随机激励下带滞变阻尼的调谐质量阻尼器减振性能研究

向 越，谭 平，贺 辉，陈倩敏

(1.广州大学土木工程学院，广州 510006；2.广州大学工程抗震减震与结构安全教育部重点实验室，广州 510006；3.湖南工学院土木与建筑工程学院，衡阳 421002)

调谐质量阻尼器(TMD)作为结构被动控制策略，其应用在机械、土木行业取得重大进展[1-3]。欧进萍等[4]弥补了我国调谐控制体系的空缺，提出了适用于调谐质量控制系统的分析与设计框架。李春祥等[5]研究了TMD 高层钢结构系统的风振舒适度控制设计方法。众所周知，TMD 的参数对结构控制效果十分重要。传统TMD 的参数优化有三大准则，分别是H∞优化准则[6]、H2优化准则[7]以及稳定性优化准则[8]，三者分别代表了简谐激励下使结构频响函数峰值的最小化、随机激励下使结构频响函数覆盖的频域能量最小化以及使结构的瞬态响应最小化。WARBURTON[9]从理论推导并总结了适用于各种优化工况的黏滞阻尼TMD 最优参数。VILLAVERDE[10]对减震控制的TMD 进行复模态分析并提出使结构-TMD 体系的综合阻尼比等于结构阻尼比和TMD 阻尼比的平均值的优化思路。随后，SADEK 等[11]重新定义了该TMD 的减震优化准则并得到最优参数公式。

相较于简谐激励，利用随机激励来控制结构响应的概率更加符合实际情况。ASAMI 等[12-13]运用H2优化推导出TMD 适用于无阻尼结构的最优参数解析式和有阻尼结构在不同激励下的代数解析解。同时，他提出了附加空气阻尼的三元素吸振器模型并得到了基于H2优化准则的最优参数解析式[14]。BAKRE 等[15]通过数值拟合方法对有阻尼结构的TMD 在金井清谱和白噪声下的最优参数进行分析研究并发现两者的最优参数差异不大。他指出，这是由于过滤白噪声的金井清谱属于慢变宽频带体系与白噪声差异较小导致的。TIGLI[16]推导出以速度为优化目标的H2最优参数解析解，并证明按速度为优化目标时能使总体上呈现较好性能体现。MATTA[17]基于H2优化方法提出了地质条件对准结构频率的最坏情况滤波下参数优化方法，该方法可以适用于所有场地条件下的最坏情况。彭凌云等[18]对风荷载作用下的复刚度阻尼TMD 进行参数优化研究。孙攀旭等[19]从复阻尼模型的滞变阻尼模型角度出发，提出了基于傅里叶变换的时域计算方法和基于希尔伯特-黄变换的时域计算方法，克服了复阻尼模型天然时域发散问题。作为TMD 的热点研究领域，CHEN 等[20]研究了非线性TVMD 在随机白噪声下的最优参数变化。HE 等[21]基于H2优化和阻尼比增效准则提出了TVMD 最优设计参数理论解。罗一帆等[22]从基于H2优化理论得到了电磁调谐双质阻尼器的最优参数公式。王宝顺等[23]克服了 TMD 和 PSSPD 的不足，提出的质量调谐-颗粒阻尼器复合减振体系具有更宽的减振频带和更好的鲁棒性。盛曦等[24]将TID 应用于钢弹簧浮置板轨道中，并使轨道低频减振性能得到有效提高。王奇等[25]利用粒子群对以弹簧作为摆动连接构件的摆式TMD 进行参数优化设计。

由于高层高耸结构装配TMD，通常要考虑装配TMD 的空间，更少的TMD 行程将提供更多的结构空间利用率和经济效益。谭平等[26]基于首次穿越破坏准则对随机风振下TMD 进行限位控制，并表明由于TMD 位移比层间位移要大，为防止TMD 与结构发生碰撞须进行TMD 限位设计。

滞变阻尼是一种与速度同相位且阻尼力大小正比于位移的阻尼形式[27]如图1。MURAVSKII[28]对单自由度滞变模型的频率无关特性进行分析。然而，这些分析和研究只存在在于理论之中，尚未有做出上述力学模型的真实TMD 设备。直到近年来，MATTA 等[29]和KANG 等[30]分别提出了摩擦力随TMD 位移增加而增加的变摩擦摆式调谐质量阻尼器(VFP-TMD)和Reid-TMD，并相继提出基于动力数值分析和应用谐波平衡法的参数优化方法。理论上，上述两种TMD 通过库仑-摩擦定理中的变摩擦系数[31]和变压力大小从而使TMD 具有与位移相关的变摩擦阻尼力特性。与传统的常摩擦以及多级变摩擦TMD[32]相比，滞变阻尼调谐质量阻尼器(HD-TMD)具有能为不同幅值激励提供稳定的减振效果，实现有效缩小的TMD 行程等优势。值得注意的是，目前理论上针对随机白噪声下的HD-TMD 最优参数设计尚存不足。出的方法的有效性。

图1 滞变阻尼与黏滞阻尼滞回环Fig.1 Hysteretic damping loops for hysteretic damping and viscous damping

1 HD-TMD 基本方程

HD-TMD 由质量块、刚度元件和滞变阻尼元件组成。与速度型传统黏滞阻尼TMD 相比，HDTMD 具有线性位移相关特征。滞变阻尼元件的力学表达式如式(1)：

式中：xt为TMD 相对于结构的位移行程； η为滞变阻尼比；kt为TMD 的刚度。以控制结构第一振型的单质点结构-HD-TMD 体系为例(如图2)，利用拉格朗日定理推导得到风振下结构-HD-TMD 运动方程如下：

图2 结构-HD-TMD 体系Fig.2 Structure-HD-TMD system

式中：x1、m1、k1和c1指结构的位移、质量、刚度和阻尼；mt为TMD 的质量；f定义为结构遭遇的外力荷载。在无量纲化处理(表1)和拉普拉斯变换下(式(3))可将时域方程转化为结构和HD-TMD的频响函数表达式如式(4)和式(5)：

表1 无量纲化参数备注Table 1 Notations for dimensionless parameter

式中，X1和Xt为结构和TMD 的频率响应。

2 H2 优化

2.1 理论推导

作为成熟的振动控制优化策略，随机白噪声下的H2优化的结构位移目标函数如下[9]：

式中，S0为归一化常数谱强度。可见，该目标函数是在统计学概念上的方差位移，是通过对频响函数的平方积分得到的。然而，如式(4)所示，频响函数将因滞变阻尼的符号函数而分成两种表达式如下：

鉴于此，本文对随机白噪声下HD-TMD 进行减振分析与研究，进一步为HD-TMD 的参数设计提供理论设计指导。首先，介绍了HD-TMD 的力学性能以及结构-HD-TMD 体系的运动方程；然后，应用H2优化准则推导出性能目标表达式并通过数值拟合得到HD-TMD 最优参数拟合公式；同时，为了考虑TMD 行程受限的影响，在H2优化的前提下进一步提出性能平衡设计；最后，通过实际结构在600 s 脉动风荷载中的响应，检验所提

其中：

为了方便积分运算，应用留数定理简化积分表达式。首先，对式(8)中的分母进行复数分解如下：

式中，λi(i=1,2,3,4)定义为复平面中的奇点。

应用留数定理可将目标函数进一步提炼如下：

其中：

利用代数运算，发掘出上述系数的深层联系如下：

其中：

整理式(11)～式(14)，可得目标函数简化表达式如下：

根据式(9)可得奇点之间的关系如下：

进一步推导可得到奇点耦合关系如下：

通过复平面转换，可将式(17)中的虚部消除并得到奇点耦合系数如下：

其中：

将式(9)、式(18)和式(19)代入式(15)便可得到目标函数的简化表达式。

2.2 H2 最优参数公式

通常而言，最优参数解析解可以通过令I2对ft和 η的偏微分方程为0 得到解决。但对于HDTMD 的最优参数来说，由于通过简化后的目标函数代数式阶数过高，用上述方法将受限于阿贝尔定律(the theorem of Ruffini-Abel)难以获得解析解。因此，基于式(15)用分支界限法获取HD-TMD的数值最优频率比和最优滞变阻尼比并进行曲线拟合如下：

其中：

式(20)适用于TMD 质量比分布区间为0%～50%的范围内，这一范围覆盖了实际的常规TMD的应用场景。值得注意的是，最优频率比的拟合最大误差和均方差误差分别为0.0873%和0.0219%，而最优滞变阻尼比的最大误差和均方差误差分别为3.629%和0.8464%。HD-TMD 最优参数与Den hartog[6]和Warburton[9]的经典最优参数对比如图3所示。其中，用于对比的Warburton[9]最优参数公式所选的是基于外激励荷载和随机白噪声的最优参数公式。

图3 最优参数对比图Fig.3 Comparisons for optimal parameters

同时，基于黏滞阻尼在同一位移和循环中产生的阻尼能量相等原则，推导出经典最优阻尼比对应的等效最优滞变阻尼比如式(22)所示，并在图3 中进行对比。由图3(a)和图3(b)可知，最优频率比随质量比的增加而降低，而且HD-TMD 最优频率比高于传统黏滞阻尼TMD 的最优频率比。然而，最优(滞变)阻尼比与质量比正相关，HDTMD 最优滞变阻尼比要低于传统黏滞TMD 的等效最优滞变阻尼比。由图3(c)可知，HD-TMD 的最优参数能提供最小的性能目标，从而具有比传统黏滞TMD 更加优异的性能，凸显出HD-TMD采用H2优化的有效性，详细的HD-TMDH2优化步骤如图4 所示。

图4 HD-TMD 的H2 优化步骤Fig.4 Procedure for H2 optimization of HD-TMD

3 性能平衡设计

3.1 性能目标

为了创造更多的经济利益和提高结构空间利用率，高层高耸结构装配TMD 时往往有场地限制的影响。因此，在HD-TMD 的优化设计阶段时，需要考虑HD-TMD 行程的影响。鉴于此，对HDTMD 进行性能平衡设计，通过加入一预先设定的权重百分比因子 α考量加入HD-TMD 行程的综合性能目标如下：

类似地，基于留数定理应用如图4 所示的H2优化步骤可得到HD-TMD 位移的性能目标表达式如下：

结合式(15)和式(25)，性能平衡设计的综合性能目标如下：

式中，奇点耦合系数可参考式(9)、式(18)和式(19)。

3.2 参数分析

基于式(26)用分支界限法获取HD-TMD 性能平衡设计的最优频率比和最优滞变阻尼比，如图5所示。由图5 可知，同一权重因子下，最优参数随质量比变化的规律与2.2 节中分析的结论一致。同一质量比下，最优频率比的变化在给出的0%～5%权重因子区间内无变化，而最优滞变阻尼比随权重因子的增加而增大。

图5 性能平衡设计的HD-TMD 最优参数Fig.5 Optimal parameters for performance balance design of HD-TMD

质量比分别为1%、2%和10%的HD-TMD性能平衡设计的最优性能目标如图6 所示，考虑HD-TMD 行程的最优综合性能指标I1与结构性能指标I2随这权重因子的增加而增加，而最优综合性能指标由于I3的加入比相对于结构性能指标对权重因子更加敏感。这表明：HD-TMD 性能目标值I3的数量级在权重因子较小时相比于I2较大，因此权重因子的选择应该慎重，否则将得到无现实意义的最优参数。同时可以发现，权重因子对质量比大的HD-TMD 影响较小。

图6 性能平衡设计的最优性能目标Fig.6 Optimal performance indices for performance balance design

由于结构的响应随权重因子的增加而增加，这意味着HD-TMD 的振动控制能力降低。因此，提出结构控制容忍度约束上述控制损失。容忍度可视为对权重因子的物理意义具现化指标，代表考虑HD-TMD 位移后的可接受的控制损失。

质量比为3%的结构性能目标如图7 所示，其中各容忍度对应的最优参数在图中标注为虚线。可以清晰的看出不同容忍度为结构性能目标的增长提供了不同级别的防线，反映出使用性能平衡设计并不是盲目的而是具有现实意义的约束HD-TMD的位移同时达到给定条件下结构最优控制的效果。

图7 μt=0.03时性能平衡设计的结构性能目标Fig.7 Structural performance index for performance balance design ofμt=0.03

不同容忍度下最优参数的动力放大系数如图8所示。由图8(a)和图8(b)可知，当α=0时结构和HD-TMD 的动力放大系数都表现出明显的频域双峰调谐效果。随着容忍度的增加，结构动力系数的峰值不断攀升，意味着振动控制损失的产生越来越大。此时，HD-TMD 的动力放大系数峰值和覆盖范围不断减小，证明基于容忍度的性能平衡设计能有效控制HD-TMD 的位移行程。

图8 μt =0.03时性能平衡设计的动力放大系数Fig.8 Dynamic amplification factor for performance balance design ofμt=0.03

众所周知，频率比对TMD 的影响至关重要，性能平衡设计对结构在不同频率变化阶段下HDTMD 的控制效果如图9 所示。由图9 可知，一旦HD-TMD 产生失谐控制，结构性能目标值将迅速攀升，意味着HD-TMD 的控制效果迅速减弱。然而，随着容忍度的增加，高权重因子的性能平衡设计结果展现出HD-TMD 较好的鲁棒性，即随着失谐因子的绝对值增加结构性能目标值的增长速率较α=0的增长速率低。HD-TMD 性能平衡设计的设计步骤如图10 所示，值得突出的是基于容忍度的性能平衡设计能精确的调整所需要的权重因子从而确定最优参数，这是与已有参数设计思路不同的。

图9 μt=0.03时性能平衡设计的失谐影响Fig.9 Detuning effect for performance balance design ofμt=0.03

图10 性能平衡设计的设计步骤Fig.10 Procedure for performance balance design

4 实际应用的数值验证

4.1 算例参数

为更好地验证本文提出的H2优化最优参数和性能平衡设计方法，本节采用实际应用TMD 的某高层景观塔模型的第一模态数据[33]以及实际可用的HD-TMD—VFP-TMD 进行顺风向脉动风荷载下的仿真计算，模型具体参数如表2 所示。脉动风根据Davenport 谱应用谐波合成法，按照《建筑结构荷载规范》[34]中的百年一遇基本风压0.6 kPa 进行模拟。顶点处风速谱对比以及脉动风速时程如图11 所示，模拟结果表示模拟谱与目标谱走势一致且误差较小证明模拟脉动风荷载的有效性。

表2 具体参数Table 2 Detail parameters for verification

图11 百年重现期脉动风速时程与功率谱Fig.11 Time history simulation and power spectrum of 100-year return period fluctuating wind speed

VFP-TMD 由变摩擦摆装置(Variable friction pendulum bearing, VFPB)和质量块组合，频率由摆长半径决定，通过变摩擦系数式的布置使VFPTMD 具有滞变阻尼特性。VFPB 的可用性在隔震体系中已有成熟的应用[35]，其依赖于滞变阻尼特性克服常摩擦摩擦摆的受限于激励幅值的控制不稳定性[36-38]。具有初始摩擦的实际VFP-TMD 的摩擦阻尼力表达式如下[38]：

当滞变阻尼部分为0 时，式(27)可退化成常摩擦阻尼力的表达式。相应地，结构-VFP-TMD体系运动方程为：

为了突出HD-TMD 在随机白噪声下的减振控制效果，采用容忍度为5%的性能平衡设计并增加已有文献的最优参数参照组结果作为对比，如表3所示。表3 中：TMD1 和TMD2 分别为Warburton的黏滞阻尼TMD 和等效滞变阻尼HD-TMD 最优参数；TMD3 和TMD4 分别为本文所用的H2最优参数公式结果和性能平衡设计下的HD-TMD 最优参数；TMD5 为的是Matta 数值H2优化下的HDTMD 最优参数结果[29]。

表3 TMD 最优参数对照表Table 3 Optimal parameters for comparison

4.2 算例分析

为表明算例减振控制效果，定义峰值减振率Rmax和均方根值减振率Rrms如式(29)和式(30)所示。

式中：x1,max,TMD和x1,max,unc为TMD 工况下的结构位移峰值和无控工况下的结构位移峰值；和为TMD 工况下的结构位移均方根和无控工况下的结构位移均方根。脉动风荷载下的时程响应和综合指标结果分别如图12 和表4 所示。从图12和表4 的算例指标数值可以看出，5 种最优参数的黏滞阻尼TMD 和HD-TMD 都可以为有阻尼结构提供有效可靠的减振控制效果。其中，TMD3 能提供最好的峰值减振率、均方根减震率，同时使结构加速度最小化。上述现象证明本文提出的基于H2优化的最优参数公式的有效性，同时证明HD-TMD 的减振控制作用不弱于传统最优参数下的黏滞阻尼TMD。

表4 算例指标值Table 4 Objective values for verification

图12 脉动风作用下的数值响应Fig.12 Numerical response for fluctuating wind

值得注意的是，VFP-TMD 是一种摆式运动装置，其线性化的运动方程将在TMD 产生较大位移时失效，同时意味着TMD 控制频率的失稳。而XU 等[39]研究表明摆式TMD 在摆动角度为9。内时为线性阶段，本研究以此为线性摆动最大幅值并体现在图12(c)中。在本算例中，TMD3 对应的最大摆动幅度为9.53。这表明尽管达到了最优的控制效果，但由于TMD 的行程过大将导致体系出现非线性以及响应可能出现失真的情况。然而，TMD4 的摆动幅度为8.33。这表明本文提出的性能平衡设计能有效降低TMD 的行程，保持了TMD的鲁棒性并使体系整体依旧体现线性。与TMD3相比，TMD4 在峰值减震率和均方根减振率中的控制损失仅为3.19%和0.74%。

5 结论

本文对随机白噪声下的HD-TMD 进行减振控制研究。构建了单质点结构-HD-TMD 体系的运动方程，并推导出其频响函数。基于H2优化准则推导出最优性能指标的简化表达式，并得到最优参数拟合公式。随后，考虑HD-TMD 行程对控制效果的影响，引入基于容忍度的性能平衡设计方法。具体结论如下：

(1) 相较于其他传统最优参数，基于H2优化的最优参数能提供使频响函数频域面积最小的最优结构性能指标。由于阿贝尔定理的影响，本文通过数值拟合，得到了质量比从0%～50%的能应用于绝大多数TMD 场景的最优拟合公式结果。

(2) 在百分比权重因子的连接下，得到了考虑HD-TMD 行程的性能平衡设计。在容忍度的加入下，可以得到不同具体设想下HD-TMD 的最优参数。参数分析结果表示，权重因子对最优频率比的影响较小，对最优滞变阻尼比的影响较大。失谐分析表示，权重因子越高时，得到的最优滞变阻尼比最高，从而使HD-TMD 的鲁棒性越强。

(3) 实际应用案例验证了本文所采用的两种优化方法的有效性和优越性。基于H2优化的最优参数能提供最优的控制效果，但由于HD-TMD 行程过大将导致实现HD-TMD 的VFP-TMD 出现非线性。采用性能平衡设计能有效降低HD-TMD 的行程，保证了体系的线性和控制的鲁棒性，同时提供了与传统黏滞阻尼TMD 相当的控制效果。