钢筋混凝土柱的易损性函数研究

代旷宇，于晓辉，吕大刚

(1.郑州大学水利与土木工程学院，郑州 450001；2.哈尔滨工业大学土木工程学院，哈尔滨 150090；3.桂林理工大学土木建筑工程学院，桂林 541004)

历史地震表明：地震将会造成建筑物的损伤，从而引起巨大的人员伤亡和巨量经济损失。为科学的评估建筑物的抗震性能，美国于20 世纪90 年代中期开展了ATC-33 项目，相关研究成果最终形成了ASCE/SEI 41-17 系列规范[1]。在此期间，基于性能地震工程(Performance-based earthquake engineering, PBEE)的理念逐渐成型，并逐渐成为土木工程和地震工程领域众多专家、学者和工程师们的广泛共识。

早期的PBEE 框架无法考虑地震强随机性、复杂性及结构存在的不确定性[2]。2000 年以后，CORNELL 和KRAWINKLER[3]学者提出了新一代的PBEE 研究框架，将研究由第一代基于性态性能目标的确定性框架向第二代基于可靠度和风险为性能目标的全概率框架转变[4]。第二代的PBEE中的一个重要的研究目标是对建筑结构的震后损失进行精细化的分析。为达到这一目标，学者提出了构件的易损性函数这一概念[5]。构件的易损性函数表征了构件在不同大小的需求参数条件下，发生不同状态损伤的概率。同时，其通过定义不同损伤状态对应的修复方法及造价信息，可对震损建筑后期修复所需的直接加固费用及采用不同加固方法所造成的间接经济损失进行评估。受FEMA[6]资助，研究人员基于构件的试验信息建立了混凝土结构[7]、钢结构[8]、木结构[9]、砌体结构[10]等各类结构关键构件的易损性函数。此外，FEMA P-58 项目组还开发了性能评估计算工具PACT(Performance assessment calculation tool)[11]，将已获得的构件易损性函数储存在内，从而用于各类型结构的损失评估。然而，目前PACT 中所包含的易损性函数仅相容于美国规范。由于中美规范的差异性[12]，因此，这些易损性函数无法直接用于中国结构的地震损失及韧性评估工作。

鉴于上述，本文面向我国量大面广的钢筋混凝土(RC)结构，针对RC 结构中的关键抗侧力构件—柱，基于大量文献调研，建立了满足我国现有设计规范的钢筋混凝土柱的拟静力试验数据库。参考现行规范及相关研究，定义了RC 柱的损伤状态及修复方法。基于FEMA P-58 方法，建立了RC柱在各损伤状态下所对应的易损性函数，并对所建立的易损性函数进行了质量评定。同时讨论了抗震设防等级和轴压比对易损性函数参数及易损性曲线的影响。

1 构件易损性函数的建立

1.1 构件易损性函数的概念

构件的易损性函数表征了在给定需求参数下，构件不同损伤状态下的失效概率，在研究中一般假定其服从对数正态分布[13-15]，其表达式为：

式中：Fi(EDP)为构件在损伤状态i时的条件概率；EDP 为工程需求参数；Φ 为标准正态(高斯)累积分布函数；θi为概率分布的中位值；βi为对数标准差。

由式(1)可看出，确定构件的易损性曲线最重要的是确定其在各个损伤状态下的中位值θi及对数标准差βi。FEMA P58 中给出了不同数据来源及数据质量情况下建立构件易损性函数的多种方法。其中，在实际需求数据已知时(即通过试验可直接获取需求参数对应数据)，可采用图1 所示的7 个步骤建立构件易损性函数。

图1 易损性函数的建立流程Fig.1 Process to develop the fragility function

由图1 可看出，易损性函数建立流程总体上可分为三个阶段，步骤1～步骤4 为数据准备阶段，步骤5 为参数计算阶段，步骤6～步骤7 为质量评定阶段。

1.2 数据准备

建立构件的易损性函数首先可通过搜集既有文献研究建立所构件的试验数据库。随后，基于构件在地震作用下不同阶段的损伤特征，须确定构件的损伤状态及对应的修复方法。在此之后，选择合适的工程需求参数，提取各级损伤状态构件所对应的数据点。通过步骤1～步骤3 获取各损伤状态下构件对应的数据点后，须在步骤4 中采用Peirce 准则对各组数据进行校验，删除数据集中的离群值，相关理论见文献[16]。

1.3 参数计算

步骤5 为参数计算阶段，在获取优化后的数据集后可通过相应公式计算易损性函数的参数值。对于中位值θi，可由式(2)计算：

式中：M为试验数据的数量；dj为构件的通过试验测得的第j个需求值。

对于对数标准差βi，实质上为考虑不确定性对易损性函数影响的参数，其计算式为：

式中，βr,i和βu,i分别为易损性函数中考虑本质不确定性和主观不确定性的对数标准差。

βr,i的计算公式为：

对于βu,i，FEMA P-58 给出了βu,i≥0.25 及βu,i=0.1 两种取值方式，具体取值情况及对应的条件如表1 所示。

表1 βu,i 的取值及对应的条件Table 1 Values of β u,i and the corresponding conditions

1.4 质量评定

在获取易损性函数的参数值后，须通过步骤6和步骤7 对获得的易损性函数的质量进行评定。根据FEMA P-58 规范[6]，易损性函数的质量可分为高、中和低三个等级。对易损性函数进行质量评定的主要目的为给出易损性函数的可信程度供决策者参考。对于基于实测数据建立的易损性函数，根据FEMA P-58 规定[6]需综合考虑数据质量(相关文献是否通过同行评议)、试件数量及函数是否通过Lilliefors 检验[17]等方面对其质量进行综合评定，如表2 所示。

表2 易损性函数质量评定准则Table 2 Criteria to assess the quality of fragility function

Lilliefors 检验[17]是为了易损性函数是否满足假定的对数正态分布。在易损性函数的假设检验中，一般取显著性水平为5%。通过对比经验累积分布函数和假设累积分布函数之间的最大绝对差D值与5%显著水平下计算得到的临界差Dcritical值的大小，可判定样本分布是否通过Lilliefors 检验。当D≤Dcritical时则接受易损性函数正态分布假设，D＞Dcritical则表示可拒绝接受对数正态分布的假设。其中，D值可由式(5)计算：

式中，SM(EDP)为试验样本的累计概率分布函数，其计算公式为：

Dcritical值与数据量及所考虑的显著性水平相关，在5%显著性水平时，其计算式为：

式(5)为求解在给定EDP 下，通过易损性函数计算得到的理论易损性曲线与经验易损性累计概率曲线超越概率相减的最大绝对值，其示意图如图2 所示。

图2 理论易损性曲线和经验易损性曲线Fig.2 Theoretical and empirical fragility curve

2 RC 柱的试验数据集

搜集国内外文献，建立了包含346 根柱试件的拟静力循环往复试验数据库。参考我国现行《混凝土结构设计规范》(GB 50010-2010)[18]及《建筑抗震设计规范》(GB 50011-2010)[19]，采用以下准则筛选满足我国设计规范的RC 混凝土框架柱试验数据：

1) 试件的剪跨比大于2 且柱截面长边与短边之比小于等于3；

2) 试件的混凝土强度介于C20～C50 之间；

3) 试件的纵筋的钢筋强度大于HRB400 钢筋的标准值400 MPa，箍筋的钢筋强度大于HRB335钢筋的标准值335 MPa；

4) 试件的轴压比大于0，且设计轴压比小于1.05；

5) 试件的纵筋配筋率大于0.5%；

6) 试件的箍筋体积配箍率大于0.4%。试件的试验配箍特征值满足《建筑抗震设计规范》表6.3.9中各抗震等级对应最小配箍特征值的要求。此外，箍筋间距需小于等于150 mm；

7) 试件的破坏模式为弯曲破坏或弯剪破坏。

共挑选得到107 根满足上述挑选准则的柱试件，试件的主要设计参数范围如表3 所示，详细设计信息见文献[20]。此外，由于试件构造形式及加载时的边界条件不同，本文对所有构件的荷载-位移数据进行了归一化处理，将所有数据按照图3 所示转换为假定加载试件为悬臂柱时的弯矩-转角数据[21]。

表3 柱试件的主要设计参数范围Table 3 Range of the main design parameters of the columns

图3 RC 柱归一化边界条件Fig.3 Normalized boundary conditions of RC column

3 损伤状态、修复方法及数据提取

3.1 损伤状态及修复方法

结合钱稼茹和冯宝锐[22]的研究及《高层建筑混凝土结构设计规程》(JGJ 3-2010)[23]，本文将RC柱的损伤状态分为六级：轻微损坏、轻度损坏、中度损坏、比较严重损坏、严重损坏和倒塌，编号分别命名为DS1～DS6，上述损伤等级划分亦被我国的《建筑结构抗倒塌设计标准》(T/CECS 392-2021)[24]所采用，柱构件在各损伤状态下对应典型的试验现象的图片如图4 所示。参考PAGNI 和LOWES[25]及GOKSU 等[26]研究，表4 给出了各损伤状态对应的修复方法。上述修复方法是PAGNI和LOWES 结合FEMA 308 规范[27]及专家问卷调查制定的。

图4 各损伤状态的典型试验现象图片Fig.4 Typical phenomena images for each damage state

3.2 工程需求参数及数据点提取

过去的研究表明：采用位移角作为混凝土试件的工程需求参数相对于其它参数如加载圈数、应变、能力耗散等，能更好的描述需求参数与损伤状态的关系[25-28]。因此，本文采用位移角作为RC柱易损性函数的工程需求参数。钱稼茹和冯宝锐[22]的研究表明：RC 柱的损伤状态与位移转角之间存在很强的相关性。二者通过建立了RC 柱构件的四折线弯矩-转角(M-θ)骨架曲线，并标定了柱构件各损伤状态对应的骨架曲线特征点，如图5 所示。上述研究被我国的《建筑结构抗倒塌设计标准》(T/CECS 392-2021)[24]所采用。

图5 损伤状态在四折线骨架曲线所对应的特征点Fig.5 Characteristic points corresponding to the damage states in the backbone curve

图5 中：骨架曲线上的特征点包括B点、IO点、C点、LS点、D(CP)点和E点，分别对应构件达到轻微损坏、轻度损坏、中度损坏、比较严重损坏、严重损坏和倒塌。其中，B点、C点、D点和E点分别对应骨架曲线上的名义屈服点(此时My=0.8Mp)、峰值点、抗弯承载力下降15%和25%的点。值得注意的是，《建筑结构抗倒塌设计标准》[24]将构件的弯矩承载力下降15%之后的损伤状态统一规定为“严重损坏”，并未对弯矩承载力下降25%的损伤状态进行定义。考虑上述问题，本文参考崔济东[29]针对RC 柱的相关研究，将E点之后的状态定义为“倒塌”，构件在D点时承载力下降但仍具备竖向承载能力，而在达到E点时彻底失去竖向承载能力。

基于上述研究，本文提取了试验数据集107根构件的骨架曲线，并通过骨架曲线获得了各损伤状态所对应的位移角数据点，用于建立RC 柱的易损性函数。试件各损伤状态所对应的位移角数据详见文献[20]。

4 RC 柱的易损性函数及评估

4.1 易损性函数参数及曲线

在删除离群值后，结合式(2)～式(4)可得到RC柱在各极限状态的易损性函数参数，如表5 所示。由表5 可看出，随着试件的损伤等级的提升，其易损性函数位移中位值θ 逐渐增长。RC 柱在易损性函数的对数标准差β 处于0.339～0.425，构件间变形能力变异性较低。这说明了按我国当前规范设计的柱试件的可靠性较高。此外，由DS5 和DS6 的中位值θ 仅从4.107%增长至4.52%，可看出试件在严重破坏阶段后轻微的位移增长即可造成试件倒塌。这表明严重破坏及倒塌的分界点并非十分明显。

表5 易损性函数参数Table 5 Parameters of fragility functions

将易损性函数参数代入式(1)可得到RC 柱的易损性曲线，如图6 所示。由图6 可看出随着损伤状态的提高，在相同位移下高损伤状态易损性曲线的超越概率逐渐减小。对比DS5 和DS6 曲线，可看出二者之间的差异性相较于其余损伤状态对应的易损性曲线较小。

图6 RC 柱的易损性曲线Fig.6 Fragility curves of RC columns

4.2 函数质量评定

4.2.1 Lilliefors 检验

通过式(5)～式(7)可获得各易损性函数的Lilliefors 检验结果，如表6 所示。由表6 可看出，DS1、DS4、DS5 和DS6 通过了5%显著性水平下的正态分布的假设。DS2 和DS3 并未通过Lilliefors检验，但对比D和Dcritical值可发现其数值相差并不明显。这意味着对DS2 和DS3 的易损性函数采用对数正态分布函数假定并不会造成结果的显著误差。

表6 Lilliefors 检验结果Table 6 Results of Lilliefors test

4.2.2 本文结果与FEMA P-58 对比

表7 中对比了FEMA P-58/BD3.8.6[7]中的弯曲破坏为主的RC 柱的易损性函数与本文结果。FEMA P-58 易损性函数所采用的试件均满足ASCE/SEI 41-06[30]设计规范中的构造要求。FEMA P-58 将RC 柱的损伤状态划分为DSC、DS0、DS1、DS2 及DS3五个等级，分别与本文的DS1～DS5 对应。由表7可看出，本文易损性函数的中位值θ 整体上高于FEMA P-58 结果。这说明采用中国规范设计的柱构件的在低损伤状态下的变形能力要高于美国规范的构件。随着损伤状态的提升，二者在DS5 时差异性仅有2.93%。说明中美规范设计的柱构件的极限变形能力相似。此外，对比二者的对数标准差，可发现FEMA P-58 结果与本文研究结果存在差异性。这是由于FEMA P-58 在中获得试件易损性函数时采用的数据量小(36 榀构件)且主要设计参数的变异程度比本文小所导致的。

表7 FEMA P-58 结果与本文结果对比Table 7 Comparison of fragility function parameters between FEMA P-58 and this study

4.2.3 函数质量评定

由表7 给出的易损性函数质量评定准则可对本文的易损性函数进行质量评定。由于本文易损性函数满足以下要求：1) 所搜集的试验数据均来源于期刊或学位论文，数据质量经过同行评议检验；2) 试件数量大于5 个；3) 大部分易损性函数通过了5%显著水平的Lilliefors 检验，未通过的易损性函数的D和Dcritical值亦相差较小；4) 易损性函数的中位值θ 与FEMA P-58 接近；5) 易损性函数的对数标准差β 介于0.2 和0.6 之间。因此，本文建立的易损性函数质量整体可判定为高质量水准。

5 影响因素分析

过去的研究表明：轴压比、配筋率、体积配箍率、剪跨比等设计参数影响RC 柱试件的变形能力[28-31]。其中，配筋参数及轴压比对其影响尤为明显[22]。参考《建筑抗震韧性评价标准》(GB/T 38591—2020)[32]，按试件配筋参数及试验轴压比将试件划分为六组。对于配筋参数，根据抗震规范对于各级框架柱需满足的配箍特征值及最小配筋率，将试件按抗震等级分为一级、二级和三、四级三类。同时，轴压比考虑v≤0.3 及v>0.3 两种情况。将v≤0.3 的试件定义为低轴压比试件，v>0.3的试件定义为高轴压比试件，该分组方式亦被纪晓东等[12]在进行RC 剪力墙构件易损性函数研究时所采用。

5.1 易损性函数参数影响

分别对不同抗震等级及轴压比分组的试件建立易损性函数，其易损性函数参数值如表8 所示。由表8 中给出的易损性参数值可获得易损性函数参数随抗震等级及轴压比的变化规律，如图7所示。由图7 可看出，在相同的损伤状态及设防等级下低轴压比试件的易损性函数中位值θ 总是高于高轴压比试件。同时，在低轴压比工况下，θ 值与试件的设防等级显示出了明显的规律性。一级框架柱的θ 值高于二级框架柱，二级框架柱高于三、四级框架柱。在高轴压比工况下，一级框架柱在部分损伤状态的θ 值低于二级框架柱，但差别极小，且二者均明显高于三、四级框架柱。

表8 钢筋混凝土柱考虑抗震设防等级及轴压比的易损性函数Table 8 Fragility functions for RC columns considering seismic grade and axial load ratio

图7 易损性函数参数随抗震等级及轴压比的变化Fig.7 Fragility function parameters variation with seismic grade and axial load ratio

对于易损性函数的对数标准差β，可看出其在不同设防等级及轴压比的工况下并未显现出与中位值θ 类似的明显规律。然而，从整体上可看出β 值的范围约在0.3～0.45。各工况的β 值在DS3 时整体上最高。这是由于RC 柱试件峰值点所对应位移角的变异性较高所导致的。在DS6 时，各工况的β 值的差异性最小，这说明RC 柱试件在给定设防等级及轴压比下的极限变形能力的差异性较小。

5.2 易损性曲线影响

本文采用了ΔPf这一指标用于定量化研究抗震设防等级及轴压比对RC 柱试件在各损伤等级的易损性超越概率的影响[33]，其定义为在相同的损伤状态下两条易损性曲线的超越概率之差，其计算公式为：

由表8 和图7 可看出，在相同的损伤状态下一级框架柱和三、四级框架柱的易损性函数的差异性最高。因此，本文将二者进行对比，通过将相同损伤等级的三、四级框架柱与一级框架柱的易损性曲线超越概率相减，研究设防等级对易损性曲线超越概率的影响，如图8 所示。由图8 可看出，在相同的轴压比分组下，ΔPf的最大值总体上随损伤状态提高而增长。对于低轴压比柱试件，三、四级框架柱与一级框架柱在各极限状态的最大ΔPf值分别为0.58%、4.63%、4.86%、8.93%、10.65%和11.79%。相比低轴压比试件，框架柱的抗震设防等级对于高轴压比试件的影响更加明显，其最大ΔPf值分别为6.81%、6.58%、7.61%、9.34%、14.48%和15.39%。上述现象说明，在高轴压比的工况下RC 柱的易损性函数受抗震设防构造的影响更为明显。

图8 三、四级框架柱和一级框架柱的ΔPfFig.8 ΔPf between RC columns at the first and third/fourth seismic grades

图9 显示了一级、二级及三、四级框架柱在高轴压比与低轴压比工况下ΔPf随位移角的变化规律。由图9 可看出。在相同的抗震设防等级下，ΔPf的最大值随损伤状态提高呈现先增长后下降的规律。在抗震设防等级为一级、二级及三级、四级时，ΔPf的最大值分别达到了42.61%、37.11%和43.37%。三、四级框架柱受轴压比的影响最为明显，其在各损伤等级对应的最大ΔPf值整体上要高于一级和二级框架柱。此外，不同损伤等级下，轴压比对各级框架柱在DS6 时的最大ΔPf值影响最小。

图9 高轴压比与低轴压比框架柱的ΔPfFig.9 ΔPf between RC columns with high and low axial load ratio

6 结论

本文基于满足我国现有设计规范的RC 柱试验数据，采用FEMA P-58 方法，选择RC 柱的位移角为工程需求参数，建立了其在不同损伤状态下的易损性函数，同时分析了抗震设防等级及轴压比对易损性函数的影响。本文结论如下：

(1) RC 柱的损伤状态被划分为轻微损坏、轻度损坏、中度损坏、比较严重损坏、严重损坏和倒塌六个，各状态对应的易损性函数中位值分别为0.764%、1.413%、2.041%、3.084%、4.107%和4.52%，对数标准差分别为0.339、0.388、0.425、0.38、0.372 和0.353，本文建立的易损性函数质量整体处于高质量水准。

(2) 对比本文结果和FEMA P-58 结果，采用中国规范设计的柱构件的在低损伤状态下的变形能力要高于美国规范的构件，二者在在临近极限状态时的变形能力相似。对于对数标准差，由于FEMA P-58 在中易损性函数考虑的数据量小且设计参数的变异程度比本文大，造成本文与FEMA P-58 结果存在一定差异。

(3) 在相同的轴压比分组下，各级框架柱的易损性函数的中位值θ 随抗震设防等级的提升而提高，而对数标准差β 的范围约为0.3～0.45。

(4) 三、四级框架柱与一级框架柱在各极限状态的易损性曲线的超越概率之差在低轴压比工况和高轴压比工况下最高可达到11.79%和15.39%，在高轴压比的工况下RC 柱的易损性函数受抗震设防构造的影响更为明显。

(5) 在相同的抗震设防等级下，易损性曲线的超越概率之差的最大值随损伤状态提高呈现先增长后下降的规律。一级、二级及三、四级框架柱最大可达到42.61%、37.11%和43.37%。三、四级框架柱受轴压比的影响最为明显。此外，轴压比对各级框架柱在DS6 时的最大超越概率之差影响最小。