Heisenberg群上带漂移项的次椭圆方程组的Caccioppoli型不等式*

陈蓓蓓,席 婷,牛蒙慧

(赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000)

0 引言和主要结果

带漂移项算子具有重要的实际应用,这类算子通常出现在物理学、自然科学和统计模型等传输扩散方程中(见文献[1-3]).本文研究Heisenberg群上带漂移项的齐次次椭圆方程组,形如

(1)

其中Ω⊂Hn=2n+1为有界区域,N×2n×N→2n×N.

在弱解的正则性研究中,人们往往利用Caccioppoli不等式来推出所需要的迭代公式.因此,Caccioppoli不等式在方程组弱解的部分正则性的证明中具有举足轻重的地位(见文献[4-10]).所谓Caccioppoli不等式,即局部的“能量模估计”,又称逆Poincare不等式.在次二次增长情形下,将出现负增长指标的情况,这给Caccioppoli型不等式的建立带来新的困难,为此,本文将引入辅助函数V,建立带V函数的Caccioppoli型不等式.本文结果对进一步研究弱解的正则性提供理论工具.

其中K(·)∶[0,∞)→[0,∞)是单调递增的.不失一般性,取K(·)≥1.

由(H1)知:存在一个连续的非负有界函数ω(s,t)∶[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)使得

其中ω(s,0)=0,并且对于固定的t,ω(s,t)对s是单调递增的;对于固定的s,ω(s,t)对t是凹的且单调递增.

本文的主要结果如下:

定理1在结构条件(H1)-(H3)的假设下,设u∈HW1,2(Ω,N)是方程组(1)的弱解,即

其中K(·)=K(|u0|+|Xl|),ξ1=(x1,…,xn,y1,…,yn)是ξ=(x1,…,xn,y1,…,yn,t)∈Hn的水平分量,γ∈(0,1),σ=max{2m/(m-2γ),m/(m-1-γ)}>2.

1 Heisenberg群基础知识

Heisenberg群Hn=2n+1定义群乘法为:

其中

定义1设1≤m<∞,Ω⊂Hn是一个开集,称集合

HW1,m(Ω)={u∈Lm(Ω)|Xiu∈Lm(Ω),i=1,2,…,2n}.

定义2设Ω⊂Hn,1≤m<∞,μ≥0,记

在本文中,定义函数V=Vm∶n→n,V(ζ)=ζ/(1+|ζ|2)(2-m)/4.对于每个ζ∈n,n∈和m>1.函数V是n上的局部双利普希茨双射.

下面的引理包含了函数V的一些有用的性质.

引理2设m∈(1,2)和V∶n→n是上述定义的函数,那么对于任意的ζ1,ζ2∈n和t>0:

为后面计算方便,这里给出以下两个简单的估计,它们可从引理2中推导出来.设ζ1,ζ2∈n和|ζ2|≤M:

|ζ1-ζ2|2≤C(m,M)|V(ζ1)-V(ζ2)|2, |ζ1-ζ2|≤1,

|ζ1-ζ2|m≤C(m,M)|V(ζ1)-V(ζ2)|2, |ζ1-ζ2|>1.

2 Caccioppoli型不等式

本文重点建立方程组(1)满足的Caccioppoli型不等式,它是建立次椭圆方程组弱解正则性的基础.下面给出定理1的证明.

(2)

利用假设条件(H2),引理1和初等不等式

1+|a|2+|b-a|2≤3(1+|a|2+|b|2),

(3)

有

λ∮Bρ(ξ0)(1+|Xl|2+|Xφ-Xl|2)(m-2)/2|Xφ|2dξ≥

3(m-2)/2λ∮Bρ(ξ0)(1+|Xl|2+|Xφ|2)(m-2)/2|Xφ|2dξ.

即

(4)

在Bρ/2(ξ0)上取φ=v并应用估计式(3),则(4)的左侧可估计为

下面分别估计(4)中右端四项.

注意到Tl=XiXn+il-Xn+iXil=0,则有

利用结构条件(H3)可以得到

为了获得对I2的合适估计,将球Bρ(ξ0)分成四部分:

Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|>1}∩{|Xφ|≤1},Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|>1}∩{|Xφ|>1},

Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|≤1}∩{|Xφ|>1},Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|≤1}∩{|Xφ|≤1}.

下面将反复使用Young不等式.

第一种情况:在Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|>1}∩{|Xφ|≤1}上可以得到

其中用到了ργ<1和2m/(m-2γ)>2.

第二种情况:在Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|>1}∩{|Xφ|>1}上可以得到

其中用到了ργ<1和m/(m-γ-1)>2.

第三种情况:在Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|≤1}∩{|Xφ|>1}上可以得到

第四种情况:在Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|≤1}∩{|Xφ|≤1}上可以得到

因此,I2可估计为

这里σ=max{2m/(m-2γ),m/(m-1-γ)}>2.

利用结构条件(H3)可以得到

∮Bρ(ξ0)K(·)(1+|Xl|)m/2+γ|ρ|γ|Xφ|dξ.

为此,这里将球Bρ(ξ0)分成两种情况讨论.

第一种情况:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|>1}上可以得到

第二种情况:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|≤1}上可以得到

因此,I3可估计为

利用(H1),引理1和(3),可以得到

注意到-1/2<(m-2)/2<0.类似I2的做法,将球Bρ(ξ0)分成四部分分别估计.

第一种情况:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|>1}∩{|Xφ|>1}上可以得到

第二种情况:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|>1}∩{|Xφ|≤1}上可以得到

第三种情况:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|≤1}∩{|Xφ|>1}上可以得到

第四种情况:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|≤1}∩{|Xφ|≤1}上可以得到