基于抛物方程法的对流层散射通信信道建模及分析

陈涛浪 冯菊 余洪鑫 廖成

（西南交通大学电磁所, 成都 610031）

0 引 言

对流层散射通信是一种利用对流层不均匀体对电波的散射作用来实现超视距通信（over-the-horizon communication, OHC）的方式.由于这种通信方式具有传输容量大、通信距离远、保密性好、抗干扰和抗截获能力强等优点，自投入使用以来在军事和民用通信领域中始终占有重要的地位[1-4].

对流层中经常存在着湍流运动，参与湍流运动的大气以一种随机的速度做不规则运动，形成一个个涡旋.涡旋在入射电波的照射下变成偶极子，将电磁能量再辐射出去，即散射[4]8.散射的电波具有明显的衰落特性，并且快衰落包络大致服从瑞利分布，因此在大多数文献中通常将对流层散射信道作为瑞利衰落信道进行研究.其中，对于宽带的对流层散射通信，信道被看作频率选择性衰落的瑞利信道，常用Kailath 提出的抽头延迟线[5]（tapped delay line,TDL）模型和Sunde 提出的Sunde 模型[6]进行建模；而对于窄带的对流层散射通信，信道则被看作平坦衰落的瑞利信道，采用Clark 和Jakes 模型进行建模[7].

但上述模型均为统计性模型，没有考虑具体信道的物理性质，而是根据实测数据的统计规律，从数学上作抽象的研究，因此难以根据实际环境因素的改变获取相应的信道传递函数.此外，在非视距传输系统中，如果源自某一个散射体路径的信号功率特别强，信号的衰落会服从莱斯分布[8]，而上述的统计性模型难以同时考虑信号的多种分布.

相较于统计性模型，确定性模型可基于环境特征进行精确的电磁建模，可靠地实现特定场景中的电波传播预测[9].对流层散射的确定性模型方法主要有射线追踪（ray tracing，RT）法和抛物方程法（parabolic equation method, PEM）.RT 能够描述电磁波的传播路径轨迹，便于计算多径时延.Dinc 等[10]提出了基于RT 的多输入多输出（multiple-input multiple-output，MIMO）对流层散射信道模型，并计算出信道的功率时延谱.S.Zhang 等[11]考虑了射线的弯曲、折射效应，提出用三维RT 方法来估计散射信道的功率损耗和时延.但这些方法均不能同时表征复杂的气象和地理环境，并且射线路径的考虑过于理想化，且考虑的传输路径有限.

PEM 是适用于近轴传播的全波算法，能够对辐射方向图进行建模，并准确地计算复杂大气和地理环境对电波传播的影响，体现电波的折射、反射、绕射、散射和衰减效应[12].结合分步傅里叶变换（splitstep Fourier transform, SSFT），能快速求解大区域复杂环境中的电波传播问题，成为了目前对流层电波传播模拟的主流算法.为了描述对流层不均匀体对电波的散射作用，Hitney[13]将折射率随机扰动因子引入抛物方程，提出了对流层散射PEM.李磊[14]提出了一种计算散射抛物方程最大传播角和最大高度的方法，对散射PEM 进行了改进，使计算同时具备高效性和准确性.上述有关散射PEM 的研究大多停留在预测传输损耗方面，鲜有研究散射信号特性，并将其用于通信性能评估方面的报道.

为此，本文采用对流层散射PEM，构建了考虑环境因素的对流层散射通信信道模型.并进一步推导了在QPSK 调制下，散射信道的误码率公式.为验证散射PEM 描述对流层散射信道的正确性，利用蒙特卡洛模拟方法，统计计算出对流层散射信道传输函数的概率密度分布.最后，分析了不同通信距离下，不同气象气候条件对对流层散射信道误码率的影响.

1 湍流散射对电波传播的影响

1.1 湍流大气结构模型

现有理论中，湍流非相干散射被认为是造成对流层散射传播的主要原因.该理论认为，对流层散射传播源于对流层中的湍流运动.由于对流层中大气温度、湿度和气压等环境因素的改变，导致大气流动速度随机变化，形成一个个涡旋.每一个涡旋都是一个介电常数局部不均匀体，因此在湍流运动中，折射率是随机起伏的，通常用大气折射率结构常数来描述湍流起伏的强弱.

根据局地均匀各向同性的平稳湍流理论，得到大气折射率结构常数的计算公式为

式中：a2为常数，在实验室测得其值约为2.8[15]； α′为湍流扩散系数的比率，该值变化不大，可近似取为1；L0为湍流外尺度，根据实验资料，其量级约为几十米[4]，在本文仿真中取10 m[16]；大气修正折射率

M′为折射率垂直梯度，

式中：P为大气压强，单位hPa；T为绝对温度，单位K；e为水汽压； Θ为位温，单位K；h为海拔高度，单位m；q为比湿.各参数表达式如下：

式中，U为相对湿度.在实际情况中，除了大气压强基本只随高度递减外，对流层大气的温度、湿度均随时间、地点和高度的变化而变化.但假定大气是静止和干净的情况下，对流层气象参数随高度呈现一定的规律性，能粗略反映某一特定地区多年的大气年平均情况.下面给出某一地区温度T和湿度U关于高度h的变化关系[17-18]：

式中：T0，U0分别为近地面的绝对温度和相对湿度.对流层大气压强随高度的变化关系可近似表示为[14]22

式中，P0为近地面的压强.

为了便于后续的分析，本文根据给定的近地面温度、湿度、压强，采用式(7)～(9)这三个经验公式来推导其垂直剖面数据.若是有真实气象垂直剖面数据，也同样可用本文模型进行分析.将气象数据带入式(1)～(6)可得大气折射率结构常数.再根据式(10)得出由湍流运动造成的折射率的随机扰动值[13]：

式中：r为[0,1]之间均匀分布的随机数；Sn(k)为折射率功率谱；k=2π/Ls，Ls为对散射场有贡献的不均匀性尺度[4]12.

1.2 对流层散射PEM

本文采用PEM 对传播环境进行电磁建模，设时谐因子为e−iωt，假设波函数 ψ与y无关，ψ(x,z)可用二维Helmholtz 方程描述：

对于沿x轴正向传播的电磁波，简化场u可以表示为

将式(13)带入二维Helmholtz 方程可推导出Feit-Fleck 型宽角抛物方程：

式中：u(x,z) 为(x,z)处的简化场；k0为自由空间波数；n为媒质的折射指数.引入SSFT 技术，可得相应的递推公式[19]：

式中： J 和 J−1分别为傅里叶变换和逆变换；eik0Δx(n−2)为折射指数项，反映了空间媒质对电磁波的影响；为绕射项，反映了传播路径上障碍物对电波的绕射效应，其中p=k0sin θ为角谱域变量， θ为电磁波与水平方向上的夹角.当给定初始场分布u(x0,z)后，即可运用式(15)得到下一步进处的场分布u(x0+Δx,z)，从而迭代求解出整个计算空间中的场.

在处理湍流运动对电波传播造成的影响时，根据实际测得的近地面温度T0、近地面的相对湿度值U0和近地面压强P0，从而得到实时的大气折射率结构常数，再利用式(10)和式(11)求得湍流运动导致的随机折射率扰动nf.将湍流运动产生的折射率随机扰动因子nf和大气修正折射率剖面M相结合，即可形成反应湍流运动影响的折射指数剖面，即

将nc带入式(15)即可分析湍流散射对电波传播的影响.

2 对流层散射通信

2.1 对流层散射通信信道传输函数

PEM 的计算过程相当于求解单频点信号经过线性时不变系统的传输函数[20-21].因此，可以用对流层散射PEM 直接将对流层散射信道的传输函数H计算出来.

在PEM 中，收发天线功率之比可用§1.2 中求得的简化场u(x,z)来表示[19]，表达式为

式中：Pr为接收功率；Pt为视轴等效全向辐射功率；λ为波长.式(17)并没有考虑到天线增益.这里，我们将散射信道传输函数H(ω,x,z)模的平方定义为考虑天线增益后收发天线功率之比，即

式中：Gt和Gr分别为收发天线增益.对于散射信道传输函数H(ω,x,z)，有

2.2 对流层散射通信平均误码率

为实现高速率、高可靠性的对流层散射通信，需要对系统的通信性能进行分析.误码率是研究系统通信性能的一个重要指标，研究不同条件下系统误码率性能的变化，有助于实现可靠、高质量的散射通信.目前以AN/TRC-170 为代表的很多散射通信站均采用BPSK/QPSK 调制，对于QPSK 调制，在只考虑高斯白噪声影响的情况下，系统的误比特率可表示为[1]

式中：Eb为平均比特能量；为噪声功率谱密度；Q(x)函数为标准正态分布的右尾函数，

经对流层散射信道H后，有效比特信噪比为，因此误码率可以表示为[22]

式中，N为噪声功率.QPSK 系统对应的在对流层散射信道下的平均误码率为

式中，fH(H)为信道传输函数的概率密度分布，可运用蒙特卡洛模拟方法，通过对流层散射PEM 多次计算统计得到.

3 仿真与分析

3.1 模型验证

为验证模型描述对流层散射信道传输损耗(Pr/Pt)的结果，比较PEM 与ITU-R P.617-5 模型[23]计算结果.ITU 模型中采用的是平均折射率与折射率梯度，为便于比较，本次仿真中PEM 与ITU-R P.617-5 模型均采用标准大气条件，即N0=315 N 单位，dN/dh=−39N 单位/km.发射天线高度ht，接收天线高度hr，3 dB 波瓣宽度Wb，天线仰角，频率f如表1 所示.图1 给出了不同距离下PEM 计算的中值结果和ITU-R P.617-5 模型不同百分比时间内未超过的损耗结果.

图1 PEM 与ITU-R 模型路径损耗对比Fig.1 Comparison of path loss between PEM and ITU-R model

表1 天线参数设置Tab.1 Antenna parameter setting

由于PEM 计算的是损耗的瞬时分布，因此利用PEM 对相同传播条件下的传输链路进行1 000 次模拟取中值，得到的结果应接近ITU 模型中50%时间内不超过的平均年中值传输损耗，图1 中的结果也确实与50%曲线最为吻合.另外，图1 中传播距离较近时，PEM 模型与ITU 模型出现较大差异.这是因为此时无线电波主要以视距(line-of-sight, LoS)、绕射等传播方式为主，而本文所用的仅是ITU-R P.617-5 模型中与对流层散射相关的部分，因此在较近距离时，ITU 模型并不适用.

为了验证模型描述散射信道衰落特性的结果，采用文中提到的PEM 进行多次计算，得到信道H的分布，再将其拆分成慢衰落信道HL与快衰落信道HS的结合.即将信号看成是先通过HL经历固定的衰减和相移，再通过HS经历随机的衰落和相移.

由于慢衰落描述信号电平中值的长期变化，将慢衰落传输函数HL模的平方定义为对流层散射PEM 计算所得的接收功率中值Pm与视轴等效全向辐射功率Pt之比，即

慢衰落传输函数HL的相位与其对应的接收场相同，快衰落的信道传输函数HS可由下式求出：

运用PEM 求得的简化场u(x,z)是个包含幅度信息和相位信息的复数.在水平极化情况下，只有Ey为非零的电场分量，波函数ψ(x,z)=Ey(x,z)，因此取其相位为接收场的相位，ψ(x,z)可以表示为[24]

设近地面温度T0=300 K，近地面压强P0=1013.25hPa，近地面相对湿度U0=80%，天线参数设置如表1所示.最大LoS距离可由公式dLoS＜4.12+计算，根据表1 算得最大LoS距离约为37km.分别计算通信距离远离LoS 距离即d=300 km 和接近LoS 距离即d=60 km 处的快衰落信道传输函数概率密度分布，计算高度在5 000 m 以内.图2 给出了上述参数下HS幅值和相位的概率密度函数(probability density function, PDF).

图2 快衰落信道分布特性Fig.2 Distribution characteristics of fast fading channels

从图2 可以看出，当通信距离较远时，收发天线之间没有直射波路径，接收信号为各个幅度、相位彼此无关的路径分量的叠加.快衰落信道包络满足瑞利分布，相位在[−π,π]内均匀分布.

当通信距离变短到接近LoS 距离时，源自某一散射体路径的信号功率会增强，接收端的信号可以看作功率较强的主信号与服从瑞利分布的多径信号分量的和.其幅度服从莱斯分布，相位则趋向于分布在0 附近.

综上所述，在路径损耗方面PEM 结果与ITU 模型较为吻合；在衰落特性方面，得到的快衰落包络和相位分布与众多理论研究和链路试验[1-4,25]中描述的一致.

3.2 对流层散射超视距通信仿真

利用§1.1 中的湍流模型，可以给出在高度2 km 处大气折射率结构常数随绝对温度、相对湿度等气象气候条件的变化，结果如图3 所示.文献[26]中提到，气压对的影响很小，可以忽略.因此仿真没有考虑气压变化对的影响，近地面压强取值与§3.1 中一致.

图3 温度、湿度对 的影响Fig.3 Influence of temperature and humidity on

由图3 可以看到，随着近地面温度和近地面相对湿度的增加，在2 km 高空中的湍流活动也逐渐变强.

对流层散射信号的慢衰落产生于气象气候条件的变化[4]56，气象气候条件决定大气折射率结构常数，而文献[16]指出大气折射率结构常数与对流层传输损耗之间有着强的相关性，因此气象气候条件也影响着对流层传输损耗.利用对流层散射PEM 计算出成都7 月平均气候条件和12 月平均气候条件下的传输损耗，结果如图4 所示，天线参数设置同表1.

图4 成都冬季和夏季的路径损耗对比Fig.4 Comparison of path loss between winter and summer in Chengdu

从图4 可以看出，7 月份路径损耗比12 月小，这与文献[1]中所描述的我国散射信号电平夏季最高、冬季最低是一致的.文献[14]中提到，对流层散射传播慢衰落的季节变化可能是由于折射率结构常数变化引起的，而折射率结构常数因地域、季节而异.在本文的模型中，其变化取决于温度和湿度，因此温度和湿度较高的7 月份的路径损耗较小.由此可见对流层散射PEM 能考虑气象环境的变化对对流层散射传播的影响.

3.3 误码率计算

通过调节发射天线功率，并将接收机处的信噪比转化为比特信噪比，得出了不同比特信噪比下PEM 仿真误码率与理论误码率的对比结果.如图5所示，天线参数设置同表1.

图5 误码率仿真结果与理论结果对比Fig.5 Comparison of simulation results and theoretical results

d=300 km 时，信号包络服从瑞利分布，PEM 仿真结果与理论瑞利误码率曲线吻合较好.此时误码率对信噪比的变化不敏感，通过增加信噪比改善误码率的效果不显著，应该采用分集技术等抗衰落技术来改善误码率.d=60 km 时，信号包络服从莱斯分布，PEM 仿真结果与理论莱斯误码率曲线吻合较好.此时误码率随着信噪比提高快速下降，通过增加发射天线功率，提高信噪比，能有效改善通信质量.在莱斯分布中，莱斯因子可由PEM 计算出的快衰落信道传输函数的概率密度分布拟合得到，环境因素和距离的变化会对应得到不同的莱斯因子.这说明了PEM 能根据环境因素和通信距离的变化综合考虑对流层散射信道中信号的多种分布，从而计算出相应的误码率.

按照前文所述方法，对对流层散射信道的误码率随气象气候条件的变化进行分析，相关系统参数设置参考了文献[2]中的工程示例，如表2 所示，其余参数设置同表1.图6 给出了不同通信距离和不同湿度环境下误码率随近地面温度的变化.

图6 不同通信距离下温度、湿度对误码率的影响Fig.6 Relationship between BER and climatic conditions at different communication distances

表2 系统参数设置Tab.2 System parameter setting

d=300 km 时，信道服从瑞利分布，误码率随温度和湿度的变化较为平缓.此时温度和湿度的改变对散射通信性能的影响较小，这表明温度和湿度的升高没有影响信道状态的概率密度分布，仅仅只是减小了电波的传输损耗，提高了接收端的信噪比.d=60 km 时，信道服从莱斯分布，误码率随温度和湿度的变化较为剧烈，且变化的速度在逐渐加快.此时温度和湿度的改变对散射通信的影响较大，这表明温度和湿度的变化不仅会影响信噪比，还会影响折射率梯度和湍流强度，从而使莱斯因子发生改变.

4 结 论

目前对于散射信道的研究大多基于瑞利分布的假设构建信道模型，没有考虑莱斯分布的情况及环境因素对信道的影响，在建模完备性上有一定局限.对此，本文构建了对流层散射信道模型，推导了QPSK 调制下散射信道误码率表达式，并对实际传播场景下的散射通信链路进行电磁建模和仿真计算，分析了不同气象环境因素对误码率的影响.结果表明，较近通信距离下误码率随温度、湿度变化较为剧烈；通信距离较远时，环境对误码率的影响较小；相同通信距离下，高温和潮湿气候有利于超视距通信.