正(余)弦交变电流峰值与有效值关系教学探讨*

梁沛林

(深圳市西乡中学 广东 深圳 518102)

峰值和有效值是描述交变电流的重要物理量.《普通高中物理课程标准(2020年版)》中对交流电的教学内容描述为:“通过实验,认识交变电流.”“用示波器或其他设备观察交变电流的波形,并测算其峰值和有效值”[1],其中“通过实验”是新课标对物理教学的要求,也是提供的教学方案.“观察交变电流的波形”一般采用示波器或者DIS(数字化信息系统)传感器,而“测算峰值和有效值”则可以结合实验和推导的方法得到交变电流的峰值和有效值的关系.

正因为包括人教版等教材中没有明确提出教学方案,不少教师会以“根据研究表明”“通过数值推导”等方式一笔带过.显然这种模糊化的处理方式忽略了物理知识的形成过程,不利于学生形成严谨的科学态度,也不利于科学探究素养的培养.

综合6个版本新教材的内容及积累的教学经验,下面以“积分法”“割补法”和“等效法”3种方式对正(余)弦交变电流峰值和有效值的关系进行理论推导.并探讨“加热对比实验”“交流电表测量实验”和“光照度等效实验”这3种实验方案的优缺点.

1 理论推导

1.1 积分法

设某表达式为I=Imsin (ωt)的正(余)弦交变电流通过阻值为R的纯电阻,其热功率随时间变化的函数式为

(1)

交变电流在一个周期内的发热量可以通过定积分计算

(2)

与交流电热效应相等的直流电一个周期内发热量的表达式为

(3)

根据热效应相等建立方程可以得到

(4)

该方法是最直接的推导方式,同时也是通用方法,适用于所有交变电流.但由于该学段学生还没有学习定积分,故对高中教学并不适用.

1.2 割补法

割补法则通过图像的割补形象地呈现功率的大小,帮助学生理解其中的发热量关系.通过推导得到正(余)弦交变电流功率的表达式

(5)

根据函数关系绘制出其热功率随时间变化的图像如图1所示.

图1 正(余)弦交变电流热功率随时间变化的图像

图2 割补法求正(余)弦交流电功率

割补法把抽象的函数形象化,有利于学生理解.然而复合三角函数图像的绘制对数学要求较高,只适用于数学基础较好的学生.

1.3 等效法

粤教版新教材给出的推导方案则是根据正弦电流与余弦电流等效的原理展开证明.设交变电流通过定值电阻R,峰值为Im的正弦交变电流一个周期内的发热量跟峰值相同的余弦交变电流一个周期内的发热量相同.如果同时让正弦和余弦交变电流通过电阻R,则一个周期内的发热量为

(6)

若以两个直流电代替交流电,产生同样的热量,则该直流电流的电流值为该正(余)弦交流电电流的有效值,即

(7)

解得

(4)

3种方法中积分法的数学基础是定积分,割补法使用了二倍角公式以及三角函数图像,等效法只需要使用同角的三角函数关系.相对而言等效法对数学要求最低,也是最简洁的推导方法.积分法超出学生的能力水平,而割补法和等效法均属于特殊技巧,不是主干知识也不具有普遍性,故3种方案均没有出现在人教版教材中.

2 实验探究

2.1 加热对比实验验证正(余)弦交变电流峰值和有效值的关系

图3 加热实验验证正(余)弦交变电流峰值与有效值的关系

由于电热丝加热水的过程中,同一个容器中的水温并不均匀,靠近电热丝的部分温度上升较快,远离电热丝的部分升温较慢.加上对流现象又增添了水温测量结果的不确定性,容器越大,实验误差越大.另一方面因水的加热过程缓慢,电流值的改变反映在水温变化需要经历较长时间,如果采用温度计每隔1 min人工读取一次数据,实验时间较长,工作量大.加上温度无法实时调控,故只能作为检验实验,无法进行探究.

如果使用温度传感器进行长时间的实时记录并绘制出温度随时间变化的图像,能够较好地验证正(余)弦交变电流峰值与有效值的关系.

2.2 交流电表探究正(余)弦交变电流峰值与有效值的关系

将滑动变阻器接在正(余)弦交变电源上,使用示波器观测交变电流峰值,并用交流电压表测量交变电流的电压有效值,其实验电路如图4所示.改变滑动变阻器两端电压,测量多组峰值Um与有效值U,寻找Um与U的关系.

图4 交流电表探究正(余)弦交变电流峰值与有效值的关系

该实验方法是粤教版新教材提供的实验方案,是目前探究正(余)弦交变电流峰值与有效值关系最简洁、最准确的探究实验方案,而且该方案不但适用于正(余)弦交变电流,还可以于探究所有交变电流峰值和有效值的关系.

然而探究交变电流峰值和有效值关系实验的根本任务是通过观测热效应相同的交变电流和直流电,探究交流电的峰值和有效值的关系.交流电表虽然能够准确测量出交变电流的有效值,但是学生并不了解交流电表的内部结构或原理,更无法从热效应相等的角度探究交变电流峰值和有效值的关系.在无法直观地观察交流电表测量原理的情况下,使用交流电表直接测量有效值跳过了热效应相等的实验原理,失去了探究实验原有的价值.

2.3 DIS光传感器探究正(余)弦交变电流峰值与有效值的关系

“加热对比实验”能够很好地抓住交流电和直流电热效应相等展开实验,实验过程直观但存在不能实时调整电流大小,只能做验证实验,不能做探究实验的问题.如果改变实验思路,根据光照度跟电阻丝发热量正相关的特点,可以把测量热信号转变为测量光信号.由于电阻丝的比热很小,当电流改变时温度随即变化,光照度也能够同步变化.对同一个小灯泡分别通过直流电和交流电,如果对同一个位置产生的光照度相同,那么就可以间接判断该直流电和交流电的热效应相同,即该直流电电流值等于该交流电电流的有效值.

为了避免环境光线影响实验结果,实验时需要使用遮光箱,可以采用遮光性较好的盒子代替.为了尽可能让光传感器接收到的光是由小灯泡直接辐射产生的,故尽可能选用内部颜色较暗,表面粗糙的遮光盒,减少反射光线.用螺丝把小灯泡和光传感器固定在遮光箱内部,如图5所示.

图5 遮光箱内部结构

用导线连接小灯泡、学生电源、滑动变阻器,串联形成回路.把电压传感器并联在小灯泡两端,光照度传感器、电压传感器连接到数据采集器,并连接计算机.实验电路图和实物图如图6所示.

图6 DIS探究交变电流峰值和有效值实验装置

由于光辐射并不是连续稳定发射的,故光传感器的采用频率越高,实验结果越准确.本实验采用DISLab8.0数据采集器,光照度采样设置为每秒采样5 000次.闭合遮光箱,对光照度传感器进行调零.

先连接交变电源,闭合开关,调节滑动变阻器,待光照度数据稳定在某一数值后读取相应的光照度并根据电压传感器采集的电压波形图读取小灯泡两端交变电压的峰值.断开交流电源连接直流电源,调节滑动变阻器,待光照度传感器与记录的照度相同时,读取此时的电压传感器的示数.调节滑动变阻器改变光照度,重复上述实验步骤,获得多组电压峰值和有效值数据如表1所示.

表1 DIS探究正(余)弦交变电流峰值和有效值关系实验数据

由于影响光照度的因素很多,除了温度以外还跟辐射距离、辐射光波长等有关.实验中可以发现光照度跟灯泡两端的电压并不成正比,电压较小时灯泡几乎不发光(此时发出的光以红外线为主,光照度传感器无法检测),当灯泡电压达到一定时光照度迅速增大,此时发出的辐射以可见光为主.因此实验中采用的电压值并不是从零开始,而是峰值从2.6 V开始.电压继续增大时由于辐射量跟温度呈指数关系,故测量的结果更准确,但需要考虑灯泡的额定电压,故实验采用的电压峰值不超过5 V.

3 总结

正(余)弦交变电流峰值与有效值的关系教学方案包括理论推导和实验探究,理论推导和实验各3种方案,如表2所示.

表2 正(余)弦交变电流峰值和有效值教学方案评价

在表2中,列出了正(余)弦交变电流峰值和有效值教学方案的评价.其中理论推导方法中等效法的数学要求最低,运算也最简单,适合高中生认知水平,适用于普通学校教学.3种实验方案中光照度等效实验的实验原理清晰,效果明显,且精度高,最适合教学中推广使用.