毕达哥拉斯律和欧洲中世纪复调之间的联系

庄晓雪

欧洲中世纪音乐理论的源头可以追溯到古希腊音乐理论， 古希腊哲学的核心思想是理性理论， 理论的核心是数学， 用数学工具思考物质层面上的各种性质， 一步步发展成为一门科学。 音乐在早期是一门科学而非现在的艺术。 毕达哥拉斯被认为是古希腊音乐理论的奠基人， 音乐理论是对数字比例的数学研究， 这也成为古希腊音乐理论的主要论点。 中世纪复调音乐中纵向和声音程成为西方和声发展的萌芽［1］， 毕达哥拉斯律中的协和音程成为中世纪早期复调音乐最重要的和声音程。 早期复调音乐是为宗教服务， 因此音乐的审美需要符合“神” 的审美， 协和音程是 “神” 的和谐统一美的体现。随着不协和音程的使用越来越频繁， 是人们想要摆脱宗教束缚的体现， 也是音乐从迎合 “神” 的审美到 “人”的审美的转变。

一、 毕达哥拉斯学派的音乐理论

（一） 毕达哥拉斯学派的哲学思想

虽然没有关于毕达哥拉斯本人著作的留存， 但许多毕达哥拉斯的信徒们写了大量的文章， 并把一些思想归功于他。 现代的学者将毕达哥拉斯学派的哲学思想分为两大类——宗教哲学和数学哲学。 毕达哥拉斯学派的宗教哲学起源于古希腊宗教奥尔菲斯教派 （Orpheus）， 该宗教的教义就是灵魂转世、 生命的轮回。 如果说泰勒斯是第一位哲学家， 那么毕达哥拉斯就是第一位数学哲学家， 因为他是第一个将哲学与数学结合起来的人。 亚里士多德在他的 《形而上学》 中说： “……毕达哥拉斯学派出于对数学的兴趣， 是最早引入数学的早期哲学家，并表示数学原理是万物的基本原理。 ……他们又看到了音律的变化与比例可由数来计算［2］。” 尽管古希腊哲学家对事物有不同的看法， 但他们有一个共同点就是他们都认为宇宙多样性背后存在着潜在的统一性。 毕达哥拉斯学派中 “数的世界” 有一个观点： 外在的世界有一种内在的秩序， 内在的秩序指的是通过思考才可以掌握的一个形式概念， 数字只是一个数的概念的代表。 毕达哥拉斯认为， 音乐也可以用数字表示。 那么为什么音乐可以用数字来代表呢？ 因为音乐旋律具有其内在的秩序， 这种秩序有规律， 可以透过数字加以表达。 音乐家与数学家一样， 都是针对这一原先就已经有秩序的世界， 进一步发展的自由创作者。 毕氏哲学虽然充斥着神秘主义色彩， 但是一种相当具有知识主义特色的哲学。

（二） 毕达哥拉斯律的产生

根据卡西奥多鲁斯 （Cassiodorus） 在6 世纪的著述中描述， 数学科学考虑抽象的量分为四部分： 算术、 音乐、 几何学和天文学。 音乐是一门研究数学与声音之间关系的学科。 音乐被认为是一门理论学科的观点存在着很长的时间， 这种观点至少在西方世界里起源于毕达哥拉斯。 毕达哥拉斯认为音乐和数学是密不可分的， 他深信宇宙万物都可以用比例以及整数来表示。 毕达哥拉斯开创了音乐和数学的实验研究， 用客观的物理量测量，例如弦的长度， 并通过算术比例发现了音乐的定量数学关系来试图解释主观的心理和审美感受。 虽然毕达哥拉斯本人并不是音乐家， 但通常被认为是发现全音阶的人。 相传， 毕达哥拉斯在经过铁匠铺时听到不同锤子发出不同音高的声音从而发现了构成音阶的比例。 图一木刻版画描述了毕达哥拉斯进行各种音程之间数学比例的实验［3］。 图中左上角是不同重量的锤子敲击铁砧时， 产生了不同的音高。 其中锤子的重量有12 磅、 9 磅、 8 磅和6 磅， 分别产生八度 （2： 1）、 五度 （3： 2）、 四度（4： 3） 的音程关系， 这些音程听起来相当和谐。 显然，这个锤子的故事并不靠谱。 因为不同质量的锤子敲打同一块铁砧时， 只是响度不同， 而音高是由铁砧的大小决定的。 如果我们将这个故事运用到弦上， 就会显得非常合理。 木刻版画中的左下图描绘了毕达哥拉斯在弹奏六根单弦琴， 每根琴弦上都挂有不同重量的东西来收紧琴弦， 这样每根琴弦的张力就不同。 根据弦振动频率公式可知， 弦的长度、 密度相同， 频率与弦的张力成正比。 后来， 波爱修斯使用可移动琴桥的单弦琴来计算音程的数学比例， 进一步证明毕达哥拉斯各音程的频率比例理论。 他通过移动琴桥改变弦的长度， 首先将弦分成二等份， 然后将其中一半发出的声音与整根弦发出的声音进行比较， 产生了一个高八度音程 （2： 1）。 再将整段弦分成三等份并振动其中的2 个部分， 得到五度音程 （3： 2）。 最后将弦分成四等份并振动其中的3 个部分， 得到四度音程 （4： 3）。除此之外， 还将该理论运用到不同的实验中， 图中右上角的图片是用相同的杯子装不同容量的水进行实验， 右下角是用不同管长产生不同的音高的实验。

众所周知， 毕达哥拉斯学派对前四个正整数构成的音程比例 （即4： 3： 2： 1） 特别感兴趣。 他们认为这些音程听起来很和谐。 基于八度和五度音程， 毕达哥拉斯提出了关于这两个音程生成的音阶过程。 首先我们从D1 （可以从任意音符开始） 开始向上升一个八度得到D2， 在D1 和D2 这一个八度内生律。 我们可以分别将D1 和D2 向上、 向下构五度音程， 得到A1 和G1。 然后将A1 向上生纯五度得到E1， G1 向下生成纯五度得到C， 为了保证在一个八度内， 我们将C 移高一个八度得到C1。 这样我们一共有五个音， 分别是C1、 D1、 E1、G1、 A1， 也就是我们熟悉的中国五声音阶。 我们再将C1 向下生成纯五度得到F1， 将E1 向上生成纯五度得到B1， 这样就得到了西方的全音阶。 如果我们再继续五度循环可以生成半音阶， 即以D 音为中心音向上和向下五度生律得到：bA-bE-bB-F-C-G-D-A-E-B-#F-#C-#G 形成五度圈。 但是最后发现从D1 开始循环无法再回到D1，假设我们总是以纯五度音程开始生律。 如果我们生成n次， 那么频率比为超过限定一个八度内的音需要我们下降八度m 次， 即我们最终会得到的频率比是这个式子等于1。 对于则必须为真。 但是， 2m始终是整数， 而不是整数。 所以，永远不会成立。 因此， 如果使用毕达哥拉斯律进行调律的话， 一个八度音阶内只有十一个纯五度音程， 毕达哥拉斯律中最后一个纯五度音程由于积累过多的拍音而导致 “狼音” 的出现， 并且无法任意转调。 所以欧洲中世纪的作曲家会根据自己所创作的作品的调式来避免 “狼音程” 的出现。［4］

二、 中世纪复调音乐的发展

中世纪复调音乐通常指的是9 世纪至15 世纪初的西欧音乐， 虽然关于基督教礼仪和圣咏的历史可以追溯到更远。 中世纪的音乐包括宗教音乐和世俗音乐， 宗教音乐是为西方基督教会的仪式和宗教而创作的， 关于中世纪早期的世俗音乐很少， 因为只有神职人员识字， 才能够进行写作， 而世俗音乐是通过口耳相传来学习的。复调起源的确切时间一直是争论的主题。 尽管如此， 我们可以从音乐学的角度谈论 “复调的出现”， 最早的复调音乐出现于9 世纪。 《音乐手册》 是9 世纪的一部匿名音乐论文， 这是在西方艺术音乐中建立复调规则体系最早的音乐理论文本［5］。

（一） 从单声部音乐到多声部复调音乐

欧洲中世纪在9 世纪以前一直是单声部音乐， 这一时期最重要的成就之一就是从单声部音乐到多声部复调音乐形式的发展。 中世纪早期欧洲各地出现了不同的圣咏形式， 随着罗马教皇在西方教会中地位的确立， 为了规范教堂中的圣歌， 格里高利圣咏成为统一的规范和最高的权威。 当时采用的 “教会调式” 被广泛地运用在格里高利圣咏中， 中世纪调式与古希腊调式一样， 都是根据毕达哥拉斯律构成的［6］。 奥尔加农是早期复调音乐的形式， 产生于公元9 世纪， 在圣咏旋律下方以四、 五度平行进行， 称为 “平行奥尔加农”。 到11 世纪， 奥尔加农两个声部出现了反向或斜向的关系。 这些复调在声部结合上主要以八度、 四度、 五度的协和音程为主， 偶尔出现不协和音程也只是作为经过音程， 会立即转向协和音程上［7］。 因此早期的奥尔加农建立在协和音程的基础上，在协和性方面与毕达哥拉斯律相吻合。 在毕达哥拉斯律的音程比例中， 三度、 六度音程被认为是不协和音程，大三度音程频率比为81： 64， 小三度 （32： 27）， 大六度 （27： 16）， 小六度 （128： 81）。 由于复杂的比例， 在理论上， 三度、 六度音程听起来是不和谐的。 人们认为同时演奏音高为简单比的音程时， 会让人产生 “和谐悦耳的感觉”。 但实际上， 大二度 （9： 8） 虽然是简单比，三度音程却比它听起来更协和。 我们可以看出， 从单声部旋律到早期奥尔加农形式， 是从音对音之间的横向关系过渡到音程之间的纵向关系， 并且遵循着简单音程频率比的原则进行创作。

（二） 复调音乐中不协和音程的使用

节奏模式和记谱法的出现为复调音乐带来了创新发展。 莱奥南和佩罗坦成为中世纪圣母院乐派两位重要的作曲家， 从他们开始， 三声部作曲手法已经成为常态，甚至出现了四个部的音乐作品。 毕达哥拉斯律作为13、14 世纪标准的理论调音方法， 非常适合佩罗坦、 纪尧姆·德·马肖等作曲家的作品风格。 毕达哥拉斯律是基于纯五度产生的律制， 协和的纯音程给中世纪复调音乐奠定了稳定的基础。 协和音程虽然听起来很 “和谐” 但并不代表好听， 协和音程空洞、 单调的音响越来越无法满足作曲家对和声色彩的追求， 三度、 六度以及其他被当时视为不协和音程也逐渐开始使用。 从表格中我们可以看到， 在毕达哥拉斯律中， 大三度、 大六度音程比纯律大三度、 大六度大约22 音分， 小三度、 小六度比纯律小三度、 小六度小约22 音分。 这个差值被称为 “毕达哥拉斯音差” （纯律大三度音分值为386.31， 小三度为315.64 音分； 大六度为884.36 音分， 小六度为813.69 音分）。 因此， 在用毕达哥拉斯律进行调律时， 所有的大三度、 大六度都是宽音程， 小三度、 小六度是窄音程。毕达哥拉斯律中的三度、 六度音程作为 “不协和音程”具有一定的张力， 使得带有不稳定的三度、 六度音程解决到同度、 五度、 八度的稳定音程， 为中世纪欧洲复调音乐带来了色彩。

毕达哥拉斯律中各音程频率比及音分值

到了15 世纪， 欧洲大陆的音乐风格开始发生变化，越来越强调三度、 六度音程在作品中的地位， 因此寻求新的律制以适应当时的作曲风格成为必然。 前面提到，简单的频率比会产生协和的音程， 反之， 复杂的频率比会产生不协和的音程。 基于此理论， 当时的理论家也在思考如何将复杂的音程频率比简单化。 大约1300 年，英国修道士、 音乐理论家兼科学家沃尔特·奥丁顿（Walter de Odington） 提出大三度和小三度的比例分别接近5： 4 和6： 5， 并且提出歌唱家倾向于这些更简单的比例。 他的观点可能反映了那个时期许多英国复调的风格， 其中三度通常在结构中扮演着重要的角色， 甚至可以作为终止的音响。 法国作曲家兼理论家弗朗科把小六度 （8： 5） 作为协和音程， 法国理论家兼科学家里米斯把大六度 （5： 3） 作为协和音程。 这就是大约在15 世纪出现的纯律当中的大小三度、 大小六度的音程。 1500年来， 音乐主要是用整数比例来解释的， 由于古希腊文明对西方文化产生巨大的影响， 科学家和哲学家长期以来都在研究音乐和数学之间的联系。 中世纪后期的复调音乐中虽然出现了和弦， 但作曲家对于多声部的结合是音程之间的叠加， 并没有 “和弦” 的概念。 直到16 世纪， 主调音乐开始出现， 和弦构造才越来越明显。

结 语

在欧洲早期的文化中， 数学、 宗教和音乐是相互关联的。 在毕达哥拉斯律制的理论中， 毕达哥拉斯学派确定了构成音阶基础的算术、 几何和和声手段， 以及发现音乐的协和音程比例， 即纯八度 （2： 1）、 纯五度 （3：2）、 纯四度 （4： 3）。 中世纪早期的复调音乐也是建立在协和音程的基础上， 毕达哥拉斯律使所有五度音都是完美、 协和的， 但也导致所有大三度和大六度都以一个毕达哥拉斯音差变宽， 所有的小三度、 小六度以一个毕达哥拉斯音差变窄。 毕达哥拉斯律中不协和的三度、 六度为中世纪后期复调音乐增添了色彩， 纯音程虽然带来了稳定的基础， 但协和音程缺乏活力和张力， 而太多的不协和音程会破坏乐曲结构整体的平衡。 中世纪复调音乐是为这种律制而创作的， 到了中世纪晚期和文艺复兴时期毕达哥拉斯律已经不再适合这一时期的音乐创作风格， 也迫使新的律制的产生。 中世纪复调音乐基于但不依赖于毕达哥拉斯律， 在不断地音乐实践中产生新的律制来适应同时期的音乐作品创作风格， 新的律制也并不是毕达哥拉斯律的替代品， 而是在它的基础上进一步地优化。