辅助圆帮你求几何“动点最值”

张鑫

许多同学在解“动点最值”类题目时往往因找不到“从动点”运动的规律而无从下手. 本文仅就“从动点”的“点动为圆”情形做介绍.

一、问题引入

例1 如图1，已知点B（10，5），C（0，5）. 在射线BC上任取一点P（点P不与点B，C重合），作点C关于直线OP的对称点D，连接BD，求BD的最大值.

分析：随着点P位置的改变，CP和BP的长度发生变化，点D的位置也随之改变，并导致BD的长度也发生变化，但OC的长度保持不变. 由点D是点C关于OP的对称点，可知OD = OC也保持不变. 从而可知点D是在以OC长为半径的⊙O上，所求BD的长度是⊙O外定点B到⊙O上动点D的距离.

解：如图2，由题意可知点D在半径为OC的⊙O上，连接OB，可知[BD - OD] ≤ OB，當O，D，B共线时，BD取得最大值，此时BD = OB + OD = [52+102] + 5 = 5[5] + 5.

点评：动点的变化丝毫没有改变“从动点”到某一定点的距离，如此情形即可绘制出“从动点”相应的运行路线“点动为圆”，从而得到解题办法.

二、典例辨析

例2 如图3，△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 7，BC = [15]，点D在边AC上，且CD = 1. 点E是AB边上的动点，连接DE，作BE关于直线DE的对称线段FE. 连接AF. 求AF的最小值.

分析：尽管点E是动点，但对称轴DE上的点D是定点，故轴对称并不影响FD = BD为定值，故点F在半径为BD的⊙D上，而所求AF的长度是⊙D外定点A到⊙D上动点F的距离.

解：由题意可知点F在半径为DB的⊙D上.

如图4，连接DB，易得DB = 4，AF + FD ≥ AD，仅当A，F，D共线时，AF取得最小值，此时AF = AD - FD = AC - CD - BD = 7 - 1 - 4 = 3.

点评：解“动对称轴”问题要找到对称轴上不动的点，进而与“从动点”建立“定点、定长”的圆，并借助圆来实现“等量位移”，进而找到极值对应的特殊位置.

例3 如图5，在△ABC中，∠BAC = 30°，AC = 2，点P从点A出发沿AB方向运动. 连接CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连接A'C，A'P. 当∠A'CA = 90°时，点P停止运动. 在此过程中，点A'到直线AB距离的最大值是多少？

分析：AC的长度是定长，由“点A关于直线CP的对称点为A'，连接A'C”可知A'C也是定长，均是以C为定点，故点A'在半径为AC的⊙C上. 由此，所求即为直线AB切割⊙C所得弓形的弓高（弧上一点到弦的最大距离是弓高，同学们可自行证明）.

解：如图6，由题意可知点A'在半径为AC的⊙C上，

连接AA'，当A'C⊥AB于F时，A'F就是所求的最大值.

此时，∠ACF = 90° - 30° = 60°，且A'C = AC，

∴△A'CA为等边三角形，易得A'F = 1.

点评：本题确定“从动点”的运动路线比较简单，但“点到线的距离”对应的是垂线段的问题. 而对于圆上“从动点”到弦的距离问题对应的是弓高，同学们不太容易想到，要多积累解题经验.

三、能力提升

例4 如图7，△AOB中，∠AOB = 90°，AO = BO = 8，点C是射线OA上的动点，连接BC. 作OD⊥BC于D，延长DC至点E，使得DE = DO. 在点C从点O运动到点A的过程中，点E到OA的最大距离是多少？

分析：大致绘制几个点C处于不同位置的图形，不难发现点E的运动路径是圆弧，但如何验证？如果是圆弧，那么确定圆心是关键点，但圆心在哪里？虽然点C是“自变量”，决定了点D和点E，但OB以及直角∠ODB却是不变量，由此可知点D是在以OB为直径（圆心为OB中点G）的圆上运动，且点E可以看作是点O绕着点D逆时针旋转90°所得，但孤立的一个点不便于研究，故“搭配”一个与点E一同旋转后有定长的定点G，从而得到△ODG绕点D逆时针旋转90°后对应的△EDG'（如图8）. 易得G'是在半径为[2]DG = 4[2]的⊙G上，且EG'⊥BO，EG' = OG = 4. 也就是说点E始终位于点G'的正上方4个单位长度处，则点E也在半径为4[2]的圆上，且圆心在点G的正上方4个单位长度处——AB的中点M（如图9）.

解：基于前面分析，并结合例3，可得EF = 4[2] - 4.

点评：对于“从动点”运行路线是圆形但圆心难以确定的问题，应从题目特征入手找到圆形运动路线的其他相关因素.

综上，解“动点最值”类题目时，可以在尝试作出几个“动点瞬间”的静态图后判断“从动点”的运行路线. 若“从动点”出现了“点动为圆”的情况，则应借助圆的相关性质求解最值.