,项链所形成的曲线是什么?这就是著名的悬链线问题.连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用这种方法设计的.

(2)双曲函数的物理应用

双曲函数并非单纯是数学家头脑里的抽象,在物理学众多领域都可以找到丰富的实际应用实例.比如:阻力落体,导线电容,粒子运动,悬链线等.

(3)双曲函数的数学延伸

从形式上看,双曲函数是由指数函数构成的初等函数,而从名字上看,它和三角函数有着千丝万缕的联系.另外,我们还可以在课后了解双曲函数和导数,不定积分,级数表示等知识的联系.

设计意图：在传统数学课堂中,单一的评价体系以及孤立的学科建设弱化了数学文化在数学教学中的价值,使得课堂趋于乏味、枯燥.随着新课程改革的深入,数学的文化价值受到强调,在数学教学中渗透数学文化,能够让数学课堂“有血有肉”.

2.2.2 在提升拓展中开阔眼界

【教学片段6】——提升与拓展

拓展点1：(方法迁移)你能用所学的其他基本初等函数进行四则运算或函数复合,得到新的函数并对其展开研究吗?

拓展点2：三个双曲函数所满足的恒等关系式远不止教材提供的三条,你能挖掘更多关于双曲函数的恒等关系式吗?

例如:sinh(x±y)=sinhxcoshy±coshxsinhy;

cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy.

拓展点3：课上提到了悬链线问题,有兴趣的同学可以查阅资料,了解更多关于双曲函数的相关知识,以及它和三角函数,对数函数,导数等知识领域的联系.

设计意图：通过提升与拓展,把探究延伸到课堂之外.在数学教学中,我们要善于挖掘教材的外延教学功能,教材中有一些典型性题目,它们或者是重要的结论,或者是某种数学思想方法,或者是某个数学命题延伸和拓广,课上有限的时间无法完成的探究,咱们可以抛砖引玉,引导学生课后主动学习,开阔眼界.

2.2.3 在高考真题中发挥评价功能

【教学片段7】——课后作业,链接高考

1.(2019年北京卷理科13)设函数f(x)=ex+ae-x,若f(x)为奇函数,则a的值为________;若f(x)在R上是增函数,则a的取值范围为________.

【参考答案】-1,(-∞,0]

2.(2021年新高考Ⅰ卷13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=________.

【参考答案】1

3.(2017年全国Ⅲ卷理科11)已知函数f(x)=x2-2x+k(ex-1+e-x+1)和x轴有唯一交点,则k=________.

( )

A

【参考答案】B

设计意图：双曲函数是工程技术中的常用的函数,尽管高中数学教学中没有对其进行系统学习,但随着新课程改革的深入,教材习题正向我们发出信号,要把它当做一个研究性学习的对象.可以看到,近几年高考题中经常看到与之相关的考题.因而对这组函数的图象性质等进行一个深入的探索,对提高数感,提高解题速度与准度,数形结合巧解相关题目等是很有帮助的.

三、教学反思

3.1 教材是命题的源

教材习题经常不经意出没于高考之中,让人猝不及防.

如一道天津高考数学卷的填空压轴题:设a∈R,对任意实数x,记f(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5},若f(x)至少有三个零点,则a的取值范围为________.不知道细心的老师有没有注意到这样一个细节?取小函数、取大函数命题人默认考生是知道的.命题人的底气是什么?底气就是新教材.在新教材必修第一册的第68页,例6给出了取大函数的定义.

按照目前的命题趋势,命题老师可以围绕教材里给出的很多例习题做文章.以人教A版必修第一册为例,第43页综合运用第10题的糖水不等式,第46页联系第2题的调和不等式,第74页综合运用第13题的取整函数,第86页综合运用第8题的对勾函数,第101页综合运用第8题出现的琴生不等式,第135页探究与发现出现的反函数概念等等,诸如此类潜藏在教材里的素材举不胜举.

3.2 教材是教学的根

教材是最标准、最权威的示范性文本,是教材编写者的匠心所在.本节课我们从教材习题出发,通过对一类特殊函数的研究,进一步加深对研究函数知识的认识与理解,同时,提升了直观想象,逻辑推理,数学运算等核心素养.作为一线教师,我们要重视教材,钻研教材、吃透教材、整合教材,认真研习每一道习题,实现教材教学功能的最大化、最优化,这样对培养学生的数学核心素养都有着深远的意义,也是我们自身专业成长的必经之路.