快马扬鞭跃道阻，筋斗腾云飞险途

2023-12-18雷小华

广东教育·高中 2023年11期

雷小华

中学数学中的三角函数是现实中最常见的函数模型之一，也是将来进一步学习高等数学知识不可或缺的基础，因此，对三角函数的考查自然就成为了高考数学的必考内容.比如2023年新高考数学Ⅰ卷中求参数ω问题的第15题，再次在高考中得到体现．

我整理近年的高考试题发现，在对三角函数y=Asin（ωx+φ）+b（或y=Acos（ωx+φ）+b）中求参数ω的取值范围时，考查形式常为给出该函数的表现形式或特征，如零点个数、极值点个数、最值的个数或某范围内单调等，让考生逆求参数ω的取值范围，这类题目时有出现，下面就对这类试题略加分析．

一、2023年试题分析与解答

2023年新高考数学Ⅰ卷第15题如下：

已知函数f（x）=cos ωx-1（ω>0）在区间［0，2π］有且仅有3个零点，则ω 的取值范围是______．

【分析】

有关y=Acos（ωx+φ）+b的零点个数问题，一般要先等价转化.新版课本提到了三个等价，即函数f（x）的零点方程f（x）=0的根函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标，三者之间根据实际情况来回转化，寻找优解着手处．

若从y=Acos（ωx+φ）+b的图像入手，转化为函数y=cos ωx与y=1在区间［0，2π］上有且仅有3个交点，这步等价转化是解决本题的关键.然后画出余弦曲线y=cos x与y=1两个图像，把ωx看成一个整体变量，找出变量ωx满足的数量关系即得，姑且命名为法一“快马扬鞭”．

若从三角函数由角的旋转引起函数值的改变这一观点出发，灵活应用三角函数的定义，同样可破解此类试题，根深结硕果，简洁易行，姑且命名为法二“筋斗腾云”.下面是两法解答．

【解法一】快马扬鞭

函数f（x）在区间［0，2π］有且仅有3个零点方程cos ωx=1在区间［0，2π］有且仅有3个根函数y=cos ωx与y=1在区间［0，2π］上有且仅有3个交点．

令f（x）=0，得cos ωx=1；因为x∈［0，2π］，所以ωx∈［0，2πω］.令ωx=t，画出函数y=cos t与y=1的图像，如图：

若函数y=cos ωx与y=1在区间［0，2π］上有且仅有3个交点，则自变量ωx的变化范围中的上限2πω为图中虚线对应的横轴上取值范围，必须满足4π≤2πω<6π，即2≤ω<3.故填：［2，3）．

【解法二】筋斗騰云

基础知识：角的终边所在位置为轴线角时，能熟练得知其三角函数值．

令f（x）=0，得cos ωx=1，因为x∈［0，2π］，所以ωx∈［0，2πω］．

令g（t）=cos t，t∈［0，2πω］.若要函数f（x）在区间［0，2π］有且仅有3个零点，等价于函数g（t）=cos t在t∈［0，2πω］上有且仅有3个最大值点t1、t2、t3，如图，则变量ωx的变化范围中的旋转上限2πω必须满足如图所在的虚线范围，即4π≤2πω<6π，即2≤ω<3.故填：［2，3）．

【感悟】

在解三角函数y=Asin（ωx+φ）+b（或y=Acos（ωx+φ）+b）中的参数ω这类问题时，快马扬鞭或筋斗腾云两法都需要先等价转化成易于着手处理的式子，最后利用对应的三角函数图像或三角函数的对应关系等基础知识，通过数形结合得出参数ω的范围．

在筋斗腾云法中，抓住函数中两个变量之间的对应关系，即角在变化（旋转）引起三角函数值的变化，从而产生自变量（即角）必须遵从的变化范围，从而求出参数ω；在快马扬鞭法中，利用相应的三角函数的图像数形结合，从而求出参数ω，两者同根同源，理同道异，殊途同归而已．

近几年高考此类题目的已知条件不断变换，产生不同的模型与不同情景，目的还是考查考生对三角函数核心知识的理解能力与灵活应用能力.解题时常涉及自变量x、ωx+φ及函数值y的对应变化分析．

要达到顺利解答此类题目，在筋斗腾云法中，须熟练掌握轴线角的三角函数值（零点与最值），如sin 0=0，sinπ/2=1，sin π=0，sin3π/2=-1；cos0=1，cosπ/2=0，cos π=-1，cos3π/2=0；tan 0=0，tan π=0等，另外，熟悉角的旋转怎样影响三角函数的单调性等基础知识；在快马扬鞭法中，须熟练绘制三角函数等图像，能对其分析与判断，找出关系并得出结论．

实战中，读者可根据自身实际情况以简便、快捷、易做选择这二法.相比之下，本人偏爱筋斗腾云法，快捷省事.下面是近几年高考中出现的这一类试题分析与简答.

二、近年高考同类试题

例（2022·全国甲（理）第11题）

设函数f（x）=sinωx+π/3在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）

A. 5/3，13/6______B. 5/3，19/6

C. 13/6，8/3D. 13/6，19/6

【分析】

函数f（x）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点函数f（x）在区间（0，π）恰有两个极大值点、一个极小值点与两个零点．

【解法一】快马扬鞭

依题意可得ω>0，因为x∈（0，π），所以ωx+π/3∈π/3，ωπ+π/3，令ωx+π/3=t，画出函数y=sin t，t∈π/3，ωπ+π/3的图像，图像如下：

由图像可知，要确保函数f（x）=sinωx+π/3在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，必须5π/2<ωπ+π/3≤3π，解得13/6<ω≤8/3，即ω∈13/6，8/3.故选：C．

【解法二】筋斗腾云

因为x∈（0，π），所以ωx+π/3∈π/3，πω+π/3，令ωx+π/3=t，则g（t）=sin t，t∈π/3，ωπ+π/3.若要函数g（t）在区间π/3，ωπ+π/3恰有三个极值点与两个零点，如图，y1、y2、y3为g（t）的三个极值点，x1、x2为g（t）两个零点x1、x2，故ωπ+π/3的活动范围是图中旋转时的虚线部分，即5/2π<πω+π/3≤3π，即13/6<ω≤8/3.故选C．

三、实践练习

1.零点问题

（1）已知函数f（x）=sinωx-3cosωx（ω>0），若函数f（x）的图像在区间x∈（0，π）上恰有2个零点，则实数ω的取值范围为．

【答案】4/3，7/3.

（2）（单选）设函数f（x）=2sin（ωx+φ）-1（ω>0），若对于任意实数φ，f（x）在区间π/4，3π/4上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）

A.8/3，16/3B.4，16/3

C.4，20/3 D.8/3，20/3

【答案】B.

（3）（单选）将函数f（x）=cos x的图像先向右平移5/6π个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的1/ω（ω>0）倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，若函数g（x）在π/2，3π/2上没有零点，则ω的取值范围是（）

A.0，2/9 ∪2/3，8/9B.0，8/9

C.0，2/9∪8/9，1D.（0，1］

【答案】A.