立体几何中基于向量法的坐标求解算法研究

陶治国

【摘  要】  向量法在数学学科中占有重要的地位，是一个不可缺少的数学工具，应用空间向量解答立体几何问题就必定涉及建系，涉及标出相关点的坐标，然后将原问题转化为向量问题，利用向量的运算知识求解，而如何标出相关点的坐标即是解答问题的突破口.一般来说标点的思路主要分为三种，即直接标点、设点求点和引参标点，本文利用相关例题一一介绍如何运用上述三种标点方式解题.

【关键词】  高中数学；向量法；坐标设定

1  直接标点

直接标点是标出相关点中最简单最直接的手段，就是在建立空间直角坐标系以后，将一些相关的点的坐标标出即可.因此，直接标点的关键在如何建系，找一个能够明确与所有相关点的距离的点作为原点，然后直接根据点与点之间的距离关系表示出相关点的坐标.这一策略适用于较为简单、明显已知线段之间的距离的问题.

例1  如图1所示，四边形是直角梯形，，平面，，，求与平面所成角的正弦值.

思路  本题可采用直接标点的方式，已知相关点的坐标，且以点为原点时能够快速找出点的坐标，进而利用相关公式求得正弦值.

解  如图2所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点，分别沿着向量的单方向建立轴，

则，，，，

因为且平面的法向量为，

所以平面所成的角的正弦值：

.

2  设点求点

设点求点，是指将某些不能直接表示出来的点的坐标假设出来，然后利用题设条件求出相关坐标.设点求点策略应用的关键在于如何利用已知条件或关系求出假设的点坐标，此策略的难度较直接标点大，一般来说，是在建立空间直角坐标系后对某些点假设其坐标，继而利用已知信息求出另一坐标.

例2  如图3所示，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，，证明：平面.

思路  本题若以为原点，则点的坐标不能表示出来，故假设点的坐标，再根据为等边三角形得到向量的模长相等，故利用此关系建立等式进而求解.

证明  如图4所示，以为原点，射线与的正半轴建立空间直角坐标系，

则，，，

设点，

因为，，，

所以，

，

，

因为，

所以，

解得，

因为，

所以，

又因為，

所以，

解得，，

所以，

则，

，

，

因为，，

所以，，

又，

所以平面.

3  引参标点

引参标点与设点求点类似，不同的是引参标点是设所求点的坐标，引入参数求出参数表示出坐标，而设点标点是假设一个点的坐标，求出另一点的坐标.当建立空间直角坐标系后，利用点在直线上引入参数作“桥梁”，将相关点的坐标用参数表示，求出参数进而得到所求点的坐标.

例3  如图5所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，在上是否存在一点，使平面，证明你的结论.

思路  本题根据题意确定坐标原点，建系以后分别用参数表示出相关点的坐标，然后借助几何关系和向量计算得到参数的值，代入得到点的坐标.

解  由题设可得：，，

所以，，故平面，

以点为坐标原点，以为轴和轴，过点与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图6所示，

则，，

，，

、，

所以，，

，，

，

设，，

则，

令，

所以

解得

故当时，，

综上所述，当是的中点时，共面，

又因为平面，

所以当是的中点时，平面.

4  结语

本文主要介绍了运用空间向量求解立体几何问题中如何标出相关点的坐标的思路，其中直接标点的方式运用得最多，而引参标点的题目最难，也出现得较少，这三种策略都是同学们必须掌握内容，值得同学们深入思考.

参考文献：

[1]陈雪梅，李士锜，程海奎.用向量法处理立体几何问题的教学效果研究[J].数学教育学报，2008，17（3）：55-57.

[2]邹鹏，刘少平.向量法解高考中的立体几何问题[J].中学生数理化（高中版），2019（24）：3-6.