2022年高考“集合、常用逻辑用语、复数”专题解题分析

2024-01-12吴伟雄

数理天地(高中版) 2024年1期

关键词：集合解题教学复数

【摘要】对2022年高考数学试卷中的集合、常用逻辑用语、复数试题进行分析，发现其题型、分值、难度、考点都比较稳定，试题注重基础且比较常规，适度综合并创新.通过对试题的分析，优化解题策略，为今后的高考备考复习提供参考.

【关键词】高中数学；集合；复数；解题教学

2022年全国各地高考，除了北京市、上海市、天津市和浙江省采用自主命题，其他地区均采用全国卷.在高考试卷中都对集合、常用逻辑用语、复数进行了考查.与往年相比没有太大的变化，在题型、分值、难度、考点、题量上都相对稳定.

为了在备考复习中能够更好地掌握集合、常用逻辑用语、复数的知识点，提高复习效率，本文通过对2022年高考试卷中相關内容进行分析与研究，从中归纳与总结了本部分内容的试题特点、解题方法，为今后的高考备考复习提供参考.

1 试题分析

综观2022年高考数学集合、常用逻辑用语、复数试题，题型结构与考点分布情况如下表1所示.

从试卷的结构来看，2022年高考数学对集合、常用逻辑用语、复数的试题仍以单选题为主，只有天津卷和上海卷有填空题.这三部分内容的考查试题注重对基础知识、基本技能和基本数学思想的考查，符合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）的要求，体现数学学科核心素养.因此，在今后的高考备考复习中应以历年的高考题作为参考，不必过多的加深和走偏.

2 试题解法分析

1 集合

（1）集合的基本运算

集合的基本运算是高考的一个常考内容.《标准》的要求为：理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.

例1 （全国乙卷·文1）集合，，则（）

（A）0 （B）0 （C）0 （D）0

分析可以先在数轴上表示出集合，再根据数集找出其公共部分，从而得到集合的交集；也可以通过元素与集合之间的关系，对选项进行排除得到答案；还可以通过交集的定义，先列举出集合中的整数，再利用Venn图找出其公共元素.

解法1 利用数轴，由交集的定义，得.

解法2 由交集的定义，中的元素既属于，也属于，所以可以判断6，8，10都不属于可排除（B）（C）与（D），从而确定答案为（A）.

解法3 集合中的元素为整数的有0，1，2，4，5，利用Venn图可得.故选（A）.

评析本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解及运算分析能力，属于基础题，涉及到的核心素养是数学运算.

例2 （全国新高考Ⅰ卷·1）若集合，，则（）

（A）. （B）.

（C）. （D）.

分析先通过求解根式不等式和一元一次不等式化简集合的表示，然后在数轴上表示出集合，并找出其公共部分，从而得到集合的交集.也可以通过元素与集合之间的关系，对选项进行排除得到答案.

解解不等式，

得；

解不等式，

得

解法1

利用数轴，由交集的定义，

得.

解法2 由交集的定义，中的元素既属于，也属于，所以判断0不属于排队A；由既属于，也属于排除B与C，从而确定答案为D.

故选（D）.

评析本题主要考查集合的交集运算以及根式不等式和一元一次不等式的求解，属于基础题；考查学生的运算求解能力和数形结合的分析能力.

例3 （全国甲卷·理3）设全集，集合，，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

分析先解一元二次方程化简集合，然后利用Venn图，利用集合混合运算的性质求解即可.

解解方程，

得，

故

解法1 由Venn图可得，.

解法2 根据混合运算律，

先求出与，

故.

解法3 利用并集与补集的定义及元素与集合的关系，由排除选项A与B；由排除选项（C）；从而确定答案为（D）.

故选（D）.

评析本题主要考查集合的并集与补集的混合运算及一元二次方程的求解，属于基础题；考查学生对集合的并集与补集定义的理解及Venn图、混合运算性质的正确使用，体现了学生对转化与化归的思想方法运用及数形结合的分析能力.

在2022年高考中考查集合的基本运算的考点还有全国甲卷文科第1题、全国新高考Ⅱ卷第1题、北京卷第1题、浙江卷第1题、天津卷第1题、上海卷第13题.对于这类问题，题干中的两个集合用描述法（或列举法）给出了变量的范围求其交集、并集、补集的运算.如果集合中的元素是连续范围的实数，常用数轴来表示，则要注意区间的端点是否可取；如果集合中的元素是离散范围的，常用Venn图来求解.如果集合中的元素是离散范围与连续范围的相互运算，则要注意其运算特征：如果求集合的交集，其结果一定是离散的，可以用列举法来求解，也可以利用元素与集合的关系采用排除选项的方法确定；如果是求集合的并集与补集，则采用数轴来求解.

例4 （全国甲卷·文1）设全集，，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

答案：（A）.

例5 （全国新高考Ⅱ卷·1）已知集合，例3 则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

答案：（B）.

例3 （北京卷·1）已知全集，集合，则（）

（A）（B）（C）（D）

答案：D.

例6 （浙江卷·1）设集合，，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

答案：（D）.

例7 （天津卷·1）设集合，，，则（）

答案：.

例8 （上海卷·13）设集合，，则（）

（A）. （B） . （C） . （D）.

答案：（B）.

（2）集合的概念与表示、集合间的基本关系

集合的概念与表示、集合间的基本关系也是一个常考内容.《标准》的要求为：了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；在具体情境中，了解全集与空集的含义；理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

例9 （全国乙卷·理1）设全集，集合满足，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

分析根据补集的定义利用Venn图写出集合，再利用元素与集合的关系确定答案.

解由Veen图可得，故选（A）.

评析本题主要考查了元素与集合的关系、补集的定义与应用问题，属于基础题．考查学生对元素与集合的关系的理解、Venn图的运用，以及学生的逻辑推理素养.

2 常用邏辑用语

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言.用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性.《标准》的要求为：理解必要条件的意义及性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义及判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义及理解数学定义与充要条件的关系；理解全称量词与存在量词的意义及能正确使用全称量词命题与存在量词命题的否定.

2022年高考中常用逻辑用语部分的考点只有浙江卷、北京卷和天津考查了充分条件和必要条件的概念，且与三角函数、数列、不等式等知识点相结合命题.

例10 （浙江卷·4）设，则“”是“”的（）

（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.

（C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件.

分析利用同角三角函数间的基本关系及充要条件的定义判断即可．

解由可知，

当时，可得，

即由“”，可推得“”；

而由“”m可得，解得，

故不能推出“”，

故可知“”是“”的充分不必要条件．

故选（A）.

评析本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断与三角函数间的基本关系的综合应用，属于基础题．考查学生的转化与化归的求解能力与逻辑推理能力.

例11 （北京卷·6）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）

（A）充分而不必要条件. （B）必要而不充分条件.

（C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件.

分析根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．

解因为数列是公差不为0的无穷等差数列，当为递增数列时，公差，

令，

解得，表示取整函数，

所以存在正整数，当时，，充分性成立；

当时，，，则，必要性成立；

故是充分必要条件．

故选（C）.

评析本题考查了等差数列与充分必要条件的综合应用问题，属于基础题．考查学生的运算求解与逻辑推理能力.

例12 （天津卷·2）“为整数”是“为整数”的（）

（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.

（C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件.

分析利用充要条件的定义判断即可．

解当为整数时，可得为整数，

即由“为整数”可推得“为整数”；

而取时“为整数”，此时为整数不成立.

故不能推出“为整数”，

故可知“为整数”是“为整数”的充分不必要条件．

故选（A）.

评析本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断的应用，属于基础题．考查了数学学科核心素养为逻辑推理.

3 复数

复数的考点在高考中属于基础题，每卷必考.《标准》的要求为：复数的概念、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

（1）复数的概念.

例12 （全国乙卷·理2）已知，且，其中为实数，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

分析根据复数与共轭复数的定义及复数的运算化简，再利用复数相等列方程求出、的值．

解因为，

且，

所以，

解得，．

故选（A）.

评析本题考查了复数与共轭复数的定义、复数的运算以及复数相等的应用问题，属于基础题．

（2）复数的运算

例13 （全国新高考Ⅰ卷·2）若，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

分析把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，再利用共轭复数的概念求出，最后求出．

解法1 设，

因为，

所以，

根据复数相等的定义，解得，

所以，则，

所以．

解法2 由，

得，

所以，则，

所以．

故选（）．

评析本题考查复数代数形式的乘除运算（重点要注意），考查共轭复数的概念，属于基础题．

例14 （全国甲卷·文3）若，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

分析利用共轭复数的概念及复数代数形式的四则运算先求出，再利用复数模的公式求出．

解因为，

所以，

则．

故选（）．

点评本题考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模（复数的模为）等基础知识，考查学生的运算求解能力，属于基础题．

综观2022年全国各地高考题，都没有考查复数的几何意义的题目.而考查复数的概念和运算的还有全国新高考Ⅱ卷第2题、全国甲卷理科第1题、全国乙卷文科第2题、浙江卷第2题、天津卷第10题、北京卷第2题和上海卷第1题.

例15 （全国新高考Ⅱ卷·2）（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

答案：（D）.

例16 （全国甲卷·理1）若，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

答案：（C）.

例17 （全国乙卷·文2）设其中为实数，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

答案：（A）.

例18 （浙江卷·1）已知，（为虚数单位），则（）

（A）. （B）. （C）. （D） .

答案：（B）.

例19 （天津卷·10）是虛数单位，复数 .

答案：.

例20 （北京卷·2）若复数满足，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

答案：（B）.

例20 （上海卷·1）已知复数，则 .

答案：.

3 复习建议

通过对2022年全国各地高考试题中的集合、常用逻辑用语与复数试题的命题分析，总结今后在高考备考复习中应注意以下几点：

3.1 集合复习策略

（1）近几年的高考试卷中经常把集合与不等式综合命题，因此在复习中不仅要加强对集合概念的理解的同时也要注重对解一元一次不等式、一元二次不等式、根式不等式、分式不等式以、绝对值不等式、一元二次方程的训练.

（2）集合的考点有三个部分：集合的概念与表示方法、集合间的基本关系、集合的基本运算.其中试题以直接考查集合的基本运算为主，对于另两个考点的考查比较隐性且常与其它知识融合在一起或仅在求解过程中体现；考查学生应知、应会的内容.因此在复习中应注重对学生的思维过程、数学运算以及分析能力的培养.

（3）利用描述法（或列举法）给出了变量的范围求其交集、并集、补集的运算.如果集合中的元素是连续范围的实数，常用数轴来表示，则要注意区间的端点是否可取；如果集合中的元素是离散范围的，常用Venn图来求解.如果集合中的元素是离散范围与连续范围的相互运算，一定要注意其运算特征：如果求集合的交集，其结果一定是离散范围的，可以用列举法来求解，也可以利用元素与集合的关系采用排除法来确定选项；如果是求集合的并集与补集，则采用数轴来求解.

3.2 常用逻辑用语复习策略

常用逻辑用语的考查比较多的是充分条件与必要条件概念的应用，常与其它知识相结合，从难度上看一般属于中低难度.因此在复习中应要求学生对概念做到能够准确表达并理解，正确进行逻辑推理，与其他知识的融会贯通.

3.3 复数复习策略

复数作为一类重要的运算对象，主要考查复数的概念、复数代数形式的四则运算和复数的表示方法及几何意义，考查要求比较低.因此在复习中应夯基础知识，以历年的高考题为参考，控制好运算难度，适当的进行练习，达到对知识的灵活应用.

4 试题解法欣赏

例21 （全国新高考Ⅰ卷·17）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）证明：．

分析（1）直接利用利用等差数列的通项公式与数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，利用裂项相消法的应用求出数列的和，再利用放缩法的应用求出结果．

解（1）解法1 已知，是公差为的等差数列，

所以，

整理得，①，