前期维特根斯坦对数学中形而上学预设的批判

朱文瑞

(安徽财经大学 马克思主义学院,安徽 蚌埠 233030)

维特根斯坦是20世纪数一数二的大哲学家。不过,单就他的数学哲学来说,不少论者对其可靠性抱有疑问。在怀疑的一方看来,维特根斯坦似乎并未就数学基础的建构提供更多思路,而这应该是数学哲学的核心课题;在同情方看来,维特根斯坦的数学哲学被低估了。饶富意味的是,维特根斯坦本人倒将数学哲学看作他一生的主要贡献。他由工程接触数学原理,再将它们勾连到一般哲学问题。他更愿从数学应用、数学教学等方向理解数学,而尤为警惕那类建构纯粹数学的设想。在他看来,这类设想脱胎自传统哲学的数学理解,哲学须得借意义辨析澄清这类理解,所瞄准的应是“数学对象”“数学命题”这类设想,它们是传统数学哲学的基本预设,也是哲学须得批判的一类基本观念。前期维特根斯坦对这类基本观念的批判别具效力,参照这类批判方式,我们将对数学哲学本性有更好的理解。

一、反柏拉图主义

前期维特根斯坦数学哲学或可放到数学对象的实在性与数学命题的真理性下讨论。贝纳塞拉夫与普特南在20世纪60年代编辑出版的《数学哲学》中就框定了这两类论题。两位编者还设计了“数学基础”专题。所谓数学基础,当然是一类现代论题。这一论题源于现代以来知识界对于基础概念的讨论,讨论的内容涉及各门科学的对象、范围及界限,当然还有知识的分类及各类知识的基础。而就数学对象实在性与数学命题真理性这两类论题来论,它们更为古远,且与我们关于数学的一般理解颇为亲近,将其选为廓清前期维特根斯坦数学哲学的基本论题更易展现其数学哲学的哲学意义。

数学对象实在性与数学命题真理性的考察由来已久,就此我们很容易想到数学中的柏拉图主义。柏拉图主义名下聚集着一批独具特色的数学理解方式,诸如数学对象是可定义的,数学命题是关于数学对象性质的陈述等。

而维特根斯坦所要辨析的是“数学对象”“数学命题”这类概念组合的意义,所要考察的是将对象、命题这类概念移植到整个数学,从而用以界说数学并由此发展出某套数学哲学是不是有意义的。这种哲学运思方向充分展现了他由之出发的分析哲学视角。意义问题是分析哲学的主导问题,唯在分析哲学中,意义才成了哲学讨论首当澄清的概念,其他概念辨析工作的种种走向系于哲学家对“意义概念的定义与界限”所持的种种观点。

厘清前期维特根斯坦数学哲学,一方面须得参照数学哲学所论及问题的哲学史渊源,这主要在于他虽未做过专门的哲学史研究,但深厚的文化修养与直面传统哲学问题核心的洞察力,使得他始终紧扣传统哲学下移到一般科学与日常生活中的基本观念。另一方面,对于维特根斯坦哲学运思方式的现代渊源也要充分考虑。他对于意义概念的辨析以及日常概念与哲学概念相结合之概念组合的意义辨析颇具分析哲学本色,我们只消提到他对“一个对象”这类日常概念与哲学概念组合的无意义的辨析就可识见这一点。唯当这样两相对照,我们才能进入他所思数学哲学问题的深处。

二、数学对象

维特根斯坦从事哲学之初做过期盼:如果关于函式的句法规则能够被完全建立起来,那么关于事物、性质的理论将会是多余的[1]49。所谓关于事物、性质的理论,大体是传统哲学的核心问题及其发展出来用以处理这类问题的哲学方法。传统哲学通过辨析事物这一概念从而划分出事物存在的不同层级,较低级的一般是感觉层面的事物,进而进到理性层面,诸如某类数学上的事物,更高级的事物则是理念之类。这是我们熟悉的柏拉图对于一般事物的划分,也是其对科学研究对象的划分,如一类科学处理诸如线、三角形这类对象,另一类科学处理理念这类对象。

我们看到,传统上数学对象的建立实则是以某种一般的事物理论为基础的,其对于数学对象之为对象的理解是参照成形的关于一般对象之理解的。这也正是数学哲学的形而上学根源。这一根源提示我们,建立对于数学的一般理解不妨以成熟的事物理论为基础,这正是维特根斯坦一开始所怀疑的。

诸如“数学有对象吗”“数是一个对象吗”这类问题,总是传统上用来把捉数学、把捉数的发问模式,维特根斯坦并未急于给出非此即彼的回答,而是辨析将对象这一概念发展为理解数学及其内部概念的特定方式的意义。“如果有数学的对象——逻辑常项——的话,那么命题‘我吃5个李子’就会是一个数学命题了。”[1]104这里实则是在辨析将对象概念不加限定地套用至数学概念所带来的思想混乱。依照上述设想,他并未拘泥于发展某类关于事物、对象的理论,而是致力于厘清函式的句法规则。这可以视作后来《逻辑哲学论》中宣称哲学不从事理论建构的思想缘起。

前期维特根斯坦思想的发蒙者弗雷格、罗素等,从事数学原理研究之际,都把对象与数概念的定义及数学命题的意义勾连起来。维特根斯坦出于逻辑自治的考虑摒弃了前者的设想,全从运算的角度处理数的定义以及数学命题的证明,他不从事关于某种数学对象的理论建构,而是专从运算所需要依循的有效规则方面来考虑数学的本性。“数学是逻辑的一种方法。数学方法的本质特征在于使用方程式”[1]255,诸如数学归纳法、演绎法这类数学方法并不存在,运算规则并不从归纳来,而运算亦不是演绎抑或某种推理。

数学对象的实在性以及数学对象的可定义性这类设想是哲学借以把捉数学本性的传统方式,早期分析哲学家也都接受这类概念组合方式来理解数学。弗雷格在定义数概念之际曾提示:“人们很容易解释说:如果没有对象处于一个概念之下,那么0这个数就属于这个概念。但是这里似乎是具有相同意谓的‘没有’替代了0;因此下面的说法更好一些:无论a是什么,如果a不处于一个概念之下这个句子是普遍有效的,那么0这个数就属于这个概念。”[2]将“0”“1”这类数学概念设想成对象的类,这是早期分析哲学家发展数概念定义的一般倾向,而维特根斯坦完全从形式层面给出“数的概念是数的一般形式”“数是运算的次数”这类定义,纯粹从程序算法方向界说“数”,消解了从逻辑推理方向定义“数”所生出的不必要哲学设定。前期维特根斯坦对“数”的定义实则是祛除了从前哲学家对推理过程中定义与命题的区分,将传统上“数”的定义与数学命题的构造一并注入运算程序,所谓“命题的一般形式是运算一般形式的特例”[1]21。这对西方数学自欧几里得以降重推理、轻运算的传统不啻是一反拨,或有论者将其同后来数学中运算理论的发展对照着看。

维特根斯坦哲学一向有前后期之分,诸如前期重逻辑,后期重语法。而就从事数学哲学的一贯方法来看,他“前期”似乎已然注目于“数”“数学”概念日常用法及意义的考察,诸如在《逻辑哲学论》中,他呼吁面对一个数学概念时,应当询问我们为什么用它。这类询问可以帮助我们看到哲学上袭用的诸如数学对象、数学命题这类组合是怎样产生的,它们的生活渊源如何。由此,我们可以洞见将对象、命题这类概念不加限定地套用到数学上将会造成怎样的混乱。哲学家将数的定义与事物/对象勾连这层倾向有着深厚的日常生活渊源:数是用来数东西的。如数学家柯朗所说:“数6是从所有包含六个东西的实际集合中抽象出来的。对儿童来说,数通常总是同实际对象联系在一起的。”[3]维特根斯坦对于“数学对象”这一概念组合的意义辨析一开始瞄准的是它的一般观念基础,是我们理解数学一开始容易滑入的倾向。这类倾向妨害了数学/逻辑自治,造成了所谓“多余的理论”。

三、数学命题

前期维特根斯坦批判了传统哲学所谓“算术命题”“数学命题”这类设想。他反对诸如“将数学命题看作关于数学对象的一般陈述”这类主张。他运思的大方向是着意澄清命题概念的多种意义及其意义界限,这番澄清又都聚焦在对诸如“逻辑命题”“科学命题”“数学命题”这类传承下来的概念组合的意义辨析之下。前期维特根斯坦对“数学命题”这类组合的无意义的澄清主要参照其成熟的命题学说,将命题看成真值函式,后来再发展一套关于真值函式的句法规则,将那些“多余”的理论与设定摒弃,这就自然使得由“数学命题”这一组合出发的多种哲学设定丧失了必要。如罗素从事数学原理研究之初做过的那种设想,“纯粹数学是这样一类集合,其中命题皆可表示成‘p蕴含q’这一形式,而p、q这类命题又都包含变项与逻辑常项”[4],据此,他还想将“1+1=2”这类“算术命题”改写成包含变项与逻辑常项的形式,最终获得某一重言式而使“算术命题”得到证明。维特根斯坦后来批评这一设想时说“完全的重言式是算术的运用,而不是它的证明”[5],这是提示算术命题的证明甚或“算术命题”这一设想始终是成疑问的。

我们仍从概念史的方向看待“算术命题”“数学命题”这类设想及其生出的诸多疑窦。就数学论,命题一词最初更多用于谈及定理。谈及定理有两个方面:一方面,定理一般是被证明了的;另一方面,定理一般是关于被构造出来的对象的。我们只消提到几何学中的毕达哥拉斯定理、三角形内角和定理就可识见这点。我们把袭用的定理一词同诸如“1+1=2”勾连起来,大致就是在提醒,“1+1=2”也应当作为定理被确定下来。一方面,“1+1=2”这类命题应当被证明;另一方面,“1”“=”这类数学对象应当被构造出来。出于这层考虑,我们倾向于把“1+1=2”写成像是包含着证明的形式,如从“1+1”推出“2”,再展开,构造一套推理过程。这里包藏一类设想,数学命题应当是由概念构成的。数学命题的证明须得依托严格且系统的概念定义,而概念的定义又须使得它在系统内部处处一致。由此,数学命题的真理性同数学概念的定义紧密相连,而数学概念的意义又同数学对象的实在性紧密相连。

前期维特根斯坦澄清这类哲学设想的基本方向是辨析概念的组合是否生出意义上的越界与混乱。由此,他直面的是把命题、定理同“1+1=2”勾连起来的设想,是“1+1=2这个命题”“算术命题”“数学命题”这样的概念组合。这就提醒我们,不是一开始就就着“1+1=2”“2+2=4”“2×2=4”来学命题这个词。我们不说“2+2=4这个命题”,我们说“2+2=4这个式子/算式/等式”。把“命题”同“2+2=4”勾连起来当是哲学创造,且这项创造暗合数学家的心意。经过17世纪、18世纪的大发展,数学汇聚了成片的新思想、新概念,这些新思想新概念能不能相容,这是数学内部生出的问题。另外,怎样把古代数学同近代数学整合起来,新数学的基础应当怎样,这类问题也都层层生发。到19世纪,数学家也成片经营这类问题,它们一般被揽入数学基础、数学原理、纯粹数学名下讨论。

康德讨论纯粹数学如何可能时,一开始就给定“7+5=12”这样的“算术命题”。在康德看来,“7+5=12”肯定是成判断、成命题的。他把“7+5”理解成“七这个概念加上五这个概念……从它们只能分析出它们的和是一个数这样的概念,而不能分析出是哪个数……先有7这个数,再通过直观,把合成5这个数的单位一个一个加到7上,这样得到12这个数”[6]。从这一方向看,康德将“+”理解成“累加”就是把“+”看成了关乎某种被感官感知出来的先后顺序的记号。弗雷格反对康德意义上的直观,警惕滑入数学的心理成分,但他接受了后者“算术命题”这一提法,将诸如“7+5=12”这个算术命题中的“=”理解成同一性,即“=”这一符号的意义是同一。将“+”这一记号理解成累加,将“=”这一记号理解成同一性,将“7+5=12”这一等式理解成命题……这当是维特根斯坦所要批判的,其批判的方向在于辨析我们所受“加”“等于”这类日常概念用法的蛊惑以及它们由之生义的原本上下文。

四、数学证明

前期维特根斯坦对“数学命题”这一设想的批判首先关乎其对记号这一概念所做的意义辨析。在维特根斯坦看,我们用命题记号表达思想。一方面,命题记号可以被感官感知;另一方面,命题记号是可能事件/世界的投影。对“2+2”“7+5”这类记号的形形色色的“看”不关乎事件/世界的可能,诸如“2+2”“7+5”这类表达式不是命题记号,不表达思想,而所谓直观只是我们理解我们说的“一加一”“七加五”这样的语言的“看”的过程的描述。倘若我们将这里的“=12”理解成“产生/得到12”,那么我们一开始就不必学2、3、4……这样的数,只学“1”与“+”就足够了,因为只要直观提供了“1+1=2”这类算术命题的真理性,2、3、4……就都可以一个一个产生/得到。我们当然不是从一开始给定的诸如1、2这类数借着累加得到更多数的。

维特根斯坦不容逻辑/数学自治与科学界限有一丝一毫混淆,这一点结晶在他从事哲学之初所锤炼的“逻辑须得关心自己”这一警句之中。为此他发展出《逻辑哲学论》中的命题学说,力主唯命题记号表达事件/世界的可能性,唯命题具有意义,“～”“→”这类记号不具有意义。由此,将“肯定”看成“双重否定”不是在说后者是否定的“累加”,而是说表达式具有相同的成真基础。而“+”“=”一度被理解成“累加”“同一性”,好像它们具有实在性,且应当被构造出来。就此,维特根斯坦这样论证,诸如“7+5”抑或“12”这类表达式,知道了它们的意谓,也就知道了它们所意谓的是不是同一的,这里没有弗雷格等设想的“推出”“(同一性的)断定”,也没有能被写成“推出”形式的诸如“7+5=12”这类“算术命题”。“算术命题”原本是等式,而“=”这一记号指的是两个不同的表达式,抑或两个不同的记号具有同一意谓,且在运算过程中可以相互置换,诸如“1+1”与“2”,“a”与“b”。从记号用法的方向看,我们用“a=b”同我们用“三角形a、b中线交点与b、c中线交点是同一的”初衷不同。我们用“a=b”不是为了一般地表示算术、几何、逻辑,抑或科学中总能被说成是“同一”的那些命题,诸如弗雷格引为援助的“晨星与暮星是同一的”。应当说,“a=b”有特定用法,我们解方程用b替换a,抑或最终得出“a=b”。这里的“a=b”不是推出的,而是依循规则将方程转换为“a=b”的形式。我们也可依循规则将“a=b”转换为另一形式。方程要求从各个方向上展开运算,这是笛卡儿早就设想的。

维特根斯坦提醒,命题仅只包含命题的意义被表达的可能性,而不包含命题的意义,而这层可能性总要借着我们“看(感知)”命题记号才能展现出来。而被看作“算术命题”“数学命题”的诸如“1+1=2”“7+5=12”实则不关乎可能事件/世界,等式置换与数学运算过程中的“看(感知)”也不是对事物/对象,抑或自然/实在的感知,这里所需的“看(感知)”首先是对记号的感知。维特根斯坦更愿将数学命题同逻辑命题而非科学命题归作一类,将数学视作科学不如将数学视作逻辑,将数学命题视作可充分分析至简单命题层面的复杂命题不如将数学命题视作等式及基于所设定规则的等式置换。由此,维特根斯坦“证明”了诸如“2×2=4”这类“算术命题”。“惟受逻辑运算的一般理论语言框定的‘Ωt′x=Ωs′x’这一等式被证明,‘t=s’这类数的同一式才是算术定理。”《逻辑哲学论》就“2×2=4”所做证明实则是将“2×2=4”转换成Ω2×2′x=Ω4′x。证明“2×2=4”并不以2、4这类数概念以及“×”“=”这类记号的定义为前提,而是将其转换成一套运算语言,这套运算语言脱出传统事物、性质理论,将“数的算术翻译成运算的一般理论”[7]。当然,此套语言记号仅为规制数学过程的一个有效方向,然而,语言效力并不仅限于数学与逻辑,20世纪哲学发展业已揭示“语言问题……不复是一个认识论与经验科学的问题”[8]。以此观之,语言研究包含了更为广阔的跨学科与交叉学科发展空间,必将为21世纪人类生活本质与趋向的阐释提供更为本真的视野。

五、反逻辑主义

早期分析哲学主要致力于提供算术概念的定义以及算术命题的证明。一方面,数及“0”这类算术概念应当获得定义。另一方面,“2+2=4”“2×2=4”这类算术命题应当获得证明。这两方面设想,一般放到算术基础名下讨论。算术哲学主要考察算术概念的实在性与算术命题的真理性。这两类考察又系于“算术基础”这一设想,而算术本身又可视作现代数学的基础。由此,数学基础这类设想也就层层发生。这一设想要在设定数学本身是一种科学,而不是算术、代数、几何、微积分这种种学科的笼统概括。数学应当具有某种内部一致性,这就要求各门学科之间必须处处一致、处处相容。在维特根斯坦看来,且不论这种一致性是否能够获得,单就这种不加限定地将数学视作一种科学的设想已然妨害了正当理解数学。前期维特根斯坦将数学理解成一套依循特定规则的运算系统,它也成了那些以自然/实在为研究对象的科学的界限,或者说,数学显示了界限。

模糊界限抑或越界都会造成误解,诸如康德、弗雷格等要求数学、逻辑如科学般致力于“增加知识”。出于这层考虑,他们不满于前人所谓纯粹数学命题是分析命题的观点。康德的不满在于数学命题应当包含直观,不能只是主词自说自话;弗雷格的不满在于数学命题应当是符号意义同一的集中展现(这里他摒弃直观,植入推理,将数学命题与数学对象设想成是构造的)。从维特根斯坦方向看,逻辑命题与数学命题都不属于数学。前者属于逻辑,后者不是命题。二者又都不同于科学命题,不必考察命题之外的事实,只需“看”命题记号就可得出“真”“假”。当然,数学命题不是命题,自然谈不上真假,能够谈的是某则运算是不是合乎规则,某个置换是不是被规则所容许,某个等式能不能置换成另一个等式。

罗素将《逻辑哲学论》认作天才之作,但他仍对其中或明或暗与逻辑主义抵牾之处表示了疑虑。弗雷格则干脆承认读不懂,他读到《逻辑哲学论》之初就事实、事态做出的区分就停住了,遑论深究。前期维特根斯坦并不热衷罗素类型论抑或还原公理,不过,仍可将其数的定义视作对弗雷格、罗素符号语言的发展,从形式化方向看,他比后者走得更远,“‘函式’‘数’表示形式概念,在概念文字中当用变项,而非函式或类来表示”[9]。从大方向看,维特根斯坦接纳了自弗雷格以来逻辑主义者将“算术”“数学”及“逻辑”看作“语言”的设想,将“意义”“句法”这类用作语言理解的概念移植入数学、逻辑,从而问及诸如“数学命题的意义”“函式的句法规则”。对这类问题的考察使得维特根斯坦最终脱开了“从逻辑推出数学”逻辑主义主线,摒弃了对逻辑主义至关重要的诸如“数学对象”“数学命题”这类基本概念组合。前期维特根斯坦的数学哲学更接近他终身奉为圭臬的赫兹在物理学原理上的工作,与赫兹发展新的概念框架以祛除牛顿体系传承下来所谓“力”这一概念对照,也在发展新的概念框架以祛除弗雷格、罗素等逻辑主义者累积下来的诸如“推理”“对象”这类哲学概念。