对一道高考试题的再探究

安徽省泗县第二中学 于先锋 (邮编:234300)

2008年安徽省高考数学试题理科第22题为:

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

探究一若椭圆退化为圆,则点Q是否在某定直线上?

不失一般性,设点P(a,b)在圆C外,圆C的方程为:x2+y2=r2．

图1

①

②

③

④

①+②并结合③,④,可得直线ax+by=r2,这是我们非常熟悉的一条直线,即过点P(a,b)向圆C所作切线得两个切点的连线(切点弦所在的直线)．

探究二当点P(a,b)在椭圆C:Ax2+By2=C(A>0,B>0)外时,相应的结论是否还成立．

利用探究一的方法可得点Q在定直线Aax+Bby=C上,下面证明此直线就是过点P向椭圆C作切线的两个切点的连线．

图2

⑤

又点M在椭圆上,即Ax32+By32=C

⑥

由⑤、⑥得Aax3+Bby3=C

⑦

同理,由过点N的切线为Aax4+Bby4=C

⑧

由⑦、⑧得,过两切点M、N的直线是Aax+Bby=C,证毕．

对于方程Ax2+By2=C(C≠0),若AB<0,则它表示的曲线是双曲线,因此上述结论对双曲线也成立,那么该结论对抛物线是不是成立呢?

探究三设点P(a,b)与抛物线C:y2=2px(p>0),点P在y轴左侧,那么相应的结论是否还成立

图3

⑨

⑩

据A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线C上,并将⑨、⑩分别代入C的方程y2=2px(p>0),整理可得(b+λy)2=2p(a+λx)(1+λ)

(b-λy)2=2p(a-λx)(1-λ)

因为λ≠0,所以by=p(x+a),即点Q总在直线by=p(x+a)上．可以证明此直线是过点P向抛物线C所作切线的两个切点的连线．

又点M抛物线C上,所以y32=2px3

同理,由过点N的切线为by4=p(a+x4)

在上述定理中,若点P在线段AB上,点Q在线段AB延长线上,其它条件不变,点Q还在一条定直线上吗?若是,它又是怎样的一条直线?下面以椭圆为例进行探究．

设点P(a,b)在椭圆C:Ax2+By2=C(A>0,B>0,C≠0)内．利用探究一的方法,同理可得点Q在定直线Aax+Bby=C上．

下面探究直线Aax+Bby=C的位置．

如图4,以点P为中点作圆锥曲线C的弦MN,过M、N作圆锥曲线C的切线交于点E,过点E作弦MN的平行线EF,下面证明平行线EF的方程是Aax+Bby=C．

图4

设A、B、E的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(p,q),

由A、B都在椭圆上可以得到:

当x1≠x2时,由得

又因为P是MN的中点,所以x1+x2=2a,y1+y2=2b

过M、N作椭圆C的切线交于点E,也可以认为过点E向C作切线,切点为M、N,则直线MN的方程可以用点P的坐标表示为:Apx+Bqy=C

当x1=x2时,点P在x轴上(不在坐标原点),则直线EF的方程Aax=C也满足Aax+Bby=C,对于圆、双曲线、抛物线,也可以用上述方法证明．

探究四当点P(a,b)是椭圆C:Ax2+By2=C(A>0,B>0)外一点时,定理1的逆定理是否成立?

由前面知过切点M、N的直线l的方程是Aax+Bby=C

点Q在直线l上,其坐标满足方程,将代入得:

当A=B时,Ax2+By2=C(A>0,B>0,C>0)表示圆．

当AB<0时,Ax2+By2=C(C>0)表示表示双曲线．

因此,上述结论对圆、双曲线也成立．

可以用相同的方法推导上述结论对抛物线也是成立的,请读者自行完成．

以上通过类比的思想和方法,主要探究了圆锥曲线中的定直线问题、比例问题,这些都值得回味和深思．