重视综合实践　发展学习能力

2023-12-17曹洪

初中生学习指导·中考版 2023年11期

曹洪

中考试卷中的综合与实践试题，通常采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，要求考生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提升发现与提出问题、分析与解决问题的水平，发展学习能力. 现以近年中考试卷中的综合与实践试题为例来说明.

例1 （2022·山西）综合与实践

【问题情境】在Rt△ABC中，[∠BAC=90°]，[AB=6]，[AC=8]. 直角三角板[EDF]中[∠EDF=90°]，将三角板的直角顶点[D]放在[Rt△ABC]斜边[BC]的中点处，并将三角板绕点[D]旋转，三角板的两边[DE]，[DF]分别与边[AB]，[AC]交于点[M]，[N].

【猜想证明】

（1）如图1，在三角板旋转过程中，当点[M]为边[AB]的中点时，试判断四边形[AMDN]的形状，并说明理由；

【问题解决】

（2）如图2，在三角板旋转过程中，当[∠B=∠MDB]时，求线段[CN]的长；

（3）如图3，在三角板旋转过程中，当[AM=AN]时，直接写出线段[AN]的长.

分析：（1）由三角形中位线定理可得MD[?]AC，可证[∠A=∠AMD=∠MDN=90°]，即可求解；（2）过点N作NG⊥CD于点G，由勾股定理可求出[BC]的长，由中点的性质可得[CG]的长，由相似三角形即可求解；（3）连接MN，AD，过点N作NH⊥AD于H，通过证明点A，M，D，N四点共圆，可得[∠ADN=∠AMN=45°]，由直角三角形的性质可求出[HN]的长，即可求解.

解：（1）四边形[AMDN]是矩形. 理由如下：∵点[D]是[BC]的中点，点[M]是[AB]的中点，∴MD[?]AC，[∴∠A+∠AMD] = 180°. ∵∠A = 90°，[∴∠AMD] = 90°. ∵[∠A] = [∠AMD] = [∠MDN] = 90°，[∴]四边形[AMDN]是矩形.

（2）如图2，过点[N]作[NG⊥CD]于[G].

∵[AB=6]，[AC=8]，[∠BAC=90°]，[∴BC=AB2+AC2=10].

∵点[D]是[BC]的中点，[∴BD=CD=5].

∵[∠MDN=90°=∠A]，[∴∠B+∠C=90°]，[∠BDM+∠1=90°]，

∵[∠B] = [∠BDM]，[∴∠1=∠C]，[∴DN=CN].

又∵NG⊥CD，[∴DG=CG=52].

∵易证△CGN[∽]△CAB，∴[CGCN=ACBC]，[∴][52CN=810]，[∴CN=258].

（3）如图3，连接[MN]，[AD]，过点[N]作[HN⊥AD]于[H].

∵[AM=AN]，[∠MAN=90°]，[∴∠AMN=∠ANM=45°].

∵[∠BAC+∠EDF=180°]，[∴]点A，M，D，N四点共圆，[∴∠ADN=∠AMN=45°].

∵[NH⊥AD]，[∴∠ADN=∠DNH=45°]，[∴DH=HN].

∵BD = CD = 5，[∠BAC=90°]，[∴AD=CD=5]，[∴∠C=∠DAC]，

易证△AHN[∽]△CAB，[∴HNAH=ABAC=34]，[∴AH=43HN].

∵[AH+HD=AD=5]，[∴DH=HN=157]，[AH=207]，

[∴AN=AH2+HN2=22549+40049=257].

点评：本题是三角形综合题，主要考查三角形中位线定理、矩形的判定、直角三角形的性质、勾股定理、圆等知识，灵活运用这些性质解决问题是关键.

例2 （2022·甘肃·兰州）综合与实践：

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图4，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点. 试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明.

【思考尝试】

（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题. 请在图4中补全图形，解答老师提出的问题.

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图5，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP = 90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题.

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：

如图6，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP = 90°，连接DP. 知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值. 当AB = 4时，请你求出△ADP周长的最小值.

分析：（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠CEP = ∠FAE，再根据“ASA”证明△AFE≌△ECP，得AE = EP；（2）在AB上截取AF = EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP = ∠FAE，则△FAE ≌ △CEP（SAS），再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；（3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，连接AG和PG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP + DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，即可得出答案.

解：（1）AE = EP. 理由如下：取AB的中点F，连接EF.

∵F，E分别为AB，BC的中点，∴AF = BF = BE = CE，

∴∠BFE = 45°，∴∠AFE = 135°.

∵CP平分∠DCG，∴∠DCP = 45°，∴∠ECP = 135°，∴∠AFE = ∠ECP.

∵AE⊥PE，∴∠AEP = 90°，∴∠AEB + ∠PEC = 90°.

∵∠AEB + ∠BAE = 90°，∴∠PEC = ∠BAE，

∴△AFE ≌ △ECP（ASA），∴AE = EP.

（2）如图5，在AB上截取AF = EC，连接EF，

由（1）同理可得∠CEP = ∠FAE.

∵AF = EC，AE = EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP = ∠AFE.

∵AF = EC，AB = BC，∴BF = BE，∴∠BEF = ∠BFE = 45°，

∴∠AFE = 135°，∴∠ECP = 135°，∴∠DCP = 45°.