正方形方阵

◎马济敏

方阵是古代军队作战时采用的一种队形，即军队在野外开阔地上排列成正方形的一种阵式。方阵平面呈“回”字形，这反映出远古观念中的一种政治地理结构，来源于“天圆地方”的宇宙观。

在数学上，我们把若干人或物排列成正方形的队列，根据排列规律引出的计算问题就叫作方阵问题。如下图：

实心方阵

空心方阵

从上图可以看出，方阵相邻两边的物体个数相差2，相邻两层的物体数量相差8。利用正方形的面积计算公式，实心方阵中物体总数=大边长×大边长；空心方阵中物体总数=大实心方阵数-小实心方阵数。如上图实心方阵的圆片数量是6×6=36（个）；空心方阵的圆片数量是8×8-4×4=48（个）。

例1：五年级的学生排成了一个正方形方阵，最外一层一共有36人，这个正方形方阵一共有多少人？

思路点睛：题中的“最外一层”包括4 条边，如果用36÷4=9，再用9×9=81来计算，就错了。因为两边相交的地方，即方阵的四个顶点，少算了一次，所以正方形的边长应该是9+1=10。那么这个正方形方阵一共有10×10=100（人）。如下图：

例2：一个3 层的空心方阵，最外一层每边有14 人，那么这个方阵一共有多少人？

思路点睛：我们已经知道，方阵每向里面一层，每边人数就减少2人，总数减少8人，所以最外一层是（14-1）×4=52（人），第二层是52-8=44（人），第三层是44-8=36（人），把这三层的人数加起来，得到52+44+36=132（人）。即这个方阵一共有132人。