基于重加权TL1范数的非稳态谱反演算法

摘要： 地震数据反射系数反演是联结地下储层和地震数据的桥梁，一直是研究的热点。目前反射系数反演大多基于L1 范数约束的稀疏脉冲反褶积。近年来，奇偶分解算法的出现使得子波间调谐效应减弱，这使得基于L1 范数约束的谱反演得到进一步应用。稀疏约束的能力关系到待求解反射系数的准确性，本文针对常用的L1 范数和Lp 范数稀疏能力约束度不足的问题，引入TL1 范数（Transformed L1 Norm）稀疏约束，有利于获得更准确的反演反射系数；同时考虑反射系数较大的位置拟合能力需要增强，提出重加权TL1 范数（Reweighted TransformedL1 Norm，RTL1）进一步提高稀疏约束能力。参数测试结果证明了重加权类范数重建能力强于未重加权类范数，RTL1 在稀疏重建上的有效性。模型和实际数据处理结果证明RTL1 相比于常用的稀疏约束项更有利于提高谱反演的反射系数精度。

关键词： 稀疏脉冲反演，奇偶分解，谱反演，重加权TL1 范数

中图分类号：P631 文献标识码：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000-7210. 2024. 06. 013

0 引言

自反射系数稀疏脉冲约束反演出现以来，一部分研究人员以贝叶斯理论为框架，着重于在目标方程中添加先验信息，如井反射系数先验分布、地震倾角方向先验平滑、噪声先验分布等，这类算法通过施加额外约束以获得更符合先验假设的解[1]；另一部分研究人员以压缩感知理论为支撑，在原有反射系数稀疏的假设下，提高正则化项的稀疏约束能力，可获得更准确的解[2]，包括L1 范数[3]、Lp 拟范数[4]、L1-2 组合范数[5]、柯西约束[6]等。

近年来基于奇偶分解的谱反演技术得到广泛应用，更有利于薄层识别。2008 年，Puryear 等[7]首次提出反射系数奇偶分解理论，将反射系数分解为一对奇偶分量，根据奇偶分量对薄层的分辨能力的不同构建谱反演目标方程，从而提高薄层识别能力。柴新涛等[8] 结合基于最小二乘理论的QR 分解（LSQR）算法与模拟退火算法，在稀疏谱与非稀疏谱的两种不同假设条件下分别反演反射系数。孙雷鸣等[9]针对线性计算方法的弊端，提出将Cauchy 约束和范数约束相结合，再进行线性谱反演，实验证明谱反演能有效地反演出小于调谐厚度的薄层。朱卫星等[10]首先对地震资料进行短时傅里叶变换，求取谱反演的输入数据，再利用模拟退火算法进行反演，拓宽地震频带，可清晰刻画微小目标的地质体特征。田立新等[11]基于贝叶斯理论，将测井信息转换为地质统计先验信息并引入谱反演过程，综合利用多种信息，使反演结果更稳定、可靠。张军华等[12] 将Moore-Penrose 算法应用于谱反演，在非稀疏条件下提高谱反演的分辨率。夏红敏等[13]利用地震数据的二次谱估算地震子波谱用于谱反演，具有较强的适应性和实用性。

基于压缩感知的稀疏反演重点在于提高对反射系数的约束能力，正则化项为L0 范数的反演方程是NP 难点问题[14]，需要预先给出反射系数的稀疏度，使用正交匹配追踪[15]或者硬阈值收缩[16]等方法求解。但实际反射系数的稀疏度无法得知，考虑L1 范数是L0 范数的最优凸近似，且L1 范数具有比L0 范数更好的优化求解特性，因此用L1 范数代替L0 范数被广泛应用。但是L1 范数稀疏约束能力较弱，导致拟合项误差较大。针对该问题，需要不断寻找新的稀疏约束项近似L0 范数，如Lp 拟范数、重加权类范数[17]、TL1范数（Transformed L1 Norm）[18-19]等。

本文在现有研究的基础上，引入TL1 范数作为反射系数反演的稀疏正则化项，考虑反射系数较大的位置需要增强其拟合项约束能力，提出应用重加权TL1 范数（Reweighted Transformed L1 Norm） 进一步提高稀疏约束能力，以获得更接近于地下反射系数的解。本文首先介绍谱反演算法的基本理论、非稳态理论、TL1 范数以及引入重加权的TL1 范数；其次测试了不同RIP 条件的观测矩阵[20]对几种常见范数重建能力的影响；然后分别测试重加权参数和信噪比对重加权TL1 范数的重建能力影响程度；最后将RTL1 和谱反演相结合，进一步论证本文所提出的基于重加权TL1 范数的谱反演方法在反射系数反演中的有效性。