SS-拟正规性对有限群p -超可解性的影响

高建玲

(山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009)

只考虑有限群G，π表示素数集合，π(G)表示|G| 的素因子集合，p,q表示素数，Op(G)=g∈G|p|/o(g)，其它术语和符号见文献[1-2]。

作为S-拟正规性的推广，2008 年，Li等[3]定义了SS-拟正规性，并用某些p-子群的SS-拟正规性刻画了p-幂零群与p-超可解群。之后，很多群论学者应用子群的SS-拟正规性来刻画有限群结构，已有许多丰富结果，如文献[4-8]。在文献[4]的基础上，应用某些特定p-子群的SS-拟正规性，得到了若干p-幂零群、p-超可解群及超可解群的判别条件。

1 预备知识

定义1[3]设H≤G，则H称作在G中SS-拟正规。若存在B≤G使G=HB，且对任意p∈π(B)，P∈Sylp(B)，皆有HP=PH。

引 理1[3]设K≤G，N-⊲G且H在G中SS-拟正规。

（1）若H≤K，则H在K中亦SS-拟正规；

（2）HN/N在中SS-拟正规。

引理2[3]若p-群P≤G且P在G中SS-拟正规，则PQ=QP对所有Q∈Sylq(G)成立，这里q≠p。

引理3[9]设G是群，p∈π(G)且(|G|,p-1)=1。

（1）如果N-⊲G且|N|=p，那么N≤Z(G)；

（2）如果G的循环Sylowp-子群存在，那么G有正规p-补；

（3）如果M≤G且|G:M|=p，那么M-⊲G。

引理4[9]设p′-群H在p-群P上作用。若P与Q8无关且H在Ω1(P)上平凡作用，则H在P上平凡作用。

引理5[2]设p∈π(G)且p最小，P∈Sylp(G)且P循环，那么G有正规p-补。

引理6[10]假定G是p-可解外p-超可解群，则：

（1）G=AN，|N|=pα，α＞1，A⋂N=1，这里N·⊲G且唯一，N是初等交换p-群，A＜·G且A是p-超可解群；

（2）Φ(G)=1且Op(A)=1。

2 主要结果

定理1若p∈π(G)，且(|G|,p-1)=1，P∈Sylp(G)，O=[P,Op(G)]。则以下命题彼此等价：

（1）G是p-幂零群；

（2）P⋂O同Q8无关，同时P⋂O的p阶子群在G中SS-拟正规。

证明（1）⇒（2）：因G是p-幂零群，所以Op(G)为G的正规p-补。由于Op(G) charG，于是O=[P,Op(G)]≤Op(G)。因此P⋂O≤P⋂Op(G)=1，进而论断成立。

（2）⇒（1）：若论断不成立，G设为极小反例。

对任一H＜G，Hp∈Sylp(H)，鉴于Sylowp-子群的共轭性，可设Hp≤P。故[Hp,Op(H)]≤O，因而Hp⋂[Hp,Op(H)]≤P⋂O。由引理1（1）得，H符合假设，故H是p-幂零群。由H的取法知，G的真子群均p-幂零，故G是内p-幂零群。再运用[11]第VIII章定理3.4有G=P⋊Q。此时Op(G)=G,P⋂O=P。

设P0≤P且|P0|=p，运用题设及引理2 有P0Q=QP0。假设P0Q=G，则P=P0循环。运用引理3（2）得，G是p-幂零群，与G的取法矛盾。现设P0Q＜G，则P0Q=P0×Q是p-幂零群。故Q≤CG(Ω1(P))。若CG(Ω1(P))＜G，则CG(Ω1(P)) 是p-幂零群且CG(Ω1(P))-⊲G。所 以Q⊲G，矛盾 。于是CG(Ω1(P))=G，因此Ω1(P)≤Z(G)。若exp(P)=p，则P=Ω1(P)，G=P×Q，矛盾。因此p=2，exp(P)=4。由引理4，Q在P上平凡作用，于是G是2-幂零群，矛盾。

综上讨论，G是p-幂零群。

定理2若p∈π(G)，且(|G|,p-1)=1，P∈Sylp(G)，O=[P,Op(G)]。则以下命题彼此等价：

（1）G是p-幂零群；

（2）P⋂O的p阶子群在G中SS-拟正规；特别地，p=2时，P⋂O的4阶循环子群在G中亦SS-拟正规。

证明（1）⇒（2）：由于G为p-幂零群，故Op(G)是G的正规p-补。又因Op(G) charG，因此O=[P,Op(G)]≤Op(G)。进一步P⋂O≤P⋂Op(G)=1，进而结论成立。

（2）⇒（1）：若论断不成立，G设为极小反例。

对任一H＜·G，Hp∈Sylp(H)，鉴于Sylowp-子群的共轭性，可设Hp≤P。故[Hp,Op(H)]≤O，因而Hp⋂[Hp,Op(H)]≤P⋂O。由引理1（1）得，H符合假设，故H是p-幂零群。由H的取法知，G的真子群均p-幂零，故G是内p-幂零群。再运用[11]第VIII 章定理3.4 有G=P⋊Q。此时Op(G)=G，P⋂O=P。从而对任一x∈P，有o(x)=p或4，运用题设及引理2 知。若o(x)=4，运用引理5 知，x∈NG(Q)。若o(x)=p，运用引理3（3）知，x∈NG(Q)。考虑到x的任意性有，P≤NG(Q)。故Q-⊲G。所以G是p-幂零群，矛盾。

综上讨论，G是p-幂零群。

推论1设p∈π(G)，且p最小，P∈Sylp(G)，O=[P,Op(G)]。则以下命题彼此等价：

（1）G是p-幂零群；

（2）P⋂O的p阶子群在G中SS-拟正规；特别地，p=2时，P⋂O的4阶循环子群在G中亦SS-拟正规。

证 明如 果p∈π(G) 而 且p最 小，易 见(|G|,p-1)=1，运用定理2可得。

推论2对任一p∈π(G)，P∈Sylp(G)，O=[P,Op(G)]，若P⋂O的p阶与4 阶循环子群在G中均SS-拟正规，则G存在超可解型Sylow塔。

证明运用推论1直接可得。

定理3假定G是p-可解群。若G的任一循环p-子群在G中SS-拟正规，则G是p-超可解群。

证明G设为极小阶反例。则：

（2）G是一个p-可解外p-超可解群。

由（1）及G的取法知G是p-可解外p-超可解群。由引 理6 知，G=AN,|N|=pα,α＞1,A⋂N=1,其中N·⊲G且唯一，N是初等交换p-群，A＜·G且A是p-超可解群。

（3）导出矛盾。

推论3假定G是π-可解群。若对任意p∈π，G的任一循环p-子群在G中SS-拟正规，则G是π-超可解群。

推论4假定G是可解群。若G的任一循环子群在G中均SS-拟正规，则G是超可解群。

定理4G是p-超可解群的充要条件是G有p-可解子群N且N-⊲G使得是p-超可解群，同时N的任一循环p-子群在G中SS-拟正规。

证明显然必要性成立，下面只证充分性。

G设为极小阶反例。则：

（1）设H·⊲G，则是p-超可解群。

由于N是p-可解群，是p-超可解群，故G是p-可解群，因此H是p-群或p′-群。由假设NH/H-⊲，NH/H≅N/(N⋂H)是p-可解群，且(G/H)/(NH/H) ≅G/NH≅(G/N)/(NH/N) 是p-超可解群。对于每个循环p-子群，同定理4 的证明可得在中SS-拟正规。因此，由G的选取知，是p-超可解群。并且对所有T-⊲G且T非平凡，有是p-超可解群。

（2）G是一个p-可解外p-超可解群。

由（1）及G的取法知G是一个p-可解外p-超可解群。由引理6 知G=MP0,|P0|=pα,α＞1,M⋂P0=1,其中P0·⊲G且唯一，P0是初等交换p-群，M＜·G且M是p-超可解群，Φ(G)=1且Op(M)=1。

（3）易知N=N⋂P0M=P0(N⋂M)。记B=N⋂M，则B是交换群。

由假设及引理1（1）知，N的每个循环p-子群在N中SS-拟正规，于是由定理4 得N是p-超可解群，因此N′是p-幂零的。因为G的唯一极小正规子群是p-群，所以N′是p-群。由于N′⊲G，所以N′≤F(G)=P0。这说明N′=1或N′=P0。

情形1 若N′=1，则N是交换群，所以B也是交换群。

情形2 若N′=P0，则B′≤P0，又M⋂P0=1，所以B′=1，即B是交换群。

此时，记Bp∈Sylp(B)，则BpcharB⊲M，所以Bp⊲M。又Op(M)=1，于是Bp=1。故N=P0B，P0∈Sylp(N)。

（4）导出矛盾。

推论5假定N-⊲G且N是π-可解群。若是π-超可解群，且对任意p∈π，N的任一循环p-子群在G中SS-拟正规，则G是π-超可解群。

推论6假定N-⊲G且N是可解群。若是超可解群，且N的任一循环子群在G中SS-拟正规，则G是超可解群。