考查基本概念和基本思想突出关键能力和人才选拔——2023年全国乙卷数学试题评析与教学启示

陕西省陕西师范大学 刘再平 罗新兵 (邮编:710119)

华东师范大学出版社 刘祖希 (邮编:200062)

据教育部统计,2023年全国高考报名人数为1291万,比去年增加98万,再创历史新高.今年高考数学全国卷一共有6套试卷,分别是新高考Ⅰ卷一套(不分文理科)、新高考Ⅱ卷一套(不分文理科)、全国甲卷两套(分文理科)、全国乙卷两套(分文理科),这六套试卷都由教育部教育考试院统一命制,其中使用全国乙卷的省份较多,涉及地域广,主要包括河南、山西、江西、甘肃、青海、内蒙古、宁夏、新疆、陕西九个省份,这些省份主要分布在我国、中西部地区,是我国经济发展和教育改革推进相对缓慢地区,考生竞争压力大,所以对全国乙卷数学试题展开全方位地评析,对深化高考改革、探索高考数学测评和构建有中国特色的高考体系有着十分重要的意义.

1 试卷整体分析

2023年全国高考乙卷数学试题以《中国高考评价体系》[1]《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》[2]为依据,兼顾新老高中数学教材,以数学学科核心素养为导向,考查基本概念和基本思想,突出关键能力和人才选拔,落实立德树人根本任务.整体来说,全国乙卷数学试题稳中有变、稳中求新,其中考查的数学核心知识如表1.

表1 2023年全国乙卷数学试题考点分析表

通过上表分析,可以得到以下结论:

(1)全国乙卷数学文理科试题都突出了对高中数学主干知识(函数导数与三角、解析几何、立体几何、概率与统计、数列、极坐标与参数方程或不等式)的重点考查,六大主干知识试题共占全国乙卷文理科试题的90%,达到135分;

(2)除立体几何解答题难度增加外,其它基础试题和中档试题比去年稍简单,试题解答容易入手,学生更容易得分,然而疑难试题的难度并没有降低,从而既利于得分又利于拉开差距,实现人才的选拔;

(3)全国乙卷数学文理科相同试题有11道,类似姊妹题有6道,共计123分,占整个试卷的82%,即将淡出新教材的三视图、框图、线性规划等知识,正处于由过去全考到现在选择性考查的过渡阶段,虽然理科试题难度还是比文科稍大,然而两者之间的差距正在逐步缩小.

综上所述,全国乙卷高考数学试题正有序地向2014年开启的最全面、最系统、最深刻的文理不分科的新高考改革要求靠拢,席卷全国的新高考数学改革也已经进入最后收尾的关键时期.

2 试题特征评析

2.1 立足基本数学概念,考查数学思维

数学概念是对现实世界中某类对象的数量关系和空间形式的本质属性的一种简明概括、抽象和符号化反映形式,数学概念是数学思维的基本单位与细胞,数学概念高度凝结着数学家的思维,所以数学概念不仅是认识事物的思想结晶,也是数学的思维形式[3]. 在数学中,作为一般思维形式的辨析与推断,往往以公理、定理、公式的方式表现出来,数学概念则是组成它们的根基.培养学生的数学思维能力是数学教学的核心任务,数学思维能力的培养是一个长期的、潜移默化的过程,是在充分认识数学概念的过程中逐步形成的. 数学概念最有力量,数学是玩概念的,准确理解并灵活运用数学概念,学会用概念思维,是掌握数学基本知识和基本技能、培养数学逻辑思维能力和创新能力、落实数学核心素养的前提(如图1).

图1 数学概念的内涵与功能

2023年全国数学乙卷命题专家在立足基本数学概念、深入考查数学思维方面下了很大功夫,如:理科第4、9、10、12、19、21题,文科第5、6、8、19题等都是源于重要数学概念的优质试题.

图2

2.2 突出基本数学思想,关注通性通法

数学思想是数学的精髓,是对数学规律的本质和理性认识,是在数学认知过程中从具体的数学内容提炼上升的观点,是深刻在人们头脑中永远起着积极作用的态度、精神和文化.数学思想在数学认知活动中运用广泛,具有普遍的指导意义,是构建数学体系和解决数学问题的指导思想.[4]高考中的数学思想主要有五种:化归思想、分类思想、构造思想、数形结合思想、函数与方程思想. 特别需要说明的是数学思想与数学方法是两个不同的概念,数学方法是指从数学角度发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的过程中所采取的各种方式、手段与技巧等,数学方法包括代换、消元、放缩等.突出基本数学思想,引导学生关注数学通性通法,淡化特殊技巧,追求数学教学的长期利益,培养学生养成用数学通性通法思考和解决问题的好习惯,这才是培养学生数学素养的正道(如图3).

图3 数学思想的内涵、分类与功能

2023年全国乙卷突出基本数学思想,关注通性通法的试题很多,如理科填空压轴第16题将含参函数单调性问题转化与化归为恒成立问题,文科第20题压轴第(2)问对参数的分类讨论,并且多次构造辅助函数,理科第10题需要数形结合,文科第8题将零点问题视为函数与方程问题等.

本题在考查几何概型基本计算的同时,对数学思想提出了更高的要求. 如果学生不运用数形结合思想画出如图4所示的图形,则很容易漏掉第三象限的阴影部分,从而错选A.

图4

因此数形结合思想是解决该类问题的通性通法,关注通性通法可以减少很多不必要的失误.

2.3 创设自然真实情境,探索命题创新

2014年9月,国务院颁布的《关于深化考试招生制度改革的实施意见》启动了我国恢复高考历史以来最彻底的高考改革,为了落实《实施意见》精神,原教育部考试中心组织研制了《中国高考评价体系》,该体系主要由“一核”“四层”“四翼”三部分组成,分别回答了高考数学“为什么考”“考什么”“怎么考”三个重大问题,并且明确指出高考数学试题考查的载体是情境.数学情境是指真实的数学问题背景,是以问题或任务为中心构成的活动场域[5].数学情境一般包括现实情境、纯数学情境和科学情境.然而具体到高考数学中,则主要包括:课程学习情境,社会主义建设成果情境,数学名著、名题、数学家故事和著名建筑情境,体音美劳情境,个人、社会生活和科学实践情境,这些试题情境在育智和育人方面发挥着重要作用(如图5)[6-7]. 高考数学命题创新的主要方向之一,就是在《中国高考评价体系》的指导下实现情境类试题命制的深刻转变,构建数学情境类试题的命制标准. 由于全国数学乙卷主要面对我国中西部和经济、教育等相对薄弱地区,为了体现高考公平、公正的特征,2023年全国乙卷数学试题以课程学习情境和生活生产中的自然真实情境为主,在选取素材上,控制文字数量和阅读理解难度;在需要抽象数学问题时,设置适合学生的抽象程度;在解决问题时,控制试题的运算量,力求使情境化试题既达到高考要求又与考生认知水平、所处环境相贴切.

例3(1)(全国乙卷理科第7题)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )

A.30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种

(2)(全国乙卷文科第9题)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )

上述两道试题分别以学生选取课外读物和学校举行作文比赛为背景情境命制,分别考查了分步计算原理和古典概型的计算,试题表达简洁,计算量小,试题情境源于学生在学校生活中的真实情境,学生在解决此类问题时也会倍感亲切,便于考生数学水平的正常发挥.

2.4 重视数学关键能力,实现人才选拔

新时代高考数学试题的命制理念是以价值引领、素养导向、能力为重、知识为基,关键能力是高考重要的考核目标,也是测试和评价的核心指标和因素. 数学关键能力是指即将进入更高层次学校的学习者,在面对与数学学科相关的生活实践或学习探索问题情境时,能有效地提出问题、认识问题、分析问题和解决问题所必备的数学能力.[8]能力的范畴比较宽泛,中国高考在贯彻新一轮教育改革的理念、借鉴国外能力考查的经验和国内高中教育的实际情况,重点选取了阅读理解能力、信息整理能力、应用写作能力、语言表达能力、批判性思维能力、辩证思维能力这六种关键能力进行考查. 其中数学关键能力主要包括五种:逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、应用实践能力和创新能力(如图6),前四项具有明显的数学学科特征,是高中生学习数学必须具备的关键能力,创新能力符合高考服务选才的要求,体现了国家教育发展的意志[8].以关键能力为重的高考数学评价体系,可以缓解学生对数学知识的死记硬背,强化对知识的理解与灵活运用,减少学生大量的机械刷题,减轻学生负担,促进“双减”政策的落实,着重提升学生的思辨意识、创新能力和数学核心素养,从而实现人才的选拔[9].2023年全国数学乙卷在关键能力的考查方面很全面,如理科第10题综合数列和三角考查学生的逻辑思维能力,文理科第17题求平均数和方差,直接考查了运算求解能力,文科第16题以外接球为载体直接考查了空间想象能力,理科第11题和文科第12题通过设问的适度开放考查学生的创新能力.然而,对学生数学关键能力的考查也呈现其综合性的特征,即某道试题不一定仅考查学生一种关键能力,更多的是将几种数学关键能力综合考查,如理科第21题等.

(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(3)若f(x)在(0,+∞)存在极值,求a的取值范围.

此道压轴题第(1)问通过求切线方程,考查了基本的运算求解能力,第(2)问考查了对函数奇偶性的灵活应用能力,第(3)问已知含参函数的极值探索参数的范围,考查了逻辑思维能力和创新能力,本题综合考查了四种数学关键能力,区分度明显,实现了人才选拔.

2.5 打破试题套路,有效引导教学

学生的数学成绩无疑受试题的难度和分布顺序等因素的影响,在以前的高考数学中,特别是每道解答题的考试内容和难易程度都是相对固定的,通常来说六道解答题的内容顺序是:解三角形或数列、立体几何、概率统计、圆锥曲线、导数、选考(极坐标参数方程或不等式),试题的难度顺序是:前三道试题和最后的选考简单;圆锥曲线试题第一问简单,第二问难度中等偏上,是次压轴点;导数试题第一问简单或中等,第二问难度较大,是真正的压轴点.这种试题固化的局面很容易造成高考考什么教师就只教什么、学生也就只学什么的机械学习态势,扼杀了学生数学学习兴趣、数学批判思维和创造性思维能力的发展,不利于国家选才和中华民族伟大复兴.所以2023年2月教育部组织刚参加新高考的四省(安徽、黑龙江、吉林、云南)高考前适应性考试,其数学试卷解答题的顺序是立体几何、三角函数、数列、概率统计、圆锥曲线和导数,完全打破了试题套路.2023年的全国数学乙卷更是如此,不仅在解答题方面把概率统计放在了第一题,而且打破了从2019年开始的“第四题效应”,即从2019年开始全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷或全国甲、乙卷在第四题左右都会命制一道难度稍大、背景新颖、文字较长的选择题. 在考查内容与解题方法上,2023年全国乙卷也打破了固有套路,如理科第9、19题求线面角和二面角时,教师常教的、学生熟悉的建系、利用空间向量的解答套路失去了应有的效果. 这种从试题顺序与解法等多方面打破试题套路和固化的现象,不仅有利于培养学生良好的心理素质和坚毅顽强的意志品质,而且引导教学要重视对数学本质的理解,而不是采取猜题、押题和疲劳刷题的高三复习教学模式[10-11].

图7

(1)证明:EF∥平面ADO;

(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

3 教学启示

综上所述,2023年全国乙卷数学试题在内容上关注对基本概念和基本思想的考查,在命题创新上转变关注真实情境、打破固有试题顺序与解法套路,在区分度上注重关键能力的考查,全国乙卷文理科两套试卷既有创新,又保持稳定,试题难度相对于2022年有所降低,理科试题降低幅度很小. 这在引导数学教学上给我们带来如下启示:

(1)注重教材中数学概念的生成过程,突出数学本质. 数学概念教学要避免“一个概念、两点注意、三个例题、大量练习”式的浅层接受式教学,要引导学生充分经历知识的生成过程,理解数学基本原理、思想和本质,努力实践发展学生高阶思维的深度教学[12].

(2)揭示数学解题的思维历程,减少机械刷题. 数学学习不做题是不可能的,但是大量刷题是低效和不可取的,如今“三轮复习”是最常见的高三数学复习模式,即一轮复习夯实所有基本知识与基本技能,构建知识网络;二轮复习开展疑难专题突破;三轮复习进行高考模拟训练.每轮复习的题量要适合班级学生学情,减少模仿、机械刷题,安排适量的练习题. 那么如何通过适量的练习来提高学生的数学成绩呢?陕西师范大学罗增儒教授的经验值得借鉴:揭示典型问题的解题思维历程,从有限道题目中获取解决无限道题的智慧[13].

(3)重视数学探究,培养数学关键能力. 重视合作、交流与探究是培养学生数学关键能力的核心手段.开展探究教学时,教师要在数学思维层面上下功夫,即学生在面临困惑时,及时在思路的卡壳点引导,并鼓励学生对问题进行反复、顽强的思考,探究离不开合作,但也少不了独立思考,应该将两者有机的融合起来,以构成探究学习的核心要素和提升数学思维品质.当然,数学教学不必为了探究而探究,要避免表面的热闹掩盖学生认知的肤浅和思维的贫乏现象[14-15].

(4)渗透基本数学思想,关注通性通法. 关于基本数学思想和数学通性通法,日本著名数学家米山国藏的理念在中国数学教育界广为流传:学生在学校学习的数学知识在毕业后很快就会忘记,但数学的思想、思考方式和精神却受益终身. 所以教师在教学中要有意识地和潜移默化地渗透基本数学思想,关注通性通法,这不仅仅是高考备考的需要,更是学生将来适应社会、为人处世和终生发展的需要.

(5)创设真实和跨学科问题情境,培养创新能力. 数学情境不仅是高考命题的载体,也是广大教师日常通过问题驱动引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题和构建新知的载体,更是激发学生数学学习的内驱力、培养创新能力和实现数学育人的载体. 我们的建议是努力创设贴切学生学习和生活的真实情境,因为千教万教教人求真,大胆创新创设跨学科问题情境,培养学生的创新能力和综合运用能力.