问题驱动，促进深度学习

本节课是北师大版教材六年级下册“数学好玩”中的内容。莫比乌斯带属于“拓扑学”的内容，学生并不熟悉，但莫比乌斯带魔术般的神奇变化会激发学生的探究欲望，能大大提高学生学习数学的兴趣，激发其好奇心。六年级学生已经积累了比较丰富的数学活动经验，有一定的空间思维能力和动手操作能力，因此，本节课要注重通过学生的动手操作、对比探索、验证交流等活动，促使学生发现并体会莫比乌斯带的特征，进一步丰富数学活动经验，拓宽学习视野，感受数学的神奇魅力。

教学过程：

一、明确目标，提出问题

师：（拿出一张长方形纸条）它有几个面、几条边呢？

生：是一张长方形纸条，它有两个面、四条边。

师：它就是一张普通的长方形纸条，但是只要把它稍微做一下变化，就能得到今天我们要学习的莫比乌斯带。关于莫比乌斯带，你有什么问题要研究吗？

生：什么是莫比乌斯带？

生：怎样制作莫比乌斯带？

生：莫比乌斯带有什么特征呢？

生：莫比乌斯带有什么用呢？

……

（教师板书学生提出的问题，并进行梳理，从而得出本节课要研究的问题）

师：大家提出了这么多有价值的问题，这节课我们就带着这些问题，边玩边研究。

【设计意图】太多的教学实践证明，当学生有机会对自己发现和提出的问题进行讨论时，能焕发出勃勃生机，对学习会投入极大的热情。这个环节，师生通过共同筛选、梳理提出的问题，形成本节课研究的核心问题，明确学习目标及研究的问题，提高学生学习的关注度。

二、巧设情境，探索求解

1.普通纸环，暗藏玄机——它们如何相遇？

师：再来看这张长方形纸条（出示长方形纸条），能不能把它变成两个面、两条边呢？

（学生动手操作制作普通纸环）

师：在这样一个普通的纸环上面，发生了一个小故事，我们一起来看看，你都看到了什么？（播放视频：在普通纸环上，一只毛毛虫在纸环的外面，一朵小花在纸环的里面，毛毛虫正在努力地寻找小花，图略）

生：纸环的外面有一只毛毛虫，里面有一朵小花，毛毛虫在寻找小花。

师：想一想，如果毛毛虫不爬过纸环的边缘，它能找到小花吗？为什么？

生：不能，因为它们在两个不同的面上，所以永远也不会相遇。

师：怎样才能让它们相遇呢？

生：如果它们在同一个面上就好了。

生：可以把它们变在同一个面上。

师：你的想法可真够大胆的，对呀，变在同一个面上它们不就相遇了吗？你们能将纸环的两个面变成一个面吗？

【设计意图】生动有趣的“现实情境”让学生沉浸其中，故事的矛盾引发了学生的认知冲突，激起了强烈的好奇心和探究欲望，学生自然而然地有了解决问题的需求，并大胆提出了解决问题的策略，为后续的研究埋下伏笔。

2.莫比乌斯带浮出水面——成就世间美好。

师：请同学们自己先尝试如何将两个面的纸环变成一个面，并想办法验证它只有一个面，然后在小组内交流你们的方法和结论。

（学生独立尝试操作，完成后小组内交流）

师：很多同学都做成了这样的纸环（出示纸环，如图1），谁来说说你是怎样做的？

生：将长方形纸条的一端旋转180度，再用双面胶把两端粘起来。

（学生到前面边操作边汇报制作方法）

师：你们都认为这样的纸环就只有一个面吗？谁来说说自己是如何验证的？

生：我先在纸环上取一点，把它当作小花，接着用笔画线，一直画下去，发现又能回到这一点，说明这个纸环只有一个面。

生：我有不同意见，我在这个普通纸环上取一点，用笔一直画下去也能回到这一点，但只有一个面上画线了，另一个面没画上，所以不能说仅仅回到这一点就认为这个纸环只有一个面，还要看这个纸环露在外面的面是否都画上线了。

师：我们一起来尝试一下。

（学生上台演示如何证明只有一个面）

师：我看有同学紧锁着眉头，是有什么问题吗？

生：我有个疑问，原来明明是两个面，怎么就变成一个面了呢？

生：将纸条的一端翻转180度，翻转的过程中，把纸条里面和外面连接在一起了，所以变成了一个面。

（提出问题的学生若有所思地点点头，并用纸条尝试了，发现就是如此，恍然大悟）

师：同学们，这个纸环就是今天我们要认识的莫比乌斯带。你能说说莫比乌斯带有什么特征吗？

生：莫比乌斯带只有一个面、两条边。

（教师板书：一个面、两条边）

师：莫比乌斯带让原本不可能相遇的小花和毛毛虫相遇了，把不可能变成了可能，成就了世间的美好，这就是莫比乌斯带的神奇之处。你们知道它为什么叫莫比乌斯带吗？

【设计意图】不仅要让学生知道“是什么”，更要知道“为什么”。在操作、验证、推理、思辨等活动中，学生不仅知道如何制作莫比乌斯带，更重要的是在验证莫比乌斯带只有一个面，在解释莫比乌斯带为什么只有一个面的层层递进问题的探索中，学生的思维不断深入，体会知识的本质所在，深刻感受莫比乌斯带的神奇之处。

3.莫比乌斯带的由来——大自然的启示。

师：德国数学家莫比乌斯一直在寻找一种只有一个面的怪圈。一天，他走到一片玉米地前，一片片肥大的玉米叶子在他的眼里变成了一个个绿色的纸条。他顺着叶子自然扭曲的方向把它对接成一个圆圈，突然，他发现那就是他梦寐以求的圆圈。一个伟大的数学发现就这样诞生了，并且以发现者莫比乌斯的名字命名，称之为莫比乌斯带。听了这个故事你有什么感受呢？

生：大自然给人类很多灵感，许多伟大的发现都来源于大自然。

生：我觉得灵感是来自于长期的观察和思考，莫比乌斯一定是想了很久，看到玉米叶子，产生了灵感，发明了莫比乌斯带。

……

师：你们说得都有道理，只要我们细心观察生活，也会有伟大的发现，正所谓“天下大事必作于细”。

【设计意图】介绍莫比乌斯带的由来，让学生感悟伟大的发现来自对生活的细心观察，来自坚持不懈的思考，数学源于生活、源于思考，由此增强学生学好数学的信心。

4.猜想—验证，进一步探究莫比乌斯带。

师：接下来老师和大家做一个游戏，我要把手里这个小小的莫比乌斯带从这位同学的头上套进去（将一个莫比乌斯带套在一个孩子的头上），哎呀，怎么套不进去？怎样才能套进去呢？

生：纸环太小了，可以变大一些。

生：我知道，可以从纸环的[12]处，也就是中间处剪开，将纸环变大。

师：从中间剪开会得到什么呢？大胆猜想一下！

生：我猜会得到两个纸环。

生：我觉得会是一个更大的莫比乌斯带。

生：我猜会是一个大环套着一个小环。

……

师：怎样验证我们的猜想呢？

生：可以剪一剪、试一试。

（学生动手从莫比乌斯带的[12]处剪开，如图2）

师：得到了什么？和之前的猜想一样吗？你有什么想法？

生：和我的想法一样，得到了一个更大的纸环，比之前的莫比乌斯带更大了，纸环宽度变窄了。

师：现在能从这位同学的头上套进去吗？我们试试看。

（师生共同验证）

师：对于新得到的这个纸环，你有没有什么疑问呢？

生：我有疑问，新得到的这个纸环是不是莫比乌斯带呢？

师：是啊，它是不是莫比乌斯带呢？

生：我们可以动手检验一下。

（学生动手操作验证）

生：经过验证，它不是莫比乌斯带。因为它不具备莫比乌斯带的特征。

师：在数学领域，猜想是合理的，是值得尊敬的，那猜想得对不对呢，还需要实践去验证。

【设计意图】通过问题驱动不断引发学生的思维冲突，让学生的思维和情感深度卷入和持续参与，在猜想中质疑，在质疑中思辨，在思辨后实践验证，在历经思维挑战、跨越思维障碍、思考能力不断升级的过程中获得胜任感和学习的自信心。

三、联系生活，应用举例

师：莫比乌斯带这么神奇，在生活中你见过它吗？

生：我在公园里见过一种像莫比乌斯带的爬梯。

生：我在北京科技馆见过莫比乌斯带。

生：有的过山车轨道就是莫比乌斯带。

……

师：的确，莫比乌斯带在生活中有着非常广泛的应用，我们一起来看一看。

（播放微课，展示以下几方面的内容）

（1）莫比乌斯带在建筑中的应用（辽宁大连学苑广场建筑等）。

（2）莫比乌斯带在艺术中的应用（《画手》、克莱因瓶等）。

（3）莫比乌斯带在科技中的应用（传输带、过山车跑道等）。

（4）莫比乌斯带在生活领域的应用（衣架、高跟鞋等）。

【设计意图】在学生分享交流的基础上，通过微课呈现了莫比乌斯带在生活中各个领域的应用，拓宽了学生的眼界，使其体悟到数学的魅力和学习数学的价值。

四、课堂总结，拓展延伸

师：我们回头看一下，我们之前提出的问题都解决了吗（教师指黑板上课伊始学生提出的问题）？说说这节课你有哪些收获。

（学生发现随着问题的推进，不少问题都得以解决，此处略）

师：关于莫比乌斯带，你还想探究哪些问题？

生：我想研究从莫比乌斯带的[13]、[14]、[15]……处剪开会是什么样的，有没有什么规律。

生：我想知道莫比乌斯带还有哪些作用。

……

师：有一本专门研究莫比乌斯带的书——《魔带的世界》，还有一门研究莫比乌斯带的学问——“拓扑学”，感兴趣的同学课后可以继续学习和研究。

【设计意图】本节课将“问题驱动，促进深度学习”贯穿学生的整个学习过程。课尾鼓励学生提出进一步想探究的问题，将学习的“触角”延伸到课下，带着问题走出教室，培养学生持续探索问题的兴趣和能力，因为“课已尽，思未断”才是学生真正学习的开始。

（作者单位：辽宁大连市旅顺口区新城实验学校）