管壳式相变蓄冷单元传热肋片拓扑优化设计

孟金龙, 张庭玮, 徐世俊, 闫学文, 胡伟强

(上海航天设备制造总厂有限公司, 上海 200240)

相变蓄冷技术利用相变材料潜热实现冷量的蓄存与释放,其蓄冷密度大,蓄冷释冷过程近似恒温,因而具有良好的应用前景[1-2]。相变蓄冷技术在应用中,需要有高效的换热结构以实现冷量的快速蓄存以及释放。常用的蓄冷结构形式主要有堆积床式以及管壳式两大类。其中,管壳式相变蓄冷结构形式简单,安装维修方便,相变材料填充量大,蓄冷密度高,因此在工程中应用较广[3]。

由于相变材料的导热率很低,因此使用过程中往往需要增加强化换热措施,迄今为止,相变蓄冷的强化传热研究主要有两个领域:①开发金属纳米颗粒复合相变材料[4]和多孔介质复合相变材料[5]以增加材料导热性能;②增加高导热肋片以提升换热速率[6-8]。虽然通过添加纳米颗粒和/或多孔介质已经成功地提高了复合材料的导热性,但在多次循环后可能会出现相变材料储能密度大幅下降和相分离等诸多问题[9]。而构建高导热肋片则不会导致相变材料退化或分离等问题。因此,肋片结构导热通道的优化设计成为研究的热点。

目前,针对管壳式相变蓄冷结构传热肋片的研究已经很丰富,对肋片的不同构型也有了较为广泛的探讨。

Yagci等[10]进行了一系列实验,研究了不同肋片长度比对管壳式相变单元蓄冷释冷性能的影响。结果表明,当肋片长度比从1减小到0时,相变材料的液化时间缩短了21%。Kumar等[11]对管壳式储能装置中肋片内管不同偏心位置对相变材料液化性能的影响进行了数值和实验研究。结果表明:当肋片底部夹角较小,内管偏心距最大时,蓄冷性能最佳。Zhang 等[12]利用分形理论对相变单元内肋片的分布进行优化设计。结果表明,当主肋与支肋长度比为1.3、宽度指数为1时,蓄冷释冷较快。

上述研究绝大多数主要集中在传统直肋、针肋、环肋等的参数优化方面,即对已有的一些肋片形状进行具体尺寸上的优化分析,缺少具体的优化理论指导,对于肋片设计的最优构型报道不多,少部分研究是基于仿生学原理或者数学中的分形理论对肋片进行设计,除此之外大多数关于肋片的设计都是依靠设计者的个人经验。因此,针对管壳式相变蓄冷单元的特征结构,有必要对其传热肋片的最优设计构型进行研究,并为以后肋片优化设计提供一定指导。

肋片结构优化一般可以分为尺寸优化、形状优化与拓扑优化,拓扑优化作为设计的初始概念阶段,设计自由度最高,相应的求解难度也最大。近年来,拓扑优化逐渐被引入到传热领域,其中大多数集中在芯片散热的高导热通道求解上,即通过类比稳态传热过程与结构力学中的应力应变过程,以散热弱度最低为优化目标,对其进行优化求解[13]。虽然其可为高导热通道的布置提供一定的理论支撑,但现有研究主要针对稳态导热问题,对于相变蓄冷这一瞬态问题的拓扑优化研究还很少,现基于拓扑优化理论,针对管壳式相变蓄冷单元的物理结构,结合其特定的传热背景,就其传热肋片的拓扑优化问题进行特征构建求解,得到肋片最优拓扑构型,对管壳式相变蓄冷单元传热性能的改善与肋片优化设计的理论指导有重要意义。

1 物理模型

管壳式相变蓄冷单元如图1 所示,其结构主要包括内管以及外壳,内管主要用作换热流体通道,相变材料填充在内管与外壳之间,外壳外围包裹保温材料防止冷量的散失,换热流体流过内管通过管壁与相变材料进行换热,从而实现冷量的蓄存与释放。

图1 管壳式相变蓄冷器示意图Fig.1 Shell and tube heat transfer structure

由于管壳式相变蓄冷结构周向为对称结构,为简化计算,选取管壳式相变蓄冷单元轴向二维截面作为设计域Ω,如图2 所示。设计域中既包括低导热率的相变蓄冷材料,又包括高导热的肋片材料,优化目的即为寻求设计域内二者的最佳分布,从而使得整体结构换热最优。

对于上述问题,其能量方程可以写为

(1)

(2)

式中:r和φ分别为极坐标系中的径向和坐标角度;Ω表示设计域;下标“PCM”和“fin”代表相变材料和肋片;ρ为密度,kg/m3;k为导热系数, W/(m·K);c为比热容,J/(kg·K);τ为反应时间,s;h为相变材料的焓,kJ/kg,其定义为

r为内管半径;R为外管半径;q为热流密度,q=0表示内管管壁设定为恒温边界;T为设计域温度, Tb为边界温度,T=Tb表示外边界 为绝热边界图2 拓扑优化模型计算域Fig.2 Design domain of topology optimization model

(3)

式(3)中:L为相变材料潜热,kJ/kg;T为温度,K;Tini表示初始温度,K。

边界条件和初始条件为

T=Tb, ∀τ

(4)

(5)

T=Tini,τ=0, ∀(r,φ)∈Ω

(6)

式中:Tb表示边界温度,K;n为单位法向量。

对式(1)和式(2)进行变分法可得能量方程的有限元方程为

(7)

式(7)中:M代表热容矩阵;T为计算节点对应的温度列向量;K则为导热刚度矩阵,等式右端的Q项则主要包括两部分:一是等效热源部分,另一个则是边界条件部分。

此外,对于式(7)中热容矩阵的处理主要采用集中法,即将离散单元的热容平均分配到各个网格节点上,从而尽可能减少计算过程中出现振荡等不收敛现象。

2 拓扑优化模型

对于管壳式相变蓄冷单元而言,其主要目的在于求解设计域内高导热肋片与低导热相变材料的最优分布,使得因相变材料导热率低而产生的换热不佳的问题得以解决,基于此,选取最终时刻的平均温度最低作为拓扑优化模型的目标函数,在相同的初始条件下,经过相同时间段后的最终时刻平均温度越低,代表这段时间内换热速率最快,也就是对于换热的强化效果越好。

对于管壳式相变蓄冷结构的拓扑优化问题来说,目的在于求解最佳换热下的材料最优分布,所以设计变量应该为高导热材料的“有”“无”,通过求解高导热材料的分布即可反映出最终的几何拓扑构型,因此该问题中材料的“有”“无”即代表了设计变量的上下界“1”和“0”。此外,该问题的等式约束为之前求得的有限元方程,不等式约束选取高导热材料肋片体积占比,以保证在满足一定蓄冷密度前提下使得综合换热效果最优。基于此,二维管壳式相变蓄冷问题的拓扑优化模型为

(8)

式(8)中:A为设计域的面积;γ为高导热肋片材料的最大体积占比;τ为一段时间内的最终时刻;x为自变量,表示高导热材料的有无。

模型构建过程中的主要参数如表1所示。

表1 模型参数设置表Table 1 Parameters of model

3 计算结果

3.1 肋片拓扑构型动态演化特性

图3所示为肋片拓扑构型动态演化特性图,由图3可以看出,在整个迭代过程中,肋片结构的变化趋势为由内向外生长,并且出现明显的主肋以及支肋的分叉结构。在迭代初期存在较多的中间密度单元,拓扑构型十分不清晰,随着迭代次数的增加,在实现设计变量的过滤以及更新后,中间密度单元数量逐渐减少,再经过投影函数对肋片轮廓的投影,肋片构型逐渐清晰,在迭代次数达到70次的时候,拓扑构型基本稳定。最终优化求解后的肋片拓扑构型轮廓清晰,在一定程度上具有分形的特点,主肋与支肋的分叉较为明显,相邻主肋之间夹角大约为45°,一级支肋也大致呈现45°夹角,二级支肋由于周向距离的限制,在逐渐生长至靠近外边界时,尽可能增大自己夹角使得高导热材料可以覆盖更大的区域,以求得更优的换热效果。

3.2 不同体积占比下的最优构型分析

进一步探究不同肋片体积占比下最终所得拓扑构型的异同,如图4 所示,可以发现,当肋片体积占比非常少,只有5%的时候,所得肋片最终构型非常简单,只有部分主肋有支肋结构,且由于受到材料占比的约束,各个肋片的几何尺度都很小,随着肋片体积占比的增多,肋片最终拓扑构型逐渐丰富,肋片末端进一步向外延伸,更多的肋片出现了明显的主肋与支肋结构,当肋片体积占比达到20%的时候,肋片最终拓扑构型逐渐稳定,由于受到外边界距离限制,进一步加大肋片体积占比只会在之前构型上增大相应主肋与支肋的宽度,对于肋片拓扑构型的影响很小。

图4 不同体积占比下的拓扑结构Fig.4 Topology structural under different volume fraction

图5则表示了不同肋片体积占比下目标函数的变化趋势,当肋片体积占比从5%逐渐增大到20%,由于肋片拓扑构型不断丰富,设计域内有更多的高导热材料以及尽可能大的覆盖面积,使得整个设计域最终时刻的平均温度不断降低,当肋片占比从20%进一步增加至25%时,由于肋片拓扑构型已经趋于稳定,虽然设计域内高导热材料增多,但由于肋片构型基本不变,意味着相变材料与肋片换热边界路径基本类似,而换热的阻力主要来自低导热率的相变材料侧,这也就是虽然肋片占比提升了5%,但整体设计域平均温度下降不多的主要原因。反观更多的肋片体积占比意味着更多的高导热材料成本以及更少的相变材料,综合考虑优化效果、蓄冷密度、肋片成本等因素,20%的肋片体积占比是一个较优值。

图5 不同高导热材料体积分数下目标函数趋势Fig.5 The trend of objective function under different volume fractions of high thermal conductivity materials

3.3 蓄冷特性对比

采用等效热容法就拓扑优化肋片与直肋在相同蓄冷条件下进行蓄冷特性分析。图6和图7分别为管壳式蓄冷单元蓄冷过程相变材料液相率变化云图。可以看出,在前20 min,不管是采用拓扑肋片还是直肋的蓄冷单元都只有很小的一部分材料发生相变,由于肋片的导热系数较高,冷量通过内边界很快地传递给肋片末端靠近外边界的位置,由于边界为恒温边界,因此冷量就通过肋片由内边界源源不断向相变材料进行传递。可以发现,在20 min的时候,发生相变的相变材料主要集中在肋片周围,到40 min的时候,可以明显看出采用拓扑肋片的蓄冷器有更多的相变材料完成相变,这是因为相比于直肋蓄冷单元而言,采用拓扑肋片的蓄冷单元结构较为优化,虽然肋片材料体积占比相同,但因其有主肋以及支肋结构,相比于直肋的等宽路径而言,拥有了更长的换热路径,也相当于肋片与相变材料的换热边界得以扩大,更多的相变材料可以直接通过肋片进行换热,而不是单纯依靠相变材料自身的低导热率进行换热。由图8蓄冷过程液化率变化曲线可知,在相同的初始条件下,相同的计算时间内,采用拓扑肋片的蓄冷单元最终有87.2%的相变材料完成蓄冷过程,而直肋的蓄冷单元则只有45.5%的材料完成了相态转变,拓扑优化肋片相比于直肋对于相变蓄冷过程的强化换热效果提升了41.7%。

图6 拓扑优化肋蓄冷器不同时刻蓄冷过程液化率云图Fig.6 Topology optimization ribbed cold storage process liquid faction concur at different times

图7 直肋蓄冷器不同时刻蓄冷过程液化率云图Fig.7 Straight ribbed cold storage process liquid faction concur at different times

图9和图10则从蓄冷过程中温度场变化的角度对拓扑肋片蓄冷单元以及直肋蓄冷单元进行对比分析。由图9、图10可知,在蓄冷过程中相同时刻,采用拓扑肋片后的蓄冷单元平均温度较直肋更低,这也主要是因为拓扑优化后的肋片构型其传热路径更远,涉及的换热边界更多,虽然二者材料占比相同,但其可以将高导热的肋片尽可能多的分布在整个设计域。这也进一步验证了主肋与支肋的分支结构虽然减少了肋片的宽度,但相反可以使得更多的肋片分布到靠近外边界的区域,使得外围远离内管换热流体的相变材料也可以较快的实现换热,从而说明拓扑优化在相变蓄冷强化换热领域的优势。

图10 直肋蓄冷器不同时刻蓄冷过程温度场云图Fig.10 Cloud diagram of temperature field of straight rib cooling storage process at different time

4 结论

基于拓扑优化理论,构建了二维管壳式相变蓄冷单元的物理模型并进行有限元分析;接着选取最终时刻平均温度为目标函数,以肋片材料体积占比为约束条件构建了拓扑优化模型;采用全局移动渐近线法对拓扑优化问题进行特征求解并得到清晰的拓扑轮廓。接着探究了不同高导热材料体积占比下拓扑构型及优化效果的差异,并在相同蓄冷条件下将直肋与拓扑优化肋蓄冷效果进行对比,得到以下结论。

(1)拓扑优化所得肋片的最优构型呈现类似树枝状的分叉效果,并且有明显的主肋与支肋的拓扑结构。其肋片结构在优化迭代过程中,生长趋势由内向外,尽可能多且均匀的覆盖整个设计域,从目标函数变化来看,不论是主肋还是支肋都对设计域的强化换热有一定的贡献。

(2)在肋片体积占比从5%增加到25%过程中,肋片拓扑构型逐渐丰富,支肋数量逐渐增多;当体积分数为20%时,肋片最优拓扑构型基本成型,更多的材料只增加了肋片的宽度,对目标函数优化效果提升不明显。综合考虑材料成本以及蓄冷密度,20%肋片体积占比是较优选择。

(3)拓扑优化所得肋片增加了与相变材料之间的换热路径,相比于直肋蓄冷单元,在相同蓄冷条件下,采用拓扑优化肋片的蓄冷单元中蓄冷速率较直肋提高了41.7%,且整个蓄冷过程的平均温度也大大低于直肋蓄冷单元,最终时刻设计域的平均温度较直肋降低了3 ℃左右。