创设适切的情境 培育数学应用意识——对一道应用型数学试题的命制与思考

孙晓军, 孙 萌, 滕平平

(1.乳山市教学研究中心,山东 乳山 264500;2.曲阜师范大学,山东 曲阜 273165;3.乳山市第一中学,山东 乳山 264500)

核心素养导向下的教学理念倡导教师借助适切的情境,发展学生的数学应用意识.“如何发挥试题情境对教学活动的导向和评价功能”是所有教师需要深入研究的问题.笔者结合中考命题经历,与读者交流一道应用型数学试题的命制与思考.

1 试题评价与解答

图1

(2023年山东省威海市数学中考试题第22题)

1.1 试题评价

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标》)指出,学业质量是学生在完成课程阶段性学习后的学业成就表现,反映核心素养要求.因此,学业水平考试命题要从知识立意向能力素养立意转变,将核心素养作为命题立意的首要选择[1].例1在核心素养方面主要考查了学生的抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、模型观念和应用意识.试题的命制既源于教材又高于教材,可谓是“题在教材外,根在教材内”[2].这种对教材内容进行变式创新、拓广延伸命制的试题,既能有效减轻学生的学业负担,充分体现数学教育的本质,又能更好地引领数学教师教学的方向,符合“双减”背景下学业水平考试的命题要求.

此题以抛物线为背景,注重知识之间的融合,在知识的综合性方面主要体现了3个“关联”:一是关联俯视效果图和主视效果图,理解题意,提炼有价值的条件信息;二是关联点坐标与线段长度,建立点坐标与相关高度(距离)间的联系;三是关联二次函数与一元二次方程,从实际问题中蕴含的数量关系抽象出函数模型和方程模型.学生解题的基本流程是:先建立适当的平面直角坐标系,利用待定系数法求出水流抛物线的表达式;再利用给定的距离与高度确立相关点的坐标,综合运用二次函数、一元二次方程、矩形等知识解决问题.

1.2 试题解答

思路分析要求“步行通道的宽OE”,依据条件“CE为0.6 m”,则需求出OC的长(即点N到喷水装置OA的水平距离).尽管点N不在抛物线上,但点N,D之间存在“水平距离为0.3 m”“与路面的垂直高度为1.8 m”的关系.因此,确定点D到OA的水平距离是求通道宽的关键.

解如图3,分别以OC,OA所在的直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.过点D作DH⊥x轴,垂足为点H.设水流抛物线的函数表达式为

图3

y=a(x-2)2+3.6,

将点A(0,2)代入,得

2=4a+3.6,

由题意可得四边形NCHD为矩形,从而

DH=NC=1.8,ND=CH=0.3,

解方程

于是

OH=4.12,OC=OH-CH=3.82.

由于CE=0.6,从而

OE=OC-EC=3.22≈3.2,

故步行通道的宽OE约为3.2 m.

2 命题溯源

2.1 依据课标

《课标》对二次函数的目标要求是:通过对实际问题的分析,确定二次函数的表达式,体会二次函数的意义;会求二次函数的最大值或最小值,能确定相应自变量的值,解决相应的实际问题;知道二次函数和一元二次方程之间的关系.因此,在命制试题时,应将二次函数知识融入实际生活情境,并与一元二次方程相结合.学生可以体会二次函数的现实意义,经历数学模型建立与求解的过程,建立函数和方程的整体认知,感受数学知识间的广泛联系和数学应用价值.

2.2 源于教材

《课标》指出,数学教材为学生的学习活动提供学习主题、知识结构和基本线索,是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源.源于教材的命题方式能有效提升评价的生命力,命制此题的素材就是教材例题、习题中的喷泉水流和运动员投篮问题,如例2和例3.

例2如图4,公园要建造一个圆形喷水池,在水池中央点O处安装一根垂直于水面的柱形喷水装置OA,其中OA=1.25 m.水流由顶端A处的喷头向外喷出,在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.为使水流形状看起来较为美观,设计要求水流在与OA的水平距离为1 m处达到最高点,这时距水面的最大高度为2.25 m.问:水池的半径至少是多少时,才能够使喷出的水流不致落到池外?

图4

(山东教育出版社《义务教育教科书·数学》(九年级上册)第102页例3)

例3一名身高1.8 m的篮球运动员在距篮板4 m处跳起投篮,球在运动员头顶上方0.25 m处出手.按如图5所示的直角坐标系,球在空中运行的路线可以用y=-0.2x2+3.5来描述.

图5

1)球能达到的最大高度是多少?

2)球出手时,运动员跳离地面的高度是多少?

(山东教育出版社《义务教育教科书·数学》(九年级上册)第149页第25题)

2.3 取材生活

借助学生熟悉的生活、社会情境,经历用数学思维与数学语言分析并解决问题的过程,才能形成模型观念与应用意识.在试题命制期间,笔者观察到周围场景的喷泉落点区域修建了水流落水池(如图6),大厅入口门上方安装了挡雨板(如图7).

图6

笔者身临其境对落水池和挡雨板设计的科学性与实效性进行了反复观察,与命题组成员交流后对教材例题中的情境产生了3点看法:

1)喷泉水柱在空中飘起的水雾会打湿行人的衣服;

2)水柱落地后溅起的水花会淋湿行人的鞋;

3)地面上的水流会导致行人滑倒,存在安全隐患.

因此,在命题时增设了“方形水池”“倾斜防水罩”等生活情境.

3 命题过程

3.1 初稿

如图8,城建部门计划建造一个圆形喷水区域.在喷水区域中央点O处安装一根垂直于水面的柱形喷水装置OA,其中OA=2 m.水流由顶端A处的喷头向外喷射,在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,落地点为B.要求水流在与OA的水平距离为2 m处达到距水面的最大高度3.6 m.以水平路面OB所在的直线为x轴、OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.

图8

1)求水流抛物线的函数表达式.

2)水流落地后溅起的水花会覆盖周围1 m的区域.市民站在距喷水装置OA水平距离5.5 m处能否被水花溅到?通过计算说明理由.

(解题步骤略.)

考情诊断命题组成员通过分析研判,认为“初稿”试题与教材例题的相似度过高,涵盖的知识点也较少,弱化了试题能力评价和学业考试、中考选拔功能,建议适当增大知识的综合性和应用的广泛性.从生活情境合理性的角度考虑,喷泉水柱在空中飘起的水雾和落地后溅起的水花也会影响市民在喷水区周围行走.建议对试题情境设置的合理性和问题设计的科学性进行修改、完善.

3.2 二稿

如图9,在“初稿”试题的基础上增加条件:城建部门计划在喷泉水柱下方修建步行通道.水柱沿抛物线路径落入方形水池内,CD是水池靠近喷水装置一侧的围挡.同时将问题进行了修改:

图9

1)求水流抛物线的函数表达式.

2)为避免被喷泉水流溅湿衣服,设计人员打算安装透明的倾斜防水罩MN.防水罩的一端M固定在喷水装置上,另一端N要满足3个要求:

①与步行通道的垂直高度NE至少为1.8 m;

②与喷泉水流的水平距离NF不低于0.3 m;

③防水罩上的水从点N处垂直落入水池内的点E到点D的距离至少为0.4 m.

(解题步骤略.)

考情诊断对于“二稿”试题,命题团队主要针对学生理解题意是否存在认知缺陷和数学知识应用是否存在思维障碍进行了研讨.最终提出4点修改建议:1)问题情境中的步行通道和水池会影响学生对题目的理解,建议提供俯视效果图;2)为避免学生误认为“倾斜防水罩MN”与“水平距离NF”在同一直线上,建议在图9中添加点F到OA的水平距离;3)第2)小题对“另一端点N要满足3个要求”出现了3次不等量关系,烦琐的信息会增加学生解题的难度,建议对条件进行简约化调整;4)考虑到解决现实问题的真实性和试题评价的思维量,建议删掉条件中平面直角坐标系的建立方式,让学生自主建立坐标系,同时删掉第1)小题,改为直接求步行通道的宽.

经过考情诊断和后续打磨,最终形成了前面的终稿试题.

4 命题思考

4.1 要发挥教材的育人功能

习近平总书记多次强调,课程教材要发挥培根铸魂、启智增慧的作用.在开展课堂教学活动时要体现教材的根本作用,在进行试题评价时也要发挥教材的内容功效.试题命制体现源于教材的理念,不仅可以引导教师回归教材、落实“四基”,而且可以实现“以考促教,以考促学”,更好地体现教育公平.二次函数作为一种基本的初等函数,不仅是初中阶段“数与代数”领域的主干内容,而且对学生体会函数思想和进一步学习函数都具有重要意义.在进行命题时,教师希望学生在从喷泉水流实际情境建立二次函数表达式的过程中,感受二次函数表达数量关系的实际意义,建立函数与方程的内在关联并进行相互转化,从而促进知识结构化.教师在进行命题时,要对教材资源的数学本质和实际应用价值进行深入研究,充分发挥教材的育人功能.

4.2 要关注数学模型观念

模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.建立模型观念能够让学生有意识地用数学的概念与方法对现实问题进行解释,感悟数学应用的普遍性.二次函数是描述现实生活变量关系的重要模型,在商品销售利润、太阳光照、自由落体运动、抛物线型拱桥、隧道等实际生活中有着广泛的应用.命题导向要关注学生从这些现实情境中发现问题和提出问题,在经历二次函数模型建立与应用的过程中分析和解决问题,积累用二次函数知识解决实际问题的活动经验,形成用数学模型揭示现实世界的观念.

4.3 要创设合理问题情境

布鲁纳认为,学习者在一定的问题情境中,经历对学习材料的亲身体验和发展过程,才是最有价值的东西.对于教材中诸多的问题情境,在命题时不能简单采取“拿来主义”直接使用,而是要将教材情境与实际生活相结合,并进行改编、整合,创设符合现实生活和数学应用的适切问题情境.只有在这样的情境中,学生才能应用数学知识和数学原理解决实际问题,经历数学知识迁移应用的过程,体验“生活中处处有数学”,增强数学应用意识.也只有这样,学生才会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界.