对新高考概率统计模块复习的教学思考——从一节高三统计决策类专题复习课的评课说起

顾予恒, 颜晓勉

(杭州第二中学钱江学校,浙江 杭州 311215)

2023年,浙江省开始使用全国数学高考卷,与之前的浙江卷相比,统计模块内容的考查是最明显的变化之一.对广大教师而言,概率统计模块特别是统计模块的高三专题复习是一个新课题.“如何在复习中抓住统计模块内容的核心要点,如何上好一节富含统计味道的专题复习课”也是一个新难题.笔者有幸参加了浙江省杭州市普通高中“双新示范”数学教学展示活动暨高三数学一轮复习研讨会,聆听了一节由杭州第二中学钱江学校颜晓勉老师带来的高三统计决策类专题复习课“分析有理,决策有据”.笔者作为评课嘉宾对该课进行了点评,同时结合该课对新高考概率统计专题如何有效开展复习进行了一些思考,与读者一起品评.

1 教学简评

该课以统计中的决策问题为对象,契合当前新高考的热点和难点,因此,在教学内容的选择上具有很强的针对性和学习价值.教学设计注重学生的学情和认知结构,做到层次分明,突出重点,突破难点,抓住关键内容加以落实.

具体来说,首先教师从2022年全国数学新高考Ⅰ卷第20题入手,带领学生回顾了独立性检验和条件概率等相关统计知识.在解决问题的过程中,不局限于几个常见公式和操作步骤的操练,而是帮助学生理解其中蕴涵的统计思想.接着,教师对高考题进行了改编,新编了第3)小题如下:

例1一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系.在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如表1所示的数据:

表1 病例组和对照组的卫生习惯统计

1),2)略.

3)统计学家调查发现,当统计量R>0.08时应拉响卫生预警.现调查30人,其中已患病的人数为20、卫生习惯不够良好的人数为10,患病卫生习惯不够良好的为n人.请完成2×2列联表并回答:抽取的样本中n为何值时,需要拉响卫生警报?

(2022年全国数学新高考Ⅰ卷第20题改编)

这一创造性地编题,巧妙地引出了该课的核心内容——决策问题.充分利用高考真题中计算的新指标,新设计了一种评价标准,让学生体会计算统计量不是最终目的,用好这个统计量解决实际问题才有真正的价值,正如该课标题中所言的决策有据,统计量的计算都是为决策提供依据的.

随后,教师安排了3道例题,分别从常见的统计量(如期望、方差、中位数等)、正态分布3σ评价原则、残差分析等各种不同的评价指标来展示如何选取合适的统计量和相应的评价体系,通过计算统计量,并依据统计量的数值进行合理的决策,最终归纳形成解决决策问题的一般流程.

最后,教师还编制了一道工厂销售利润最大的决策问题.解决问题需要经历一个数学建模的过程,并且与导数内容相联系,体现了新高考统计内容与其他知识相融合的特点.

在教学过程中,各教学环节逻辑清晰、连接顺畅.教师坚持由易到难、由浅入深地逐步引导学生经历从特殊到一般、从具体到抽象、理论联系实际的认知过程,帮助学生对决策类问题形成较深刻的理解,提升学生的数学抽象、数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养.教师采用启发式、探究式、归纳式等方法,让学生积极参与,充分动手动脑,表达自己的想法,着力培养学生发现问题、提出问题、转化问题、解决问题的能力,真正做到教的方法和学的方法有机和谐地统一.

总之,颜老师为我们呈现了一堂设计有高度、教学有梯度、学生有参与度,充分体现概率统计的基本思想方法和学科核心素养落地的精彩高三统计专题复习示范课.

2 教学思考

2.1 学情现状分析

与概率统计专题相关的知识点不胜枚举且错综复杂,学生很难做到融会贯通.这显然与新高考“突出对学科基本概念、基本原理的考查,强调知识之间的内在联系,引导学生形成学科知识系统,促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构”的意图相违背.

许多学生和教师对统计试题的价值和意义认识不深,把它简单地理解为数学的“应用题”或“计算题”,认为就是用公式进行程序化的计算,深陷于繁杂的计算当中,忽略了其背后蕴涵的丰富统计思想.其实统计学习不应只是记住一些概念、公式和方法的操作步骤,更要了解概念的统计含义和方法的统计思想,积累数据分析的经验.只有准确理解统计学习的内容,才有可能正确运用所学知识解决实际问题,培养数据分析的核心素养.

2.2 试题特点分析与复习思考

下面,笔者结合该课的一些亮点片段,谈谈对新高考概率统计模块内容复习的思考.

1)针对“文字多、题目长”的特点,要加强对情境问题的阅读能力和信息提炼水平.

概率统计试题文字多题目长,需要学生能够快而准地从大量条件中提取对解决问题有价值的信息,这是概率统计数据处理的基本要求.

片段1读题审题教学,实现去粗取精.

该课的一个亮点是教师很好地展示了如何进行读题与审题教学.教师采用断句画圈分析法,带领学生逐句圈出核心概念和关键数据,教学生学会思考,回答“已知什么?要求什么?能用什么?”等问题,真正做到去粗取精,准确理解题意.

2)针对“概念多、公式长”的特点,要加强对概率统计知识点的梳理和理解.

概率统计试题往往不是孤立地考查一个概念,而是对多个知识点的综合考查.因此,学好概率统计专题,不仅要学习各个概念和公式是什么,还要重视统计含义和思想,更要立足全局,厘清各个知识点之间的内在逻辑关联,构建完整细致的思维导图.

片段2思维导图梳理,提防冷门知识.

该课教师借助评价指标的思维导图(如图1),帮助学生仔细梳理了各大统计量(如平均数、期望、方差、χ2等)的含义和价值.强调不仅要会算各种统计量,更要知道这些统计量所反映的数据特征.只有真正理解了这些知识点,才能知道用哪个统计量去解决相应的问题,真正实现“知其然,知其所以然”.

图1

同时,有了思维导图,也不容易漏掉一些相对冷门知识的复习,如正态分布、残差分析等.例如,该课选用了一道由2017年全国数学高考Ⅰ卷第19题改编而来的例题,展示了如何根据正态分布中的3σ原则进行决策,这个考点对于很多师生来说都是陌生的.

片段3加深概念理解,提升统计思维.

有趣的是,教师在学案中设置了一个探究问题:如何判断一枚硬币质地是否均匀?如果抛掷50次,有25次正面、25次反面,大多数人会认为质地均匀,那如果是28∶22呢?如果是31∶19呢?该用什么方法来判断呢?

学案有意将这些数据列成两行两列,即一行理论值、一行观测值的表格形式(见表2),很多学生没有判断这个问题适不适合采用独立性检验,就误以为表格是2×2列联表,只顾埋头计算χ2了.统计教学的任重道远,由此可见一斑.

表2 硬币正、反面出现的频次

3)针对“数据多、说理长”的特点,要加强对数据的分析和解读能力,加强对说理表述的练习,学会科学的统计语言表达.

统计问题中数据众多,比“怎么算”更重要的是“算什么”和“说什么”.算尽未必是好事,算前分析抓本质!遇到统计问题,要重视过程分析和数据处理能力,能够制定或者找到合适的标准来为现实问题做决策提供依据.同时,统计问题不以对错来衡量,而以好坏来说理,重在言之有理.这也是统计与其他数学知识内容的最大差异.该课的统计决策类问题,就是要让学生为自己的决策自圆其说,让整个研究过程合情合理.

片段4设置开放问题,重在言之有理.

该课多次设置开放性问题.例如,选用2018年全国数学高考Ⅲ卷第18题的第1)小题,让学生根据茎叶图,判断哪种生产方式的效率更高,并说明理由.学生可以从平均数估计、中位数估计、百分位数估计和主要分布估计等4个角度入手,都能得出第2种生产方式更优的结论.教师在课堂中让学生充分表达,重点考查学生给出的判断方法是否体现统计的基本思想,述说的理由是否言之有理.

笔者大胆猜想,未来高考会不会在统计类问题中出现开放性问题?依据《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出的评价体系,是否可能采取不同水平的评价?例如,表述不够完整、不够清楚、不够到位,根据满意原则,可以认为达到数据分析素养水平一的要求;如果能够理解数据分析的思想,过程述说比较清楚,数学表达比较到位,就可以认为达到数据分析素养水平二的要求.

产业升级、经济发展方式转型主要有三条途径：一是产品技术的换代升级.例如，由一般加工升级为关键零部件、关键装备制造等；二是在产业链上向技术含量高、附加值高的领域延伸.如由一般加工制造向上游的研发、产品设计、技术专利、技术集成、融资、投资延伸，向下游的品牌构建、商业模式创新、流通体系、物流、产业链管理等延伸.这些上下游的经济活动也是现代服务业的内容，其增加值率更高，对产业的掌控能力更强；三是创建新兴产业.新兴产业是指基于重大发现和发明而产生的将改变人类社会生产方式和生活方式的新产品和由此产生的新的产业群，例如新能源、新材料、生物产业、新能源汽车等等.

4)针对“模型多、联系长”的特点,要重视数学(统计)建模的过程,加强统计与其他数学知识的融合.

概率统计中有各式各样的模型(如概率中的超几何分布模型、统计中的独立性检验模型等),人教A版《普通高中教科书·数学》(选择性必修第三册)也是以众多案例建模的过程来编写,让学生真正经历各种统计量和模型的形成过程,实现从建模的视角去解决实际应用问题.此外,在处理统计问题时还常常涉及函数、导数、不等式、数列等知识,与其他知识的联系深远,也给了它放在压轴题考查的可能.

片段5经历建模过程,关注知识融合.

该课最后一道例题就是让学生经历构建收益模型的全过程,并且在求收益最大值时与导数相关知识相融合.

例22020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是A市在经济总量超过万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.在推动制造业高质量发展的大环境下,A市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.表3是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x(其中5≤x≤20)(件)与相应的生产总成本y(万元)的4组对照数据.

表3 工厂每月生产的产量与相应的生产总成本

工厂研究人员建立了y与x的两种回归模型,利用计算机算得的近似结果如下:

其中模型1的残差图如图2所示.

图2

1)根据残差分析,哪一个更适合作为y关于x的回归方程?请说明理由.

2)市场前景风云变幻,研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q(万元)是一个与产量x相关的随机变量,分布列见表4.

表4 每件产品的销售价格q的分布列

结合你对第1)小题的判断,当产量为何值时,月利润的预报期望值最大?最大值是多少(精确到0.1)?

分析1)此题要求根据残差分析来选择回归方程,因此求出模型2对应的残差值(见表5),并作出残差图(空心圆点),如图3所示.

图3

表5 模型2的残差分析

借助残差图可以看到,模型1更适合作为y关于x的回归方程.

判断的理由可以多种,至少表述一种即可.例如,从数量的角度,模型1的4个样本点的残差的绝对值都比模型2的小;从图形的角度,模型1的4个样本残差比模型2的残差点更贴近x轴;模型1的4个样本点的残差点所在的带状区域比模型2的带状区域更窄.

2)设月利润为W,由题意知W=qx-y,容易列出W的分布列,并求得

借助导数工具,可以求得当x=11,即产量为11件时,月利润的预报期望值最大值是774.8万元.

3 结束语

未来已来,新高考已来!概率统计试题或许会成为未来新高考的一个分水岭,如果不予以重视,可能会成为高考中的一大隐患.因此,在高三复习备考过程中,这块内容需要加强研究,认真复习.教师要重视回归教材,细抠概念,强化阅读,落实方法,渗透思想,培养素养,这样才能从容应对高考.与此同时,挑战与机遇并存,新高考对广大教师来说也是一个新契机,只要努力提升自身的专业素养与业务水平,相信未来在统计这片蓝海中,会有更多的教师脱颖而出.