利用相频曲线求解模型基础动力参数的探讨

陈小峰 胡胜波

（河北中核岩土工程有限责任公司，河北石家庄 050021）

0 引言

在动力机器基础设计中，通常将地基基础振动体系简化为定参数的单自由度振动系统（竖向振动、扭转向振动）或双自由度振动系统（水平回转耦合振动）。基础振动幅值与激振力大小、频率、地基刚度、阻尼比、参振总质量等因素有关；振动位移与激振力的相位差与激振频率、无阻尼固有频率、阻尼比等因素相关[1-2]。文献[3]提供了利用模型基础动力参数测试得到完整幅频响应曲线进而求解动力参数(K、m、ζ)的方法（以下简称“幅频法”），以及利用幅频响应曲线和相频响应曲线，在基础的固有频率较高，不能测出共振峰的情况下，求解地基动力参数的方法（以下简称“相位法”）。

本文对相位法求解模型基础竖向及扭转向动力参数的公式进行了正向推导和数据反算，介绍了激振力与振动位移相位差的测量方法及应用实例，以期为相关测试提供借鉴。

1 相位法求解模型基础动力参数

1.1 相位法求解竖向动力参数

根据单自由度质量-弹簧-阻尼系统的简谐强迫振动理论，常扰力情况下，若激振力为

则运动方程为

式（2）的特解也是简谐函数形式，假定为

式中：X与φ 为待定常量，分别表示响应的幅值与相角。将式（3）代入式（2），则得

运用三角函数运算法则对式（4）进行运算，整理后再令方程两边的系数分别相等，则可得

方程组（5）的解为

将式（6）、式（7）中的分子与分母均除以k并作如下代换：

变扰力情况下，若激振力为

则运动方程为：

式（11）的解可以表示为

按照与常扰力情况相同的解法可得到与式（6）、式（7）相似的结果，区别只在于激振力F是随角频率变化还是恒定不变[2]。

以上各式中：F为激振力，kN；x为位移，m；c为粘性阻尼系数，kN·s/m；k为弹簧刚度，kN/m；m为质量，kg；φ为激振力与振动位移之间的相位角，rad；ω为振动圆频率，rad/s；e为变扰力振源偏心矩，m。

按照文献[3]中物理量与符号的对应关系，取幅频曲线和相频曲线上的两个频率点（见图1），由式（6）、式（7）可知：

图1 未测得共振峰的幅频响应曲线

以上各式中：P1为幅频响应曲线上选取的第一个点对应的扰力，kN；P2为幅频响应曲线上选取的第二个点对应的扰力，kN；d1为幅频响应曲线上选取的第一个点对应的振动线位移，m；d2为幅频响应曲线上选取的第二个点对应的振动线位移，m；KZ为抗压刚度，kN/m ；φ1为幅频响应曲线上选取的第一个点对应的扰力与振动线位移之间的相位角，rad，由测试确定；φ2为幅频响应曲线上选取的第二个点对应的扰力与振动线位移之间的相位角，rad，由测试确定；ω1为幅频响应曲线上选取的第一个点对应的振动圆频率，rad/s；ω2为幅频响应曲线上选取的第二个点对应的振动圆频率，rad/s。

阻尼比是阻尼系数与临界阻尼系数的比值，求出参振总质量mz和 抗压刚度Kz后计算无阻尼固有频率ωn，结合频率比r=计算阻尼比ζz，公式推导如下：

在相频曲线上选取ω1、ω2两个频率点的数据，由式（9）可知

1.2 相位法求解扭转向动力参数

与竖向强迫振动一样，扭转向强迫振动也属于单自由度振动系统，在扭转力矩的作用下模型基础产生扭转角位移。扭转振动的扭矩、角位移、转动惯量、扭转向阻尼系数及阻尼比、抗扭刚度等参数分别与竖向振动的激振力、线位移、质量、竖向阻尼系数及阻尼比、抗压刚度相对应，故同样可以按单自由度质量-弹簧-阻尼系统的简谐振动理论推导动力参数计算公式，其运动方程的一般形式为：

式中：ψ为扭转振动角位移，rad；Jz为基础对通过其重心轴的极转动惯量，t·m2；Cψ为扭转向阻尼系数，kN·m·s；Kψ为 抗扭刚度，kN·m；Mψ为激振设备的扭转力矩，kN·m。

对照式（19）-式（24），得到

基础扭转振动的参振总质量为

式中：mψ为参振总质量，t；l为 基础长度，m;b为基础宽度，m。

扭转向振动测试时，由对称布置在基础顶面沿长度方向中轴线的两端的两个水平向传感器（水平振动方向与中轴线垂直）测量扭转角位移，具体按下式计算：

式中：d1、d2分别为两台水平向传感器测得的水平向振幅，m;l1为两台水平向传感器的间距，m。

激振器的扭转力矩Mψ为两个激振单元的激振扰力m0e0ω2与 两个扰力平行线的间距l2的乘积

在测得扭转向强迫振动幅频响应曲线和相频响应曲线后，便可以选取合适的频率点位，按照式（26）-式（32）计算地基扭转向动力参数。

1.3 数据反算验证

相位法求解地基动力参数的公式是否正确，可以由数据反算验证，即由给定刚度k、质量m、阻尼比ζ、激振力F0及扰频，按公认的经典理论公式计算出振幅X及相位角φ，生成理论的幅频曲线和相频曲线，将理论幅频曲线及相频曲线上的个别代表性数据代入求解地基动力参数的公式中，如果计算得到的动力参数与给定的动力参数吻合，则间接证明公式的正确性。经验公式或近似公式无法由正向推导得到，但可以通过反算验证得出公式正确与否的结论。如果公式能通过正向推导得到，则数据反算验证必然正确；反之，如果数据反算结果与设定值有较大偏差，则正向推导必然无法实现，公式正确与否以及是否适用就值得探讨。

当刚度k、质量m、阻尼比ζ或阻尼系数c为定参数时，竖向强迫振动位移幅值X以及激励力与振动线位移的相位差φ是激振力F0及振动角频率ω的函数，可以通过式（8）、式（9）计算得出，并得到唯一且固定不变的幅频曲线和相频曲线。将由固定的刚度k、质量m、阻尼比ζ按角频率依次计算振幅X以及相位差φ暂称为正向计算。

例：在常扰力10000 N 作用下，设定刚度k=500 MN/m、质量m=7916 kg、阻尼比分别为ζ=0.05、0.1、0.2，则无阻尼固有角频率

对应的无阻尼固有频率根据式（8）、式（9）计算振动位移及相位角，=0.5～0.85之间的振幅和相位角见表1，幅频曲线和相频曲线如图2 所示。

表1 正向计算的振幅与相位差

图2 幅频曲线与相频曲线

表1中选取ζ=0.1，ω1=0.5ωn、ω2=0.75ωn两个频率点的数据代入式（19）-式（24）反算，结果见表2。

表2 数据反算结果

由计算结果可知，刚度、质量和阻尼比的计算值和设定值均一致。改变 ω1、ω2的值进行多个点的反算，可以得到相同的结论。

综上所述，式（19）-式（24）既可通过理论推导得到，又可通过数据反算验证，可以组成一套完整的相位法求竖向强迫振动模型基础动力参数的公式。

2 实例

2.1 激励与响应相位差的测量

严人觉等[4]提出了采用光电式相位差计测定扰力与位移相位差的装置，将遮光圆盘固定在激振器转轴上与之同步旋转，同时使在向下的最大扰力位置时，遮光圆盘的进光缝对准光电池，光电池产生的电压输入示波器，从而记录扰力出现峰值的时刻。

使用回归反射式光电开关及自动化测试仪器，可以更为方便地记录激振力出现幅值的时刻、计算激励与响应的相位差，绘制相频响应曲线。

反射式光电开关自带一个光源和一个光接收装置，电路见图3，光源发出的光经过待测物体的反射被光敏元件接收，再经相关电路的处理得到所需信息。

图3 光电开关电路图

变扰力模型基础动力参数测试使用双轴机械式激振器，激振器由一台三相异步交流电动机驱动一组或两组偏心装置，每一组偏心装置包含两个规格尺寸相同、相互啮合的齿轮，分别固定在主动轴和从动轴上，当主动轴转动时，两个齿轮产生等速、反向的转动。两个齿轮上各自固定有一组质量相同、偏心距相等的偏心块，当齿轮转动时，因偏心质量的存在，会产生周期性的离心力，从而使激振器产生激振作用。

适当确定偏心块的位置，可使设备产生竖向的正弦激振力，而其他方向上的力自行抵消（见图4）。

图4 竖向振动测试偏心块的相对位置

在模型基础顶面安装好机械式激振器后，将反射式光电开关固定在激振器动力部分传动轴附近（见图5），开关光源垂直投射到传动轴上，开关工作模式调整到常关模式，即当未接收到反射光线时，开关处于关闭状态，无电流通过负载，反之，如接收到反射光线，则处于打开状态，负载有电流通过。转动传动轴，当偏心块处于图4 所示位置时，在光电开关光源照射到的传动轴的位置粘贴窄幅反光条，调整光电开关的灵敏度，使其发出的光经反光条反射后可以触发光电开关，而传动轴本身的反射不能触发。将光电开关负载上的一部分电压做为监测信号输入自动化测试仪器，当激振器运转时，粘贴在传动轴上的反光条在激振力最大时出现在光电开关的照射区，反射光线被光电开关接收并使之触发电流导通，电流通过负载产生电压并被自动化仪器接收，从而记录下激振力峰值到达的时刻（见图6）。

图5 相位测量装置

图6 振动信号及激振力峰值信号

在测试程序中，利用数组索引功能寻找光电开关方波信号高电平的中点，将光电开关信号与振动信号同步前移，使代表激振力达到最大值的方波高电平中点作为整体波形的起点，再对振动波形进行单频测量，记录其相位，该值即为激振力峰值与振动信号零点之间的相位差，根据所使用测振传感器（速度传感器-速度与位移相位相差90°；加速度传感器-加速度与位移相差180°）的类型调整该值，即可得到激励（激振器动态力）与响应（模型基础动态位移）之间的相位差。

2.2 测试结果

试验场地位于石家庄市元氏营里村，地基为可塑状粉质黏土，模型基础长、宽、高分别为2 m、1 m、1 m，采用由一套动力系统同时驱动两组偏心装置的分体式三振向机械式激振器、回归反射式光电开关及自动化测试仪器（见图5），进行竖向变扰力强迫振动测试，同时测量振动幅值及激振力与振动位移的相位差，得到幅频响应曲线和相频响应曲线，见图7。

图7 实测幅频曲线及相频曲线

幅频曲线显示，36 Hz 前振幅随频率的增加快速增长，在36 Hz 左右达到阶段性峰值，之后振幅随频率增加缓慢升高，在42 Hz 左右达最大值，之后维持高位缓慢变化，55 Hz 之后才以相对较快的速度下降。

相频曲线显示，激振力与振动位移的相位差随振动频率的增加而增大，90°相位差对应的频率在33 Hz 左右，在60 Hz 时达到160°左右。按照相频曲线的提示，本次所测试的振动系统的无阻尼固有频率在33 Hz 左右，变扰力强迫振动的共振频率应在33 Hz 之后不远的位置。

将幅频曲线上每一频点的振动位移除以相应的激振力后统一乘33 Hz 对应的激振力，得到相当于常扰力（扰力为33 Hz 对应的激振力）状态下的幅频曲线，见图8。常扰力幅频曲线的峰值频率在31 Hz，之后振幅随频率快速下降。

图8 幅频曲线

综合以上信息，本次变扰力强迫振动共振频率取36.5 Hz，按照文献[3]提供的在能测到峰值情况下，利用幅频响应曲线上的数据计算动力参数的方法（幅频法），取幅频曲线上36.5 Hz（峰值频率）、31.48 Hz、26.61 Hz、20.12 Hz 四个频点的数据计算动力参数，结果见表3。按照式（19）-式（24），利用峰值频率前的幅频曲线和相频曲线，取17.33 Hz（ω1=108.89 rad/s）、27.01 Hz（ω2=169.72 rad/s）两个频点的数据计算动力参数（相位法），结果见表4。

表4 动力参数计算表（相位法）

对比表3 及表4 可知，幅频法和相位法得到的两套动力参数数值非常接近，相对偏差小于7.6%（见表5）。将两套动力参数分别按式（8）、式（9）计算振幅和相位，得到两组动力参数对应的理论幅频曲线和相频曲线，与实测曲线放在一个坐标系下显示（见图9），两套理论幅频曲线和相频曲线在共振频率36.5 Hz之前均非常贴近实测幅频曲线和相频曲线，表明根据实测数据由幅频法和相位法计算得到的两组动力参数均能较好地代表所测地基与模型基础振动系统的动力特性。

表5 动力参数成果表

图9 理论曲线与实测曲线

2.3 利用相频曲线的重要意义

（1）拓宽了机械式振源的适用范围

机械式激振器的扰频上限通常为60 Hz，适用于土质地基的动力参数测试。采用调速装置，调整传动齿比，可以将扰频上限提高到95 Hz 左右，如果只利用幅频响应曲线求动力参数，则只能用于共振频率低于95 Hz 的模型基础测试，适用于土质地基和部分桩基。竖向强迫振动测试时，综合利用幅频响应曲线和相频响应曲线，采用相位法求竖向动力参数，可以只利用 0.5～0.85ωm的数据，而无需测试 0.85ωm之后的数据，相当于将机械式激振器的适用范围拓宽到共振频率110 Hz 的动力参数测试，基本覆盖了桩基模型基础动力参数测试的频率范围。水平向强迫振动测试时，水平回转向第一振型共振频率通常大幅度低于竖向振动共振频率；扭转向振动由于同属于单自由度振动体系，也可采用与竖向振动相同的相位法处理数据，不必一定测得共振峰。因此，除去需要更高激振频率的岩石地基动力参数测试外，其他类型的模型基础动力参数测试均可由机械式激振器完成。

（2）能够辅助判断共振频率

动力参数测试时，因各种复杂原因，实测的幅频响应曲线在达到共振频率前，常出现“小鼓包”或振幅测试值的波动，给直接由幅频曲线判断共振频率带来复杂性，甚至出现误判，将“小鼓包”当做共振峰来处理，使得计算结果出现较大偏差。

据式（9）及图2，当频率比r==1，即扰频等于振动系统无阻尼固有频率时，对应激励与响应的相位差φ=90°、=1之前，相位差φ ＜90°、=1之后，φ ＞90°、在=1附近（约 0.75～1.25ωn），相位差 φ变化幅度相对剧烈，其他频段则相频曲线平缓，相位差φ变化幅度较小。根据相频曲线的这些特征可知，在相位差φ=90°对应频率附近的峰才是共振峰（由理论可知，变扰力测试峰值频率略大于相位差φ=90°对应频率，常扰力测试峰值频率略小于相位差φ=90°对应频率），否则，无论出现“小鼓包”还是其他类型的振幅波动，均不是共振的表现。故综合使用幅频曲线和相频曲线，能更准确地判断共振频率，动力参数计算结果更准确、可靠。因此，即使激振器的扰频能覆盖共振频率，在测量振动幅值、得到幅频响应曲线的同时监测激励与响应的相位差、得到相频响应曲线也具有重要意义。

3 结论

（1）利用共振频率前的幅频响应曲线和相频响应曲线，可以按照式（19）-式（24）及式（25）-式（32）求解地基竖向及扭转向动力参数。以求解所得动力参数反算其理论幅频曲线和相频曲线，若理论曲线贴近实测曲线，则表明求解所得动力参数能够代表所测地基与模型基础振动系统的动力特性；反之，若理论曲线偏离实测曲线，则要检查动力参数计算方法的正确性及数据取值的代表性。

（2）变扰力模型基础动力参数测试中，利用回归反射式光电开关及自动化测试仪器，可方便地测量激振力与振动位移的相位差；测试过程同步显示幅频响应曲线和相频响应曲线，第一时间掌控测试进程。

（3）模型基础动力参数测试中，在测量振动幅值、得到幅频响应曲线的同时监测激励与响应的相位差、得到相频响应曲线，可拓宽机械式振源的适用范围，辅助判断共振频率，提高地基动力参数成果的可靠性。