利用多元表征引领学生体悟计算的一致性——“小数乘小数”一课的教学设计

江苏省无锡市后宅中心小学 顾铭杰

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，在“数与运算”中要体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。苏教版数学五年级上册“小数乘小数”一课，对于小数乘小数的算法更多的是基于积的变化规律进行合情推理，缺少了一些演绎推理的过程与思考。学生在此过程中能够体悟到小数与整数的联系，但在将来学习分数乘法并感受数的运算本质上的一致性时尚且缺少足够的知识积累。因此，在本课教学设计时教师加入了一些对于“计数单位”的认识与感知，以便将来为学生沟通整数、分数和小数计算的一致性奠定基础。教学设计如下。

一、课前预学，精准把握学情

课前学生自主尝试完成预学题：

图1 是小明房间的平面图。你能算出他的房间面积是多少平方米吗？

图1

我的算式：

我的计算方法：

对照预学题的完成情况，与组内同学交流，说一说自己在解决这个问题的过程中是如何思考的。

【思考】数学知识之间的联系是紧密的，预学可以让学生自主建构此联系。小数乘小数的认知基础是整数乘整数，在本单元学习过程中，学生已在一定程度上体会并感知到了小数与整数计算之间的联系，有了小数加减法的学习基础，有一些学生能在知识迁移中依托经验和感受完成小数乘小数的计算。预学题的反馈可以帮助教师把握学生真实的认知起点。

二、多元表征，深入理解算理

根据学生的预学内容，挑选合适的教学素材进行展示（如图2、图3、图4、图5）：

图2

图3

图4

图5

以上是一些学生完成的预学单，观察、对比后，对于这些不同的得数，你有什么想说的呢？

【思考】通过4 份不同练习的对比，可以培养学生用审视的眼光看待问题，在此过程中，学生也可以体会到同样的问题甚至同一个算式可以用不同的方法求解。

预设一：根据估算的情况，可以把3.8×2.8 看成4×3，结果应该比12 小，所以算得的结果超过12 的肯定算错了。

预设二：图5 中的答案虽然是错的，但思路是对的，可以把3.8 米和2.8 米分别转化成38 分米和28 分米。最后的结果1064 平方分米可以转化成10.64 平方米。

预设三：图3 中的做法有一定的道理，但没有把得数加起来。

看来同学们都比较认可图4 中的方法，谁也是这样做的？说一说你们是怎么想的。

304 是怎么来的？（是由8×38 得到的。）

76 呢？（是由38×2 算出来的。）这个76 表示的应该是760。

这样算出来的积是1064，为什么最后的积变成了10.64 呢？

把3.8 和2.8 看成38 和28 时分别乘了10，算得的结果就乘了100，要得出3.8×2.8 的结果，就要将1064除以100，所以是10.64。

为什么算得的积不是小数点对齐？

【思考】挑选部分学生说明自己的思考过程，让另一部分对竖式还没有足够认知的学生也能清晰地认识到竖式这样书写的原因，特别是让学生在此过程中体悟小数点不是以“小数点对齐”的原因。

我们再来看看图3 中的做法，有的同学提到了结果要加起来，但是这两个数的结果相加也不是10.64，到底是怎么回事呢？我们一起结合图6 来看一下。

图6

把3.8 分割成3 和0.8，把2.8 分割成2 和0.8，3×2在图中什么位置，你能指出来吗？0.8×0.8 在图中什么位置呢？观察，3×2 的结果加上0.8×0.8 的结果就是3.8×2.8 的结果吗？

……

还有哪部分是这个同学未考虑到的？

3×0.8 和2×0.8。把这部分一起加上，才是3.8×2.8的真正结果。

其实，刚才的竖式我们同样可以用这幅图来表示，想一想，3.8×0.8 在图中什么位置？3.8×2 又在图中的什么位置？

它们合起来的结果就是3.8×2.8 的结果。

【思考】正如吴正宪、刘劲苓、刘克臣老师主编的《小学数学教学基本概念解读》中“运算能力”一节所描述的一样，“运用直观模型来理解两位数乘两位数算理，在图与式的勾连中，让学生深入理解算理，体会两位数乘两位数的本质：乘法意义和乘法分配律”。文章描写的只是两位数乘两位数，而这样的思考方式同样适用于小数乘小数。适用于整数乘法的点子图在小数乘法中并不能得到完全体现，因此在设计中采用了长方形面积这一基本乘法模型。通过让学生去指、说，把抽象的算理具体化、形象化，帮助学生建立起竖式和直观图之间的联系，在“数形结合”的过程中，加深对知识的理解，同时彰显出几何直观的好处，在潜移默化中引导学生产生几何直观的意识。利用竖式、实际意义、图示等多元的表征，引领学生对算理的认识逐步走向深入。

图6 中只是把两个小数按整数和小数的组成分了分，如果按照小数的组成来分呢？

3.8 可以看作多少个0.1？（38 个）2.8 可以看作多少个0.1？（28 个）按照这样的分法会出现怎样的情况呢？

38 在哪里？28 呢？这时总共有多少个小格子呢？（见图7）

图7

1064 个小格子。这样的一竖条或者一横条是指0.1，这样的小格子应该有多少呢？

所以3.8×2.8 的结果是1064 个0.01。

再来看竖式。

观察图7，再看看上面的算式。想一想，3.8×2.8 究竟是怎样计算的？

学习整数乘法时，计数单位都是1，通过画图的方式，我们发现0.1 与0.1 这两个计数单位相乘时，会产生更小的计数单位，就是0.01。

小数乘小数与整数乘法本质是相通的，都是个数与个数相乘，计数单位与计数单位相乘。不同的是，整数乘法的计数单位相乘后仍然是1，而小数乘小数时会产生新的计数单位。

【思考】学生在经历了估算、单位换算、积的变化规律等过程后，对于小数乘小数可以经由整数乘整数的方法进行合情推理，对结果也有了一定的认知判断，再通过直观感知小数乘小数的计算同样是基于计数单位进行的，以此建构起小数乘法与整数乘法计算的一致性认识。对于小数乘法中两个计数单位相乘会产生新的计数单位这一点，学生尚且缺乏分数乘法的认知基础，有一定的认知难度，通过图形的细分，直观感受到0.1 被分成了更细小的计数单位。根据之前的学习经验，五年级学生能够认识到新的计数单位是0.01。最后通过完整的演绎推理过程，将3.8×2.8 的小数计算以更为科学的方式进行完整体现，同时更好地体现了新课标对数的运算一致性的要求。

三、明确算理，完整构建新知

通过图形、竖式、估算等方式，我们得出了3.8×2.8的结果，如果再给一个小数乘小数，你还会算吗？

试一试：4.15×3.5。

指名板演：说一说你是怎么做的。

刚才我们是把小数点对齐的，这一次还是小数点对齐吗？

既然我们在计算小数乘小数时，是把它当成整数乘法进行计算的，就应该将末尾对齐。

观察乘积的末尾，这个小数部分的数位和什么有关？

想一想，这个算式会产生什么新的计数单位呢？你能用这样的横式形式来表示它的计算过程吗？

4.15×3.5 ＝（415×0.01）×（35×0.1）＝（415×35）×（0.01×0.1）＝14525×0.001 ＝14.525。

观察这两个小数乘小数的竖式计算，小数乘小数，应该如何计算呢？

先把小数乘小数看作整数乘整数进行计算。计算完成后，看乘数中一共有几位小数，就从乘得的积的右边起数出几位，点上小数点。

从右往左起数几位，其实就是确定新的计数单位的过程。

出示8.7×0.9、72.9×0.04、16.5×1.5 的竖式。猜一猜，小数点应该分别点在得数的哪里呢？这几个算式新的计数单位分别是什么呢？

出示：0.64×7.5，2.05×3.6。先猜一猜得数有几位小数，再算一算。

这几个算式都是两位小数乘一位小数，我们只能根据乘数中所有的小数位数去移动小数点，而不能直接说是几位小数，因为移动小数点后，可能还有积末尾有0 的情况。

刚才的说法里面还得补充一下：先把小数乘小数看作整数乘整数进行计算。计算完成后，看乘数中一共有几位小数，就从乘得的积的右边起向左数几位，点上小数点。如果积的末尾有0，再根据小数的性质进行化简。

【思考】在巩固练习的环节，继续让学生尝试着用横式的方法去感知小数乘小数计算时新的计数单位产生的过程，进一步明晰算理。同时，在此过程中也给学习能力不强、对小数乘法算理认识不够到位的学生提供恰当的学习抓手：完整经历从初步认识小数乘小数可以用整数乘整数的方法计算到积的小数点位置确定，再到化简末尾的0 的过程，建构起小数乘小数的竖式模型，借由算法的认识逐步向算理过渡。

通过今天的学习，你们对小数乘小数有了哪些认识？谁来说一说？

四、拓展延伸，勾连知识联系

出示：某超市里每千克奶糖16.8 元。用10 元买0.7千克奶糖，够不够？

对于这个问题，你想到了哪些解决办法？你是怎么想的？根据不同的数量关系式，可以用不同的方法来解决问题。猜一猜，小数除法的计数单位又会有怎样的变化呢？在后面的课堂我们再来研究。

【思考】联系的观点是深度学习的一个重要环节，通过这个问题，学生在回答出不同的方法后，思维的闸门也由此打开，学生在再一次感受一题多解的过程中，也借由数量关系感受到了除法是乘法的逆运算，列出的算式尽管目前不是很好的方法，但这也为后续学习小数的除法做了铺垫。

小学生的认知特点更偏重于合情推理，但要使学习走向深度，更好培养学生的推理意识和推理能力，仍有必要进行演绎推理的训练。小数乘小数的学习，可以通过演绎推理，让学生更加明晰小数乘法的算理，便于学生在将来学习分数乘法时沟通运算的一致性。