借助对称性质，优化解几运算

邹永刚

【摘  要】  解析几何中的对应的曲线与图形具有完美的对称性质，具有很好的美学价值与实际应用．充分挖掘解析几何中的对称性质，结合曲线方程或图形直观，可以很好化隐为显、化繁为简、化生为熟、化动为静等，实现问题的巧妙解决，优化过程提升效益，引领并指导数学教学与解题研究．

【关键词】  解几；对称性质；直线；圆；椭圆

对称性质直接与平衡、和谐、美观等联系在一起，是形式美的一种最传统技法，也是人类最早掌握的一个形式美法则．对称性质不仅具有很好的美学价值，还是一种重要的数学思想方法，是思考与解决问题的一个重要出发点，更是探索与解决问题的一种精良武器．解析几何中的点、直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线等都具有对称性质，正确理清或合理挖掘其对称性质，以形辅数，数形兼顾，优势互补，可以开启对称性质应用的智慧火花，优化解题过程，提升解题效率．

1  利用对称化隐为显

利用解析几何中曲线或图形的对称性质，可以合理挖掘题设条件中的隐含条件，化隐为显，为问题的解决提供更加直接有效的條件．

例1  （2020年高考数学浙江卷·15）已知直线与圆和圆均相切，则___，___．

分析  根据题意条件，利用直线与两圆均相切的位置关系，结合圆的几何特征与解析几何的对称性质，化隐为显，直观寻找相关直线恒过线段C1C2的中点，进而利用直线的方程的确定以及点到直线的距离公式，通过方程的求解等加以转化与应用，从而得以确定相关的参数值．

解  依题知圆心，，两圆的半径均为1，

而，则知两圆相离，

根据图形的对称性可知直线l：肯定过线段C1C2的中点A（2，0），如图1所示，

则知直线l的方程为，

又根据相切，可知圆心C1到直线l的距离等于半径1，

即，

结合解得，

此时，

故填答案：，．

点评  合理分析题设，挖掘问题内涵，抓住关键节点，利用对称性质巧妙化隐为显，使得原来隐含的条件得以呈现，借助寻找对应的对称点或曲线，或者利用对称性质来构建关系，合理转化，数形结合．利用对称性质进行化隐为显，关键在于挖掘相应解析几何问题的本质与内涵，使得隐性条件转化为显性条件，为问题的分析与解决提供更好的条件．

2  利用对称化繁为简

利用解析几何中曲线或图形的对称性质，可以回避解题时的繁杂过程，化繁为简，优化解题过程，减少数学运算．

例2  如图2，把椭圆C：的长轴AB分在6等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆C的上半部分于点P1，P2，P3，P4，P5，点F是椭圆C的右焦点，则________．

解析  根据题意，常规思路是借助椭圆的焦半径公式加以转化，并结合等分点的性质利用等差数列的求和进行合理求解，过程比较繁琐，数学运算量大，用时多．而通过椭圆图形的数形结合，利用等分点之间的对称性质，通过椭圆的定义应用，巧妙化繁为简，处理起来更加简单快捷，很好节约时间提升效益．

解  由题意，可得，

根据椭圆的对称性质，可知P1与P5，P2与P4分别关于y轴对称，

设椭圆C的左焦点为F1，则知

，，

结合椭圆的定义，可得

，

同理，

而，

则有，

故填答案：30．

点评  利用解析几何中对应曲线或图形的对称性质来直观分析，往往需要从图形的整体视角来分析与处理，合理化繁为简，技高一筹，改变原来繁杂的数学运算与逻辑推理为数形结合的简单直观分析，借助图形中相关元素的转化与变形，综合解析几何的对称性质来直观分析与巧妙处理．

3  利用对称化动为静

利用解析几何中曲线或图形的对称性质，可以实现题设条件中的动静转化，化动为静，更加方便于逻辑推理或数学运算．

例3  （2022年高考数学新高考Ⅱ卷·15）设点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．

解析  根据题意条件直接“翻译”，题设中点A为定点，点B为动点，通过对称性质，先确定点A关于y轴的对称点A′的坐标，而动点B“静止”，化“动”为“静”，进而确定直线A′B的方程，其即是直线AB关于对称的直线，利用圆心到直线A′B的距离小于等于半径来构建不等式，通过求解一元二次不等式来确定参数a的取值范围．

解  由于点关于y轴的对称点为，

而，可得，

所以直线A′B的方程为：

，

即，

而圆的圆心为，半径为，

根据对称性质可知，直线AB关于对称的直线就是直线A′B，

所以圆心C到直线A′B的距离为

，

整理可得，

解得，

故填答案：．

点评  借助解析几何中的图形特征，动静结合，以“静”治“动”，抓住直线与圆的位置关系中的对称性质，从定点的对称等性质入手，达到合理化动为静的目的．特别是在解决该问题时，利用点关于坐标轴的对称来确定直接方程，更加直接有效，很好达到分析与求解的目的．

4  结语

在解决一些相关的解析几何的综合应用问题时，要全面理清并挖掘相关曲线（点、直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线等）的内涵与实质，合理借助曲线或图形的对称性质，利用对称性质以美启真，巧妙利用曲线的对称性质，往往可以减少数学运算，优化解题过程，解法更加干净利落，能够简明、快捷、优美地解决问题，启发数学思维，提升数学能力，培养数学核心素养．