耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的随机共形多辛方法

苗利军, 黄驿为

(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 116081)

绝大多数偏微分方程的解不能以实用的解析形式来表示,因此,数值方法成为研究方程解析解的重要工具.耗散型耦合非线性薛定谔方程作为一类特殊的偏微分方程,可用于描述许多自然现象的物理过程,在凝聚态物理、生物建模和等离子物理等领域都有重要应用[1-2].对于确定的带线性耗散项的耦合非线性薛定谔方程,傅浩[1]构造了方程的共形多辛格式和保局部共形动量格式.近年来,构造数值格式来保持受随机噪声影响的耦合非线性薛定谔方程的几何结构越来越受到学者们的关注.Chen等人[3]提出了耦合随机非线性薛定谔方程的随机多辛守恒律,并构造了满足方程离散的随机多辛格式.受到上述文章的启发,本论文将构造数值格式来保持由加性噪声驱动的耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的随机共形多辛几何结构.

1 耗散型耦合随机非线性薛定谔方程

考虑以下加性噪声驱动的耗散型耦合随机非线性薛定谔方程

(1)

这里u,v为两个复振幅,α,σ和β分别表示群速度色散、自相位调制参数和交叉调制系数,耗散系数a>0,ε为噪声尺度,复值Wiener过程W(t)是定义在给定的赋σ-域流的概率空间(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的Q-Wiener 过程,并且W有如下Karhunen-Loève展开:

Kdtz+L∂xzdt=-aKzdt+∇S0(z)dt+∇S1(z)dW1+∇S2(z)dW2,

(2)

其中,

S1(z)=-ε(s1+s2),S2(z)=ε(r1+r2).

定理1.1[4]方程(2)满足随机共形多辛守恒律

dtω(t,x)+∂xκ(t,x)dt=-2aω(t,x)dt,

即

命题1.1[4]对任意a>0,下面的等式成立:

dt(e2atω(t,x))+∂x(e2atκ(t,x))dt=0.

2 随机共形Euler box格式

引入微分算子[5]

基于文献[6],构造耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1)的随机共形Euler box格式:

(3)

其中,

定理2.1随机共形Euler box格式(3)满足以下随机离散共形多辛守恒律:

证式(3)对应的变分方程为

(4)

而上面等式左边的前两项

左边的后两项

因此,

(5)

故

命题2.2对任意a>0,下面的等式成立:

证将式(5)的两侧同时乘以eatn,可得

则

故