借图示表征，解“烙饼问题”

安徽亳州市蒙城县逍遥路小学（233500） 潘冰宁 付 芳

图示是指使用图表、图形、图像或其他可视化方式来呈现信息、数据、概念或思想的过程。图示表征可以将问题可视化，促进思考、沟通联系、分析问题。如图1 所示，“烙饼问题”的目的是通过生活中常见的烙饼问题，让学生经历探索多种解决方案的过程，从而选择最优方法，渗透优化思想。

图1 “烙饼问题”情境

在教学中，部分教师容易将“烙饼问题”上成一节“探索规律—发现规律—总结方法”的课，课堂氛围虽一片热闹，但缺乏冷静思考。这导致学生仅仅学会套用方法，虽得其法却不解其意，一旦变换题型就会束手无策。过于热闹的课堂和过于冷静的课堂都不是好的教学状态。因此，教师需要在必要的时机对学生的热闹进行“冷处理”，利用图示表征提高解决问题的效率。

一、利用图示表征理解题意，找准课堂教学起点

如果说智慧的大脑是解决问题的关键，那么理解题意就是解决问题的开端。在生活中，多数学生都会烙饼，但是将烙饼和数学相结合还是第一次，这也是让学生体会数学与生活密切联系的契机。因此，读懂题意在此时显得尤为重要。

【教学片段1】

师：“每次只能烙2张饼”是什么意思？

生1：锅里最多同时放2张饼。

师：请你上来画一画。

（生1画出如图2所示的图形）

图2 “每次只能烙2张饼”示意图

师：“两面都要烙”是什么意思？

生2：一张饼有两个面，如果用正面、反面表示，出现“正”字表示烙正面，出现“反”字表示烙反面（如图3）。

图3 烙饼示意图

师：根据他们说的这些数学信息，你能提出什么问题？

生3：烙3张饼要多长时间？

生4：烙3张饼至少要多长时间？

师：大家的理解能力越来越好了。烙3 张饼可能要1个小时或1天，而加了“至少”，说明你们用数学的眼光去看待问题了。

【教学思考】教材中所给的情境看似贴近生活实际，实则离生活还有一定距离，因为生活中很少有或者说基本没有关注烙饼要多久的问题。教师要帮助学生梳理图中的信息，找到题眼——“每次只能烙2 张”“两面都要烙”。在这一过程中，虽然可以让学生用自己的话说一说，但是利用锅和饼的图示表征会更直观，也更具说服力。教师利用图示慢慢地剥离问题的生活情境，让学生集中思考“烙3 张饼至少要多长时间”。这有助于学生直观地理解问题的本质、结构和关系，从而更好地把握问题的核心。

二、利用图示表征寻找方法，突破学生学习难点

直接进入“烙3 张饼至少要多长时间”对学生而言有些难以接受，因此教师可以从最基础的烙1张饼开始，利用表格表示烙饼过程（正面3 分钟，反面3 分钟，一共6 分钟）。紧接着让学生思考烙2 张饼的方法，这时候可能有学生受思维的局限，出现表1-1 的方法，也有学生经过思考后给出表1-2 的方法。

表1-1 烙2张饼的方法1

【教学片段2】

师：谁看懂了表1-1和表1-2中的烙法？

生1：表1-1 的方法是锅里每次放1 张饼，2 张饼烙完一共12 分钟；表1-2 的方法是锅里每次放2张饼，2张饼烙完一共6分钟。

生2：为什么烙1张饼是6分钟，烙2张饼也是6分钟？

生3：因为2张饼可以同时放在锅里一起烙。

师：也就是说，要想烙饼所用时间最少，就要保证锅里每次都有2张饼。怎样将表1-1的方法进行调整，才能做到用时最少呢？

（学生进行调整，见表2-1、表2-2）

表2-1 方法1调整前

师：调整后的方法（见表2-2）对吗？

生4：不对，因为1 张饼不可能同时烙两个面，只能是先烙完一面再烙另一面。

【教学思考】烙1 张饼很简单，烙2 张饼的时候有的学生就忽略了“每次只能烙2 张饼”的信息，才会产生1 张1 张地烙的想法。此时，教师就需要及时借助图示，让这些学生学会2 张饼同时烙的省时方法。让学生经历修正的过程，也是拉长学生思考的过程。在这个过程中让学生感受只有在“满锅”的状态下才最节省时间，提高学生思维的缜密性。这种思想也影响着接下来烙3 张饼的方法。解决“烙饼问题”时，利用图示表征方法能够有效地帮助学生克服难点，为问题的理解和解决提供了强有力的工具。

学生想到的烙3 张饼的方法有很多，教师可选择以下三种情况（见表3-1、表3-2、表3-3）来给学生讲解。对第一种烙法教师进行肯定，因为在一定程度上达到了节省时间的目的。对第二种烙法，教师需要学生回顾“1 张饼不可能同时烙两个面”这个原则，以强化学生的优化意识。

表3-1 烙3张饼的方法1

【教学片段3】

师（出示表3-3）：像他这么烙，烙几次？

生5：3次。

师：除了这么烙还能怎么烙？

生6：“3反”和“2反”互换位置。

生7：“1正”和“1反”互换位置。

师：结合大家的方法，谁还有什么想说的？

生8：只要保证不出现同时烙1张饼的两个面，其他怎么烙都行。

师：现在请你们利用手中的学具，一边画一边说3张饼怎么烙3次的情况。

【教学思考】教师在教学过程中要善于倾听学生不同的声音。将烙3 张饼的方法按照顺序依次出现，是符合学生的知识发展和心理特点的。而交替式的烙饼方法是学生思考由浅入深的必然过程。相信当学生看到不同的图示时，都会有自己的观察、比较、思考在其中。让每个学生都能有所发展正是数学学习的意义所在。学生在经历烙2 张饼后，一定会对烙3 张饼有不一样的思考，教师应充分相信学生，充分相信合作的力量，给予学生充足的时间和空间去探索、去发现。

烙3 张饼很难突破，只有让学生直面教学难点，才能留下思考的痕迹。在这个环节中，利用图示，学生可以直观看到烙饼的方法，进而发现烙饼问题中的规律、模式及瓶颈，为问题求解提供新的思路和启示。

三、利用图示表征辨别优化，关注数学学习节点

当学生明白2张饼、3张饼的烙法后，心中必然是有所得意，教学也进入白热化阶段。教师可相机提出“烙4 张饼最少要用几分钟”。教师巡视发现，有学生选择2 张2 张地烙（见表4-1），有学生受烙3张饼的影响用交替烙的方法（见表4-2）。教师让学生比较两种方法，大部分学生觉得交替烙的方法劳心费神，且容易出错。

表4-1 烙4张饼的方法1

【教学片段4】

师：烙5张饼怎么烙呢？最少要用几分钟？

生1：先按顺序烙2 张，再用交替法烙3 张，一共烙5次，用时15分钟。

[生1边说边演示烙饼过程（见表5）］

表5 烙5张饼的方法

师：烙6张饼呢？

生2：2 张2 张地烙，一共烙6 次，共用3×6=18（分）。

师：烙7张饼呢？

生3：按顺序2 张2 张地烙，烙4 张后，剩下的3张用交替法烙3次。

师：这么多饼都烙完了，你觉得烙几张饼对我们解决问题最重要？

生4：烙3张，我从中知道了交替烙的方法。

生5：我觉得烙2张饼也很重要。

师：为什么？

生5：如果没有烙2张饼的方法总结，就解决不了烙5张饼的问题。

师：掌声送给会思考的孩子。

（教师继续教学烙6张饼、7张饼以及9张饼）

【教学思考】对比烙4 张饼的2 种方法，让学生打破思维定式进一步感受“优化”。有了这样的体验，学生在思考烙5 张饼时，会将思考的重心放在如何缩短时间上，进而发现烙2 张和烙3 张的重要意义，为后面用最少的时间烙更多的饼打下坚实的基础。在烙饼问题中，图示表征的优势显而易见。通过简洁明了的图示，学生可以直观地观察每次烙饼的结果，无须进行烦琐的计算，进而快速找到最优策略。此外，随着饼的数量的增加，图示的优势更加凸显，因为在复杂的烙饼序列中，图示可以帮助学生更好地跟踪和分析每一步的操作，也更容易发现问题中的关联性，从而更全面地理解烙饼问题的整体架构。

四、利用图示表征拓展思维，助力学生达成学习目的

烙饼问题是有规律可循的，而有的教师仅仅通过简单的讲解便将公式“灌输”给学生。正确的教学方法应该是教师通过层层铺垫，化繁为简，从简单的烙1 张饼开始教学，到烙2 张饼、3 张饼，以及烙更多的饼。当学生意识到烙更多饼的方法可以总结成一个公式时，就是揭示烙饼问题背后规律的最佳时机。

【教学片段5】

师：在烙饼的时候，你有什么新的发现吗？

生1：有几张饼就要烙几次。

师：为什么烙的次数和饼的张数相同呢？

生2：烙饼的时候，每次烙2 个面，2 个面就是1张饼。

生3：因为我们要利用锅的最大空间，如果一个锅一次可以烙2 张饼，那么烙饼次数=饼数×每个饼要烙的面数÷一个锅最多放的饼数。

师：观察表6，烙饼所需的最少时间和什么有关？它们有怎样的关系？

表6 烙饼时间分析表

生4：烙饼所需最少时间=烙1 面饼的用时×烙饼次数。

师：这个公式适用于所有情况吗？

生5：不适合1 张饼的情况，因为1 张饼的两面不能同时烙。

生6：如果一次能烙3 张饼，每个饼烙的面数就不能和每次最多放的饼数相抵消了，所以这个公式只适合一次放2张饼的情况。

【教学思考】通过观察烙饼时间分析表，很多学生都能发现“烙的次数等于饼的张数”这一规律，但并不理解其背后的真正原因。而通过质疑公式的局限性，能让学生理解公式背后的真正含义，从而提升思维的严谨性。烙饼问题这节课通过一系列的观察、操作、归纳、总结、转化，将学生的思维以一个动态发展的过程呈现，让思维得以提升、发展。

综上所述，图示在烙饼问题中起着重要的作用，它通过可视化的方式展示烙饼的初始状态和每次操作后的位置变化，帮助学生直观地观察和分析问题。通过图示，学生也更清楚地理解烙饼的顺序和位置关系，发现规律和性质，从而制定最优的解题策略。在教学中，教师要善于借助图示解决教学中的难点，让学生的思维真正做到动态化。