零点问题取点技巧的教学探究

［摘 要］零点问题的解析常运用零点存在定理，涉及关键的取点分析，准确取点是解题的关键。教师应重点指导方法技巧。文章从问题出发，启发学生思考，深入探索零点问题的取点技巧，并结合实例强化，提出相应的教学建议。

［关键词］零点问题；取点技巧；教学

［中图分类号］" " G633.6" " " " ［文献标识码］" " A" " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）17-0004-03

利用零点存在定理判断零点的个数是高考命题考查的热点，该知识点也是学生学习的难点。在使用零点存在定理时，学生需要找到函数值异号的两个点，而准确取点是解题的关键，具有一定的难度和技巧性。教学中，教师需要讲解方法原理，引导学生掌握对应技巧，同时立足问题，引导学生感知问题，逐步掌握方法技巧。

一、由问题引发的思考

问题：已知函数[f（x）=cosx-xx2]，[x∈（0，+∞）]，试证明函数[f（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一个零点。

解析：证明函数[f（x）]在固定区间上有且只有一个零点，基本思路是借助导数的相关知识，结合零点存在定理来探索。

令[f（x）=cosx-xx2=0]，可得[cosx-x=0]，再令[g（x）=cosx-x]，要证明函数[f（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一个零点，即证明[g（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一个零点。

而[g（x）=-sinx-1lt;0]，则函数[g（x）]在[（0，+∞）]上单调递减。进一步分析有[gπ6=cosπ6-π6gt;0]，[gπ2=cosπ2-π2lt;0]，则[gπ6·gπ2lt;0]。

根据零点存在定理可知，函数[g（x）=cosx-x]在[（0，+∞）]上有且只有一个零点。

教学引导：教师在过程解析后引导学生重点关注函数[g（x）=cosx-x]的判断方法，显然是采用特殊值法，即取函数上的特殊值：[gπ6]和[gπ2]，根据其异号判断对应两点位于[x]轴的上、下方不同位置，进一步结合函数的单调性完成证明。教学中教师需要让学生进一步明晰：准确取点是函数零点问题的破解关键，需要详细总结方法技巧，在此基础上构建教学专题，结合问题进行取点技巧的探索。

二、取点技巧的初步教学

（一）教学指导

上述简单地呈现了利用“特殊值”法取点的过程，这里的“取点”并不是“瞎猜胡蒙”，而是基于一定的理论分析，所取的点均为三角函数的特殊位置，便于计算。教学中教师需要引导学生明晰该方法的两大关键：一是特殊位置点，考虑区间的端点以及特殊值点，当解析式中含有指数、对数或三角函数时，考虑取其中的参数无关点；二是含参点，取点的基本原则为将解析式中的含参项去参为常数，若无法实现，则先简化其中的含参项，再配合不含参项变式调整。

（二）解题指导

［例1］当[0lt;alt;1e]时，试讨论函数[f（x）=lnx-ax]的零点个数。

过程指导：先判断函数的单调性，再结合零点存在定理得出零点个数，其中第二步需要进行取点判断。

先对函数[f（x）]求导，即[f（x）=1x-a]，[x∈（0，+∞）]，分析可知函数[f（x）]在[0，1a]上单调递增，在[1a，+∞]上单调递减。而[f1a=-1-lnagt;1-1=0]，当[x→0]时，[f（x）→-∞]；当[x→+∞]时，[f（x）→-∞]，从而可判断函数单调区间上的分界点，显然就是在[0，1a]和[1a，+∞]上进行取点。

再对函数取点分析：分析可知[1agt;e]，易知[1∈0，1a]， [f1=-alt;0]，而[f1agt;0]，因此函数[f（x）]在[0，1a]上有一个零点。

下一步需要在[1a，+∞]上找到满足函数值小于零的点，因为[1agt;e]，所以可以考虑[1a]加一个正数或乘一个大于1的数，但不便于后续运算。考虑到[1agt;1]，故[1a2gt;1agt;1]，而[f1a2=-2-1alt;-2-elt;0]，显然在[1a，+∞]上有一个零点，从而可得出结论：函数在定义域上有两个零点。

解后思考：采用特殊值法进行取点分析，为简化含参[ax]项，故取点的出发点为[f1a]，根据题目要求来确定与[f1a]异号的点，从而确定了探索方向。运用特殊值法取点分析时，应关注区间的端点以及适当放缩后的特殊点。

三、取点技巧的深入教学

（一）教学指导

在对零点问题进行取点时，还可以采用内点效应。教学中教师需要引导学生明晰内点效应的概念，再结合实例进行指导。

内点效应的概念：函数[g（x）]和[h（x）]在区间（a，b）上，若[g（a）gt;h（a）]，则取任意的[m∈（h（a），g（a））]，则不等式组[g（x）gt;m，h（x）lt;m]有解，且这个解集中所有的[x]都满足[g（x）gt;h（x）]；若[g（a）lt;h（a）]，则取任意的[m∈（g（a），h（a））]，则不等式组[h（x）gt;m，g（x）lt;m]有解，且这个解集中所有的[x]都满足[g（x）lt;h（x）]。

分析上述概念，显然利用内点效应可将一个不可解的不等式转化为一个可解的不等式处理；灵活利用内点效应，可以帮助我们在使用零点存在定理判断根的存在性时进行取点分析。

（二）解题指导

［例2］已知函数[f（x）=lnx-x+1x-1]，判断函数[f（x）]在定义域上零点的个数。

过程指导：第一步，先引导学生判断函数的单调性，并初步判断在区间上可能的零点个数情况。

根据题意可知，函数的定义域为（0，1）∪（[1，+∞]），理由如下：[f（x）=lnx-x+1x-1=lnx-2x-1-1]，显然函数[f（x）]在（0，1）和（[1，+∞]）上单调递增，因此每个区间上的零点个数最多为1。

第二步，进行取点，分步讨论函数在[（0，1）]和[（1，+∞）]上的零点个数。

①讨论（0，1）上的零点个数。由“[x→0]时[f（x）→+∞]；[x→1]时[f（x）→-∞]”可判断函数[f（x）]在（0，1）上应该有一个零点。下面再利用内点效应取点判断符号。

[f（x）lt;0⇔lnxlt;x+1x-1]，令[g（x）=lnx]，[h（x）=x+1x-1]。

当[x→0]时，[g（x）→-∞]，且[h（0）=-1]，分析可知[m]取值的区间为[（-∞，-1）]，可取[m=-2∈（-∞，-1）]，则不等式组[g（x）lt;-2，h（x）gt;-2⇔lnxlt;-2，x+1x-1gt;-2⇔0lt;xlt;1e2]，取[x1=1e2]，则[f1e2=3-e2e2-1lt;0]。

当[x→1]时，[g（1）=0]，[h（x）→-∞]，分析可知[m]取值的区间为[（-∞，0）]，可取[m=-1∈（-∞，0）]，则不等式组[g（x）gt;-1，h（x）lt;-1⇔lnxgt;-1，x+1x-1lt;-1⇔1elt;xlt;1]，取[x2=1e]，则[f1e=-21-egt;0]。

显然函数在（0，1）上有一个零点。

②讨论[（1，+∞）]上的零点个数，参考上述的方法思路。

当[x→1]时，[g（1）=0]，[h（x）→+∞]，故取值区间为[（0，+∞）]，可取[x3=e]，则[f（e）=1-1+ee-1lt;0]；

当[x→+∞]时，[g（1）=+∞]，[h（x）→1]，故取值区间为[（0，+∞）]，可取[x4=e2]，则[f（e2）=2-1+e2e2-1=e2-3e2-1gt;0]。

显然函数在[（1，+∞）]上有一个零点。

综上可知，函数[f（x）]在定义域内有2个零点。

解后思考：从上述的取点分析过程来看，内点效应起到了关键的“中介”作用，将常规的“猜点”转化为有迹可循的分析推导过程，通过转化生成简单的不等式再求解，确保准确取点。另外，对于零点问题，若可以将其转化为两个函数图象的交点问题，且函数为“一定一动”，也可以先初步判断函数零点的个数和位置，再进行取点分析。

四、取点技巧的拓展教学

（一）教学指导

零点问题的“取点”技巧，除上述两种外，还有一种特殊的方法技巧，即融合了放缩思想的“放缩取点”法。其原理易懂，即无法直接取点时可以对函数适当放缩，将其放缩成一个易解方程的函数，使用时需注意论证在规定的定义域。

放缩法取点的关键有两个：一是明晰放缩对象；二是根据增减的速率合理选取放缩的方法，基本原则为不改变函数的变化趋势。

教学中教师需要指导学生掌握放缩取点的方法技巧，常用的有以下三种：

①根据函数的有界性来放缩，把握定义域范围下函数的取值范围。

②根据曲线情形来放缩，实则为“化曲为曲”，即当函数图象为曲线时，不可将其放缩为直线。常见的放缩不等式有[exgt;x2]，[ex=ex22gt;x22=x24]，[exgt;-1x（xlt;0）]，[lnxlt;x]。具体选择哪种，需灵活依题而定。

③根据切线放缩，将指数函数、对数函数放缩为一次函数，即“化曲为直”。常见的放缩不等式有[ex≥x+1]，[ex≥ex]，[lnxlt;x-1]，[lnx≤xelt;xk（0lt;klt;e）]。

（二）解题指导

［例3］已知函数[f（x）=ae2x+（a-2）ex-x]，试回答下列问题：

（1）讨论函数[f（x）]的单调性；

（2）如果函数[f（x）]有两个零点，试求[a]的取值范围。

过程指导：第（1）问为单调性讨论，实则也是为了便于第（2）问的零点讨论。通过求导即可确定结论：若[a≤0]，则[f（x）lt;0]，所以[f（x）]在（-∞，+∞）单调递减；若[agt;0]，则[f（x）]在[（-∞，-lna）]上单调递减，在[（-lna，+∞）]上单调递增。

对第（2）问进行取点指导，同样需要考虑[a]的取值范围。

当[a≤0]时，可知[f（x）]至多有一个零点；当[agt;0]时，则当[x=-lna]时，[f（x）]取得最小值，且最小值为[f（-lna）=1-1a+lna]。如果函数有两个零点，则需[1-1a+lnalt;0]，可得[0lt;alt;1]。

分析函数的变化趋势，可知：当[x→+∞]时，[f（x）→+∞]；当[x→-∞]时，[f（x）→+∞]。显然只需要在[（-∞，-lna）]和[（-lna，+∞）]内取点，即可满足函数值大于零。

因为[-2∈（-∞，-lna）]，且[f（-2）=ae-4+（a-2）e-2+2gt;-2e-2+2gt;0]，所以[f（x）]在[（-∞，-lna）]内有一个零点。

又因为[f（x）=ae2x+（a-2）ex-xgt;ae2x+（a-2）ex-ex=ex（aex+a-3）]，令[aex+a-3=0]，可得[x=ln3a-1gt;ln1a=-lna]，从而可判断[fln3a-1gt;0]。

综上，[a]的取值范围为（0，1）。

解后思考：上述取点过程采用了放缩法，且是根据切线来进行的放缩，将函数放缩为常规的一次函数，实现“化曲为直”，进而完成取点，确定零点情况。教学中教师需要指导学生明晰每一种放缩法的实质，以及对应的放缩原则，避免无效放缩或错误放缩。

五、教学指导建议

导数零点问题是高中数学的重难点问题，对学生的运算能力、知识运用能力以及逻辑推理能力有着较高的要求。导数零点问题的解析过程较为繁复，涉及众多步骤，教师若仅关注其基本思路的讲解，而忽视关键的细节、方法讲解，则不利于学生学习，也难以显著提升学生的能力。教师应将重点放在零点分析的每一个过程中，尤其是取点技巧的讲解，可结合实例指导学生掌握取点技巧。

在具体教学中建议按照如下流程来开展：技巧释义→示例指导→解后思考→自主练习。在“技巧释义”环节，重点讲解方法技巧的含义、使用过程、适用问题，并深入探究其本质；“示例指导”环节，注意结合针对性问题，讲解使用过程，包括分析思路、逻辑推理过程等；“解后思考”环节，引导学生进一步反思解题过程，深化探索，让学生明晰每一步的分析思路；“自主练习”环节，让学生独立思考解题，从而锻炼学生的自主学习能力。

总之，对于高中数学的重难点综合性问题，复习教学的设计要精细到具体的过程，针对解题步骤来开展教学指导，让学生掌握解题方法、积累解题经验。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1]" 张文妍.浅析启发式教学在高中数学复习中的实施[J].数学教学通讯，2023（6）：75-77.

[2]" 管良梁.例谈证明函数零点唯一性问题的有效策略[J].中学数学，2023（3）：81-82.

[3]" 刘目勇.对导数零点问题中“找点”的解题探索[J].中学数学教学参考，2023（12）：23-25.

（责任编辑 黄春香）