-张量的新判定*

王亚强,温德坤

(宝鸡文理学院 数学与信息科学学院,陕西 宝鸡 721013)

1 预备知识

下面给出本文用到的记号、定义及引理。

n表示正整数;N表示集合{1,2,…,n};C[m,n](R[m,n])表示所有m阶n维的复(实)张量的集合。

令δi1i2…im为Kronecker符号,即

给定m阶n维的复(实)张量A=(αi1i2…im)∈C[m,n](R[m,n])。记

定义1[7]设(A)=(ai1i2…im)∈C[m,n],X=diag(x1,x2,…,xn)为正对角矩阵,则称B=(bi1…im)=AXm-1为张量A与正对角矩阵X的乘积,其中

bi1i2…im=ai1i2…imxi2xi3…xim,
ij∈N,j∈1,2,…,m。

定义2[7]设A=(ai1i2…im)∈C[m,n],若存在一个非空真子集I⊂N使得

ai1i2,…,im=0,∀i1∈I,∀i2,…,im∉I,

则称A为可约张量,否则A是不可约的。

定义3[7]设A=(ai1i2…im)∈C[m,n]。如果∀i,j∈N(i≠j),存在k1,k2,…,kr使得

其中,k0=i,kr+1=j,那么称A有一条从i到j的非零元素链。

定义4[7]设A=(ai1i2…im)∈C[m,n]。若

|aii…i|≥Ri(A),∀i∈N,

(1)

则称A为对角占优张量。若(1)式中严格不等号均成立,则称A为严格对角占优张量。

定义5[7]设A=(ai1i2…im)∈C[m,n]。若存在正向量x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn,使得

引理2[7]设A=(ai1i2…im)∈C[m,n]不可约。若

|aii…i|≥Ri(A),∀i∈N,

引理3[7]设A=(ai1i2…im)∈C[m,n]。若A满足下列条件,

(1)|αii…i|≥Ri(A),∀i∈N;

(2)J(A)={i∈N:|αii…i|>Ri(A)}≠∅;

(3)对于任意的i∉J(A),A有一条从i到J(A)中某一元素j的非零元素链,

2 主要结论

(2)

且

(3)

证明记

(4)

故

在农村垃圾形势日益严峻以及“乡村振兴战略”的要求下，各个地区积极开展农村垃圾治理工作，因地制宜，采取多种治理模式，并取得了初步成效。各个地区应该相互借鉴，共同致力于农村垃圾治理工作，还农村更美的景、更蓝的天。

Pi

(5)

记

(6)

由于0<λi<1,i∈N3,从而存在一个充分小的正数ε2,使得0<ε2+λi<1。

取

ε=min{ε1,ε2},

(7)

构造正对角矩阵D=diag(d1,d2,…,dn),其中

令B=(bi1i2…im)=ADm-1,下面分3种情况证明B为严格对角占优的张量。

情形1:对任意的i∈N1有

情形2:对任意的i∈N2有

情形3:对任意的i∈N3有

定理2设A=(αi1i2…im)∈C[m,n]不可约。若A满足

(8)

且

(9)

证明构造正对角矩阵D=diag(d1,d2,…,dn),其中

记

定理3设A=(αi1i2…im)∈C[m,n]。若A满足

(10)

且

(11)

证明构造正对角矩阵D=diag(d1,d2,…,dn),其中

3 数值例子

为了与已有结果进行比较,首先给出文献[16]的结果。

经简单计算得

然而,因为

且

4 小结