注重四基四能,凸显价值引领——近三年新高考开放性试题赏析

范友宝

(广州外国语学校)

2020年10月,《深化新时代教育评价改革总体方案》提出,“构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系”,构建包括“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”在内的高考考查内容体系,“改变相对固化的试题形式,增强高考试题的开放性,减少死记硬背和‘机械刷题’的现象”.开放性试题打破了传统意义上封闭性试题的固有模式,成为近几年新高考试题考查的重点内容,问题设置新颖灵活,答案丰富多样,试题呈现出多样化、个性化的特征.注重考查学生的独立性、批判性、发散性思维能力.

一、对开放性试题的认识

开放性试题是相对于封闭性试题而言的,是没有固定的答案或者唯一的结论的一种命题形式,试题通常会围绕某一核心主题,提供一定的情景信息,要求学生根据题目的情景进行深入的思考和分析,应用所学知识对问题进行全面分析、尝试、思考、判断,以充分揭示问题的本质特征.从多方面、多角度、多层次地探究问题,有效地解决问题,表达自己的思想.开放性试题基于真实情景,设问方式新颖灵活,着重考查了学生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、创新能力等,因此开放性试题在考查学生高阶的认知水平,学科的核心素养方面有着独特的优势,这也是开放性试题成为近几年新高考考查的高频考点的重要原因.下面以2023年新高考试题中的开放性试题为例,详细介绍开放性试题如何发挥试题价值引领作用,以更好地服务教学.

二、近三年开放性试题统计

2023年的高考试题有9套数学试卷,2021年和2022年的高考均有10套数学试卷.三年共有29套试卷,其中的开放性试题共计20道,主要分布在全国卷、新高考卷、北京卷.开放性试题一般划分为条件开放、结论开放、条件与结论均开放三大类型,依此对2021—2023年高考数学开放性试题的题型、考查知识点、分值、题量等进行统计整理.

从上表1、图1、图2、图3的统计分析来看,近三年高考数学开放性试题呈现出以下特点:

图1 2021—2023年高考数学开放性试题的试卷分布图

图2 2021—2023年高考数学开放性试题的题型分布图

图3 2021—2023年高考数学开放性试题的考点分布图

图①

图5

表1 近三年高考数学中的开放性试题

(1)从试题的题型角度看,考查的试题类型多数为选择、填空题形式,难度中等,且填空题占比较多.

(2)从试题的分布来看,试题集中出现在全国甲、乙卷、新课标Ⅰ、Ⅱ卷、北京卷,其中北京卷连续三年均出现了开放性试题.

(3)从知识点的考查看,近三年开放性试题集中考查了三角函数与解三角形,其次是圆锥曲线、函数、导数、立体几何等,这也说明开放性试题覆盖的范围越来越丰富.

(4)从试题开放的类型来看,选择题与填空题多数设置为结论开放(答案不是唯一的,写出其中一个满足题意要求的即可,比如2023年北京卷第13题),解答题多数设置为条件、结论均开放型的试题(题设与结论都开放,题目较为灵活,选择不同的备选条件,答案一般是不同的,比如2022年新课标Ⅱ卷第21题),考查知识点多数以圆锥曲线、三角函数与解三角形为主.

三、近三年高考开放性试题赏析

2021—2023年高考数学试题中开放性的试题在全国卷、新课标卷和北京卷中均有出现,笔者以近三年高考试题中的开放性试题为切入点,结合题目所考查的知识点对近三年高考数学开放性试题做详细解读,探讨试题的价值引领,以更好地服务今后的教学.

3.1 条件开放型的高考数学试题

【例1】(2021年新高考Ⅱ卷第22题)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)从下面两个条件中选一个,证明:f(x)恰有一个零点.

解：(Ⅰ)由函数的解析式得f′(x)=x(ex-2a),

当a≤0时,若x∈(-∞,0),则f′(x)<0,f(x)单调递减,

若x∈(0,+∞),则f′(x)>0,f(x)单调递增;

若x∈(0,+∞),则f′(x)>0,f(x)单调递增;

(Ⅱ)若选择条件①:

而f(x)在(-∞,0)上单调递增,故函数在(-∞,0)上有一个零点.

故aln(2a)[2-ln(2a)]≥0,

结合函数的单调性可知f(x)在(0,+∞)上没有零点.

综上可得,题中的结论成立.

若选择条件②:

当b≥0时,e2>4,4a<2,f(2)=e2-4a+b>0,

而f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)在(0,+∞)上有一个零点.

当b<0时,构造函数H(x)=ex-x-1,则H′(x)=ex-1,

当x∈(-∞,0)时,H′(x)<0,H(x)单调递减,

当x∈(0,+∞)时,H′(x)>0,H(x)单调递增,

注意到H(0)=0,故H(x)≥0恒成立,从而有:ex≥x+1,当x≥1时,f(x)=(x-1)ex-ax2+b≥(x-1)(x+1)-ax2+b=(1-a)x2+(b-1),

则f(x0)>0,

而f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)在(0,+∞)上有一个零点.

f(ln(2a))=2a[ln(2a)-1]-a[ln(2a)]2+b

≤2a[ln(2a)-1]-a[ln(2a)]2+2a

=2aln(2a)-a[ln(2a)]2

=aln(2a)[2-ln(2a)],

故aln(2a)[2-ln(2a)]<0,

结合函数的单调性可知f(x)在(-∞,0)上没有零点.

综上可得,题中的结论成立.

【评析】本题是2021年新高考Ⅱ卷第22题,作为压轴解答题,综合性较强,难度较大,分值12分.第一问考查函数的单调性,利用导数研究函数单调性是常用方法,求得导数后含有参数,导函数f′(x)=x(ex-2a),由于导函数的符号不能确定,所以需要分类讨论;在第二问中,给出了两个条件供考生选择,但是结论是确定的,因此属于条件开放型的试题.第二问需要由题意结合第一问中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.作为条件开放型的函数与导数题,考查了学生分析问题、解决问题的能力,注重考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养.

3.2 结论开放型的高考数学试题

【例2】(2023年天津卷第5题)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为

( )

【例3】(2021年全国乙卷第16题)以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即可).

【答案】③④或②⑤

【评析】例题2为给定三角函数的某些性质作为条件,寻求满足条件的函数解析式,符合此类条件的解析式答案不唯一,属于结论开放型试题;例题3以立体几何的三视图为切入点,考查了学生对立体图形三视图内容的掌握情况,考查了学生的空间想象能力,由于答案不唯一,也属于结论开放型试题.此类题目不同的答案意味着学生的思维方式与角度不同,考查了学生的发散性思维.

3.3 条件、结论开放型的高考数学试题

注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.

所以f(x)的最大值为1,最小值为-1.

所以f(x)=sin(x+φ).

以下与条件②相同.

四、教学启示与备考建议

4.1 开放性试题,从解答问题到提出问题的转变

发现问题与提出问题是创新的前提与基础.开放性试题的考查,使得学习不仅仅是会解答某一类问题,更重要的是教会学生如何提出自己的见解,在思维的碰撞中提出问题,从而解决问题.通过创新性问题的考查,进一步培养学生提出问题、解决问题的能力.例如在2019年人教A版教材必修一与必修二课程的教学中,设计了以下习题:

(1)求tanβ的值;(2)你能根据所给条件,自己构造出一些求值问题吗?

(必修第二册P152第3题)如图,在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中,当底面四边形ABCD满足什么条件时,A′C⊥B′D′?

通过在教学中设置开放性试题,引导学生自行提出问题、分析问题、解决问题,提升学生的发散性思维,改变了过去以解决问题为中心的教学方式,真正体现以学生为主体,彰显了高考评价体系中对发展学生四基四能的重视,体现教材的育人价值.

4.2 开放性试题,从模仿学习到创新应用的转变

相比于传统意义上的讲授式学习,开放性试题的出现更能激发学生探究学习的兴趣,以教材中的内容为主体,设计探究性问题与活动,通过问题驱动教学,激发学生提出新的问题的主观能动性,避免了机械刷题的单调.开放性试题的设置,倡导学生多角度地思考与分析问题,更有利于发展学生的数学思维.

4.3 开放性试题,从学科知识到核心素养的转变

开放性试题,由于条件与结论的开放性,学生需要综合分析多个条件与结论之间的互通性与关联性,通过对比分析选择的过程,考查了学生的逻辑推理能力,同时开放性试题有些条件不同导致的结论也不尽相同,根据不同条件建立不同的思路,更好地考查了学生的综合分析能力与思维,相比传统意义上的问答题,更好地考查了“四层”中的学科素养、关键能力、必备知识,更有利于高考选拔人才.