巧添平行线 构造相似形

栾长伟

用平行线分线段成比例定理或相似三角形的知识来解题，是初中数学常用的方法.有时题目中没有平行线或相似三角形，则要引入平行线，构造如图1和图2所示的相似三角形.这类相似三角形通常被称为“平行线型”相似三角形. 题目中出现同一直线上或两条平行线上的两条线段之比时，通常要构造“平行线型”相似三角形.下面举例探讨不同背景下，如何构造“平行线型”相似三角形来解决问题.

一、在三角形中构造

例1 如图3，Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = BC，点D为BC边上的中点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F.求[AFFC]的值.

分析：本题条件和结论中都出现了同一直线上的两条线段的比，即已知的[BDDC] = 1和要求的[AFFC]，为此，考虑以点D或点F为分点添加平行线，构造“平行线型”相似三角形.

解法1： 如图3，过点D作DG[?]BF，交AC于点G.

易证△BED∽△AEB，有[BDAB=BEAE=DEBE]，进而得出[AEDE] = 4.又因为DG[?]BF，所以[FGFC] = [BDBC] = [12]，FC = 2FG，结合[AFFG] = [AEDE] = 4，可得[AFFC] = [AF2FG] = 2.

解法2：如图4，过点C作CG[?]AD，交BF的延长线于点G.同解法1可得[AEDE] = 4.因为D为BC中点，CG[?]AD，所以[DEGC=12]，进而得到[AEGC=2].再证明△AEF∽△CGF，可得[AFFC=AEGC=2].

变式：已知，如图5，Rt△ABC中，∠ABC = 90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F.若[ABBC] = [BDDC] = n，求[AFFC]的值（用含n的式子表示）.

分析：本题看似已知条件发生了变化，但题中“同一直线上的两条线段的比”这一特征没有变化，所以还是添加平行线，构造“平行线型”相似三角形.

解： 如图5，过点D作DG[?]BF交AC于点G.由条件得BD = nDC，BC = （n + 1）DC，AB = n（n + 1）DC.易证△BED∽△AEB，所以[DEBE] = [BEAE]，得到[AEDE] = （n + 1）2.因为DG[?]BF，所以[FGGC] = [BDDC] = n，所以FG = nGC，FG = [nn+1]FC.因为DG[?]BF，所以[AFFG] = [AEDE] = （n + 1）2，可得[AFnn+1FC] = （n + 1）2，所以[AFFC] = n2 + n.

二、在四边形中的运用

例2 如图6，在四边形ABCD中，AD[?]BC，∠ABC = 90°，AD = CD，F是对角线AC的中点，连接BF并延长交CD于点E，BE⊥CD.求[ADBC]的值.

分析：本题的显著特征是所求比值的两条线段所在直线互相平行，可以考虑构造“平行线型”相似三角形.

解：分别延长BA，CD交于点G.在Rt△ABC中，F为斜边AC的中点，有FB = FC.又因为DA = DC，可证∠1 = ∠2 = ∠3 = 30°，易得∠G = ∠2 = 30°，可得AC = AG.在Rt△ABC中，[ACAB=2]，可知[AGAB=2]，所以[AGGB=23]，所以[ADBC=AGGB=23].

三、在圆中构造

例3 如图7，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，连接BD交AC于点F， BA = BD，求[DFBF]的值.

分析：本题图形较复杂，题目中的特殊条件也较多，细心观察发现待求比值的线段在同一直线上，可考虑连接BE，得到直角，通过“垂直于同一直线的两直线平行”构造“平行线型”相似三角形来解决问题.

解：连接BE交OC于点H，交AC于点G.

由DC为⊙O切线，AD⊥CD，可证明CO[?]AD，可得∠DAC = ∠ACO，由OA = OC，可证∠ACO = ∠CAO.又可知四边形DEHC为矩形，可得△AEG≌△CHG，所以EG = HG，EG = [13]BG.又可证EG = [12]CD，因此[DCBG] = [2EG3EG] = [23]，又因为△DCF∽△BGF，所以[DFBF=DCBG=23].

例4 如图8，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2 = CE·CA，分别延长AB，DC交于点P，若PB = OB，CD = [22]，求⊙O的半径.

分析：在圆中，构造等腰三角形比较容易，结合角平分线，可以较为方便地得到平行，构造“平行线型”相似三角形.

解：连接OC，设⊙O的半径为r.

由DC2 = CE·CA和∠ACD = ∠DCE，可证得△CAD∽△CDE，得到∠CAD = ∠CDE，易证OC[?]AD，利用平行线分线段成比例定理得到[PCCD=POOA] = 2，则PC = 2CD = [42]，然后证△PCB∽△PAD，利用相似比得到[PCAP=PBPD]，即[423r=r62]，解得r = 4，即⊙O的半径为4.

通过上述几个问题的解决，我们可体会到解决这类问题的两个关键之处：一要熟悉“平行线型”相似三角形的适用背景；二要准确地确定过哪个点且作哪条线的平行线.只有抓住这两个关键，才能有效解决问题.