先验岩石物性约束的地球物理正则化反演

摘要： 随着勘探程度的深入，可用于正则化反演的先验信息越来越丰富和精确。在分析参数变换函数、模糊C均值聚类模型约束、交替方向乘子优化等引入岩石先验物性约束方法的基础上，提出了一种基于反演单元物性互异原则的模型约束方法。基于单元互异原则的模型约束从地质单元数量有限、每个离散反演单元只能属于某一种岩性的本质出发，通过限定离散反演单元的物性取值实现物性引入。将上述先验物性引入与经典正则化反演相结合，构建了统一的目标函数并通过高斯—牛顿法进行优化求解； 对四种方案实现岩石物性引入的作用机理和数学本质进行了分析，提出了同时利用多种方案提高反演效果的组合策略； 对比了L1 和L2 范数最小结构模型约束与先验岩石物性引入策略结合的反演效果。模型和实测数据反演结果均表明，充分利用岩石物性测量的先验信息可有效提高反演效果。

关键词： 先验岩石物性，正则化反演，变换函数，模糊C 均值聚类，交替方向乘子算法

中图分类号：P631 文献标识码：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000‐7210. 2024. 06. 022

0 引言

地球物理勘探以地下岩矿石物性差异为基础，包括密度、磁性、电性、弹性波速度、热导率、放射性等。它们受岩石的矿物成分、孔隙与孔隙充填物、结构与构造、年代等综合因素影响，相同的岩石可能表现出物性的差异，不同的岩石也可能具有相似的物性，给地球物理资料的解译带来了困难。利用精确的岩石物性信息进行正则化反演，可提高地球物理反演稳定性，同时在一定程度上改善反演效果。在地球物理正则化反演数据误差函数中，通过引入观测数据方差的信息，实现依托数据可靠程度的数据拟合，减少因过度拟合不准确数据而产生假异常的风险。相比数据先验信息的利用，反演中可利用的模型先验信息则更加丰富，包括物性分布的空间特征、取值范围、多种物性间相互约束等。利用物性空间变化特征的模型约束应用广泛，如支持物性空间平滑变化的最平滑模型约束[1]、支持物性边界陡变特征的总变分稳定泛函[2]、最小支撑稳定泛函[3]以及最小梯度支撑稳定泛函[4]等约束，以及同时包含物性空间平滑和参考模型的最小结构约束[5]。此外，联合反演除了考虑单个物性的空间分布，往往通过加入如模型曲率[6]、交叉梯度[7]、Gramian 约束[8]、局部相关性[9]等结构耦合信息，以及物性耦合信息[10]提高反演效果。

以结构特征为主的模型约束广泛应用于地球物理反演，然而如何将地质单元物性测量先验信息有效融入反演，仍有待深入研究。为确保反演参数的物理意义，地球物理反演中广泛采用了反演空间与物性空间的函数变换技术，如非负变换[11]、边界约束变换[12]等。通过变换函数也可在反演中实现先验岩石物性的利用，Zhdanov 等[13]提出了一种支持多个先验物性信息的变换函数，该函数成功应用于重力、重力梯度数据反演[14] 和三维可控源电磁数据反演[15]。由模型与参考模型差异定义的模型约束[16]是最基本的先验物性引入方法，离散反演由于缺少关于先验信息的空间分布，因而实际工作中采用复杂的参考模型存在困难，往往采用均匀或层状模型，且考虑到该项的不准确性，其在目标函数约束中占比一般不大[17]。模糊Ｃ均值（Fuzzy C‐Means，FCM）聚类模型约束[18‐19]反演过程在参考聚类中心引导下，迭代生成的聚类中心向参考聚类中心逼近，同时通过聚类作用使反演物性体现岩石测量物性特征，为岩石先验物性信息的使用提供了新思路。相较模型与参考模型差定义的模型约束引入方法，该方法无需先验物性的空间分布信息，可以充分利用物性测量结果，还可根据物性测量的可信度调整引导项的权重； 另外，该约束不仅适用于单个物性参数反演，也适用于多个物性参数联合反演[19]。此外，岩石物性信息的引入不仅体现在正则化目标函数的设计中，还可以在目标函数优化过程中实现。交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）提供了一种在目标优化过程中引入岩石物性信息的方法[20‐22]，该方法成功应用于不连续物性边界模型的重力反演。

由于反问题的不适定性，单纯通过反演获得的地球物理模型往往与实际情况相去甚远。随着研究工作的深入，有关地质单元物理性质的资料越来越多、也越来越精确，在反演中引入物性测量先验信息具有重要的现实意义。本文从目标函数构建和优化两个环节对利用岩石物性测量先验信息的正则化反问题进行探讨，在分析基于变换函数、模糊C 均值聚类型约束以及交替方向乘子等方法基础上，提出了一种基于反演单元物性互异原则引入先验岩石物性的模型约束方法；构建了统一的包含岩石先验物性信息与传统模型约束的反演目标函数，并采用高斯—牛顿法优化求解目标函数；重点分析了引入先验物性的组合应用策略，对比L1、L2 范数最小结构模型约束与先验岩石物性引入策略相结合的反演效果。

1 岩石先验物性信息约束的正则化反演

1. 1 反演目标函数构建

在正则化反演目标函数的基础上，构造包含物性变换、传统模型约束、岩石先验物性约束的反演目标函数