斜率为定值的弦中点轨迹方程问题

2024-01-12王玉庆

数理天地(高中版) 2024年1期

关键词：韦达中点定值

王玉庆

【摘要】斜率为定值的弦中点轨迹方程问题是圆锥曲线轨迹方程中一类经典的题型，常借助根与系数的关系、点差法、坐标转换法来解答.

【关键词】圆锥曲线；斜率为定值的弦中点

考查圆锥曲线中点轨迹方程的题型有很多种，本文以一道题为例，单独讨论斜率为定值的弦中点轨迹方程问题的三种常用方法.

题目已知椭圆x22+y2=1的弦AB所在的直线的斜率是2，求AB中点M的轨迹方程.

方法1 借助根与系数的关系

在解析几何中直线和曲线相交于两点是最经典的题型，主要考查二次方程韦达定理的应用，其中韋达定理描述的是在一元n次方程中根与系数的关系[1].

解设弦所在的直线为y=2x+b，

由y=2x+b，x22+y2=1，

消去y，得到9x2+8bx+2b2－2=0，

Δ=8b2－4×9×2b2－2>0，

即b2<9，所以－3<b<3，

设点Ax1，y1，Bx2，y2，弦AB的中点M（x，y），

则x1+x2=－8b9，所以x=x1+x29，

所以弦中点坐标满足x=－4b9，y=2x+b，

消去参数b，得到中点M的轨迹方程为x+4y=0－43.

评析已知直线的斜率是2，很容易设出直线方程y=2x+b，然后联立直线方程和圆锥曲线方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，再借助韦达定理和中点特征，即可求解.该题目借助根与系数的关系主要考查韦达定理的应用，一般解题框架是：

（1）将直线方程代入曲线方程；

（2）分析主要目标，合理转化；

（3）代入韦达定理，整体求解.

方法2 点差法

点差法是设出两端点坐标，并分别代入圆锥曲线得到两个方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后再求解.它的特点是巧代斜率，回避运算量较大的韦达定理[2].

解设点Ax1，y1，Bx2，y2，弦AB中点Mx，y，

则x212+y21=1，①

x222+y22=1，②

①-②得x212+y21－y22=0，

即y1－y2x1－x2·y1+y2x1+x2=－12，③

因为x1+x2=2x，y1+y2=2y，且y1－y2x1－x2=2，

所以③式可化为2·y2，即x+4y=0.

解方程组x+4y=0，x22+y2=1，

得到直线x+4y=0和椭圆x22+y2=1的交点为－43，43，

所以所求点M的轨迹方程是

x+4y=0－43.

评析设端点Ax1，y1，Bx2，y2和中点Mx，y，将A，B坐标代入曲线方程，并将得到的两个方程相减得到关于x1，y1，x2，y2的斜率表达式；再借助中点具有的特性，实现消去参数x1，y1，x2，y2，最终得到中点轨迹方程.

方法3 坐标转换法

坐标转换法是从一种坐标系统变换到另一种坐标系统的过程.它的主要思想是将中点坐标Mx，y转移到已知圆锥曲线上，考虑基本方法是引入参数t，u，设弦的端点Ax+t，y+u，Bx－t，y－u，这样，弦AB的中点Mx，y就转移到圆锥曲线上，将A，B的坐标代入已知曲线方程中，得到关于t，u，x，y的关系式，再依据弦的已知性质，消去t，u就得到所求轨迹方程[3].

解弦AB的端点Ax+t，y+u，B（x－t，y－u），则弦AB的中点Mx，y，且KAB=ut，

因为Ax+t，y+u，Bx－t，y－u在椭圆曲线上，

所以x+t22+y+u2=1，①x－t22+y－u2=1，②

②-①整理得到u2y，又KAB=2，所以x+4y=0.

因为点M只能在椭圆内部，直线x+4y=0与椭圆相交于－43，43，

所以所求点M的轨迹方程是x+4y=0－43.

评析设弦两端点坐标Ax+t，y+u，Bx－t，y－u，则中点Mx，y即转换到椭圆曲线上；将端点坐标代入已知椭圆方程中，两式相减整理得到u2y，再借助已知斜率求解得到方程；最后结合中点只能在椭圆内部，得到交点坐标，最终整理得到完善的轨迹方程.

结语

虽然求解已知斜率动弦中点的轨迹方程难度较大，但是仔细分析已知条件，找到合适的方法，却可以大大简化运算量，提高解题速度.

参考文献：

[1]韦兴洲.圆锥曲线切点弦中点的轨迹方程＼.中学数学，2016（03）：66-67.

[2]俞世平.弦的中点轨迹方程＼.中学生数学，2020（17）：7-8.