从九省联考第11题谈抽象函数教学策略

［摘 要］抽象函数是高中数学函数知识中的一条重要分支，也是高考的重点考查内容，解决有关抽象函数的问题需要具备数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学学科核心素养。对于抽象函数问题，学生常常感到无从下手，文章针对学生的解题难点，从2024年九省联考数学试题第11题入手，从教材处理、性质总结、解法归纳等角度探讨抽象函数的教学策略。

［关键词］九省联考；抽象函数；教学策略

［中图分类号］" " G633.6" " " " ［文献标识码］" " A" " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）17-0001-03

2024年1月举行的九省联考，对往后的高考备考产生了巨大的影响。在九省联考中，数学试题的结构和赋分发生了巨大的变化，试题内容的设置与考法和以往相比也有很大的不同，虽然以往容易的题更为简单，但难题更难了，如解答题最后一题涉及费马小定理与初等数论。第11题为多选题的压轴题，考查内容为抽象函数，很多考生无从下手，这道题设置巧妙、返璞归真，着重考查了学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学学科核心素养。

一、真题呈现

［题1］（2024年九省联考数学试题第11题）已知函数[f（x）]的定义域为[R]，若[f（x+y）+f（x）f（y）=4xy]，且[f12≠0]，则（ ）。

A. [f-12=0]

B. [f12=-2]

C.函数[fx-12]是偶函数

D. 函数[fx+12]是减函数

方法1：赋值法

解：令[x=12]，[y=0]，则有[f12+f12·f（0）=f121+f（0）=0]，又[f12≠0]，故[f（0）=-1]；

令[x=12]，[y=-12]，则有[f12-12+f12f-12=4×12×-12]，即[f（0）+f12f-12=-1]，由[f（0）=-1]，可得[f12f-12=0]，又[f12≠0]，故[f-12=0]；

令[y=-12]，则有[fx-12+fxf-12=4x×-12]，即[fx-12=-2x]，故函数[fx-12]是奇函数。

有[fx+1-12=-2（x+1）=-2x-2]， 即[fx+12=-2x-2]，∴函数[fx+12]为减函数，由[fx-12=-2x]，令[x=1]，有[f12=-2×1=-2]。故选项ABD正确。

解后反思：本题避开了抽象函数试题中常见的奇偶性、周期性问题，返璞归真地考查了学生对函数符号语言的理解。由A、B两个选项可联想到本题的关键解法——赋值法，令[x=12]，[y=0]，代入题目所给的抽象函数关系式中，结合题意可得[f（0）=-1]，由此打开解题突破口。

方法2：构造函数法

解：由[f（x+y）+f（x）f（y）=4xy]可知[f（x）]解析式中应该没有指数、对数以及三角函数的结构，那么[f（x）]应该是多项式，再由[f（x）f（y）]以及[4xy]可猜想[f（x）]应该是一次函数。

设[f（x）=kx+b]，由[f（x+y）+f（x）f（y）=4xy⇒] [k（x+y）+b+（kx+b）（ky+b）=4xy]，整理得[k2xy+（kb+k）（x+y）+b2+b=4xy⇒k2=4]，[kb+k=0]，[b2+b=0]，

由[b2+b=0⇒b=0]或[b=-1]，

当[b=0]时，由[kb+k=0⇒k=0]，则[f（x）=0]，与条件[f12≠0]矛盾，则[b=-1]，[k=±2]，当[k=2]时，[f（x）=2x-1]，则[f12=0]，与条件[f12≠0]矛盾，∴[b=-1]，[k=-2]，即[f（x）=-2x-1]，由此可判断选项ABD正确。

解后反思：观察题目所给抽象函数的条件关系可知，由于存在[4xy]， 函数[f（x）]基本上就只能为多项式函数，其他的函数形式很难出现这样的项。同时，关系式的左侧有[f（x）f（y）]，显然这个多项式函数应该是一次的，否则等号左右变量的次数就不一致了。基于以上原因，我们可以利用待定系数法求函数的解析式，然后再进一步分析问题。

二、教学策略

学生之所以感觉抽象函数问题难，主要是因为对函数性质不熟，逻辑推理能力不强，解题策略匮乏，等等。针对这些问题，我们在教学中应采取有效的教学策略。

（一）追根溯源，用好教材

不论是旧教材还是新教材，函数始终是高中数学的核心内容，而抽象函数是学生学习函数知识的一条重要主线。教材中虽然没有明确提出抽象函数的概念，但会使用抽象函数对定义进行叙述或在课后习题中出现与抽象函数相关的问题。

新人教A版高中数学必修第一册函数的部分内容如下：

1.（第77页）一般地，设函数[f（x）]的定义域为[D]，区间[I⊆D]：如果[∀ x1]，[x2∈I]，当[x1lt;x2]时，都有[f（x1）lt;f（x2）]，那么就称函数[f（x）]在区间[I]上单调递增[1]。

2.（第81页练习2）设函数[f（x）]的定义域为[-6，11]，如果[f（x）]在区间[-6，-2]上单调递减，在区间[-2，11]上单调递增，画出[f（x）]的一个大致的图象，从图象上可以发现[f（-2）]是函数[f（x）]的一个" " " " " " " [2]。

3.（第87页习题13节选） 我们知道，函数[y=fx]的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数[y=f（x）]为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数[y=f（x）]的图象关于点[P（a，b）]成中心对称图形的充要条件是函数[y=f（x+a）-b]为奇函数。（2）类比上述结论，写出“函数[y=f（x）]的图象关于[y]轴成轴对称图形的充要条件是函数[y=f（x）]为偶函数”的一个推广结论[3]。

教师对这一部分内容应该给予足够重视，用以深化学生对抽象函数的理解。首先，在介绍抽象函数之前，确保学生对函数的基本概念有充分的理解，包括函数的定义、表示方法（如表达式、图象等）、性质和分类，让学生通过复习和巩固这些函数基础知识，为理解抽象函数打下坚实的基础。其次，借助实际问题来引入抽象函数的概念，帮助学生理解抽象函数的应用价值和意义。教师可选择一些生活中的例子，如温度与时间的关系、汽车行驶距离与油耗的关系等，引导学生从中抽象出函数模型，理解函数的本质是研究变量之间的关系。

在教学中，教师还应该强调抽象函数的符号语言（如[f（x）]、[g（x）] 等），让学生明白这些符号代表的是一种对应关系，而不是具体的数值。教师可列举具体的函数例子（如一次函数、二次函数等）来帮助学生理解抽象函数的概念，使学生通过比较了解抽象函数与具体函数的共同点与不同点，逐步建立起对抽象函数的认知框架。

在答题训练中，教师可以设计一些开放性问题，引导学生通过探究式学习来深入理解抽象函数的本质、探索抽象函数的性质。通过引导学生探索抽象函数的性质，如周期性、奇偶性、单调性等，培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

（二）及时总结常用性质、结论

函数的很多性质都是运用抽象函数进行表达的，例如：

1.轴对称

（1）函数[y=f（x）]关于直线[x=a]对称[⇔f（x+a）=f（a-x）⇔f（x）=f（2a-x）⇔f（-x）=f（2a+x）]

（2）函数[y=f（x）]关于直线[x=a+b2]对称[⇔f（x+a）=f（b-x）⇔f（a-x）=f（x+b）]

2.中心对称

（1）函数[y=f（x）]关于点[（a，0）]对称[⇔f（x）=-f（2a-x）⇔f（x+a）=-f（a-x）]

（2）函数[y=f（x）]关于点[（a，b）]对称[⇔f（-x）+f（2a+x）=2b]

3.函数的奇偶性和对称性的关系

（1）若[f（x+a）]为奇函数，则[f（x）]关于[（a，0）]对称

（2）若[f（x+a）]为偶函数，则[f（x）]关于[x=a]对称

（3）若[f（ωx+φ）]为奇函数，则[f（x）]关于[（φ，0）]对称

（4）若[f（ωx+φ）]为偶函数，则[f（x）]关于[x=φ]对称

这些性质能帮助学生更加清晰地认识到问题的本质，从而明确解题的方向，有条理地分析问题，高效地完成计算。通过不断的练习和总结，学生逐渐掌握抽象函数问题的解题方法和技巧，形成自己的数学思维模式。这种思维模式不仅有助于学生解决当前的抽象函数问题，还可以为学生未来学习和应用更高级的数学概念打下坚实的基础。

在教学中，教师应当及时给学生总结这些性质，并通过举例、类比等方式，让学生在获得直观感受的同时，建立起完整的函数知识体系。在教学这些函数的性质时，教师应该清晰、系统地讲解每一个性质，并注重讲解函数性质之间的内在联系，确保学生能够全面、准确地理解函数的性质。教师还可以通过设计具体的练习题、进行案例分析等方式，让学生在实践中加深对函数性质的理解。同时，教师要鼓励学生主动探索和创新，发现新的应用场景和解题方法，激发学生的创新精神和探索欲望。

（三）及时归纳主要解题方法

1.赋值法

赋值法是研究函数问题的常见方法，也是处理抽象函数问题的重要方法。赋值法可以帮助学生简化问题、找出规律、验证性质和确定函数形式，能起到“投石问路”“拨云见日”的作用。常见的赋值法应用题型如下：

（1）“赋值法”求抽象函数的值

技巧：根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些变量赋予确定的特殊值（如0，1，-1），从而使问题得到简捷有效的解决[4]。

［题2］已知函数[f（x）]对任意[x，y∈R]都有[f（x+y）=f（x）+f（y）]成立，且[f（2）=4]，则[f（-1）=]（ ）。

A. [-2] B. 1 C. [12] D. 2

解：令[x=y=0]，则有[f（0+0）=f（0）+f（0）]，即[f（0）=0]；令[x=y=1]，则有[f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）=4]，即[f（1）=2]；令[x=-1]，[y=1]，则有[f（-1）+f（1）=f（-1）+1=f（0）=0]，所以[f（-1）=-2]。故选A。

（2）“赋值法”求抽象函数的解析式

技巧：求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，得到抽象函数解析式的某种递推关系后，再求抽象函数的解析式[5]。

［题3］设[f（x）]是[R]上的函数，对于任意的实数[x，y]都有[f（x+y）=f（x）+y（2x+1）]，且[f（0）=1]，求[f（x）]。

解：由已知条件得[f（0）=1]，又[f（x+y）=f（x）+y（2x+1）]，令[y=-x]，则[f（x-x）=f（x）-x（2x+1）]，所以[f（x）=2x2+x+1]。

（3）“赋值法”探究抽象函数的奇偶性

技巧：判断抽象函数的奇偶性的关键是得到[f（x）]与[f（-x）]的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留[f（x）]与[f（-x）]的关系[6]。

［题4］设函数[f（x）]是增函数，对于任意[x，y∈R]都有[f（x+y）=f（x）+f（y）]。证明[f（x）]是奇函数。

证明：对于任意[x，y∈R]都有[f（x+y）=f（x）+f（y）]，令[x=y=0]，则[f（0）=0]；再令[y=-x]，则[f（x）+f（-x）=f（x-x）=0]，所以[f（-x）=-f（x）]，所以函数[f（x）]是奇函数。

2.构造函数模型法

抽象函数和具体函数是两个相辅相成的概念。抽象函数强调的是函数概念的本质，具体函数是抽象函数概念的实例化，抽象函数源自对具体函数的深入理解和抽象提炼。在高中数学中，许多抽象函数往往是基于基本函数（如一次函数、二次函数等），通过抽象化处理而形成的。在面对这些抽象函数问题时，如果能够从研究它们的“模型”开始，利用题目中给出的抽象函数性质，通过类比和猜想，推测其可能对应的具体函数类型，就能够将抽象问题具体化，将陌生问题熟悉化。这样，常常能帮助我们揭示抽象函数背后隐藏的重要性质，找到解题的突破口。

常见的抽象函数模型如下：

（1）若[f（x+y）=f（x）+f（y）+b]，则可构造[f（x）=kx-b]。特别地，当[f（x+y）=f（x）+f（y）]时，可构造[f（x）=kx]。

（2）若[f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c]，则可构造[f（x）=ax2+bx+c]。

（3）若[f（x+y）=f（x）f（y）]，则可构造[f（x）=ax]（[agt;0]且[a≠1]）。

（4）若[f（xy）=f（x）+f（y）（xy≠0）]，则可构造[f（x）=logax]（[agt;0]且[a≠1]）。

（5）若[f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）]，则可构造[f（x）=cosωx]。

（6）若[f（x±y）=f（x）±f（y）1∓f（x）f（y）]，则可构造[f（x）=tanωx]。

抽象函数的教学不能见题讲题，教师应帮助学生梳理函数知识脉络，建立函数知识体系，让学生深刻理解函数符号的作用和意义。教师应以抽象函数为载体，回归教材，通过强化概念教学、加强具体化训练等帮助学生破解抽象函数问题，提升他们的数学学科核心素养。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1][2][3]" 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书 数学 必修 第一册[M].北京：人民教育出版社，2019.

[4][5][6]" 马正清.聚焦抽象函数问题的类型与求解方法[J].中学生数理化（高一数学），2022（10）：40-41.

（责任编辑 黄春香）