把握特征 正确列举

丁建生

概率是描述不确定现象的一种基本数学模型，“等可能条件下的概率” 研究的是一类特殊的随机事件的概率。我们要想学好本章，关键在于正确理解概念，准确求出概率。

一、把握特征，理解概念

教材在“摸球试验”“抛掷硬币试验”的基础上给出了等可能性的概念。在此概念中，事件的随机性、排斥性（有且只有其中的一个结果）是前提，而可能出现的结果有n个、结果出现的机会均等，即有限性、均衡性是两个基本特征。依据这样的特征，我们就可以判断一些事件的结果是不是等可能的。如在问题“一个质地均匀的正十二面体，12个面上分别有1—12这12个整数，抛掷这个正十二面体一次”中，朝上一面的数是1—12这12个整数中的任何1个数，这些结果的出现是等可能的；“出现朝上一面的数是奇数（1、3、5、7、9、11）”与“朝上一面的数是偶数（2、4、6、8、10、12）”这两个事件的发生是等可能的；而“出现朝上一面的数是4的倍数（4、8、12）”与“出现朝上一面的数是6的倍数（6、12）”这两个事件是不等可能的。

在八（下）“认识概率”一章中，我们通过大量重复试验，得到某个随机事件发生的频率，用频率的稳定值估计其发生的概率。如在“抛掷图钉试验”中，当试验次数很大时，“钉尖不着地”的频率在0.61附近摆动，由此就估计“钉尖不着地”的概率为0.61。这一章我们研究的是等可能条件下的概率，其定义中有两个显著特征，就是试验结果的有限性和等可能性。故我们要求一个事件发生的概率时，首先要判断它是否满足“有限性、等可能性”。教材4.3“等可能条件下的概率（二）”中，将转盘等分、涂色，使无限个指针位置转化成有限个，且每种结果都是等可能的，这样就可求概率了。

二、正确列举，求解概率

要求等可能条件下某个事件发生的概率大小，首先要把所有可能出现的结果一一列举出来，列举时要做到不重复、不遗漏。教材中介绍了两种列举方法：画树状图、列表格。当试验结果分为两步，并且所有等可能出现的结果数较少时，运用这两种方法都快速有效；当试验结果分为两步，但所有等可能出现的结果数较大时，运用“表格”就更清晰、简捷；当试验结果分为三步或更多时，一般用“树状图”更简便。

例1 在一个随机试验中，有2个小球依次沿轨道滑落，分别随机掉入轨道下方的甲、乙、丙这3个盒子中的某一个。求：（1）第一个小球掉入甲盒的概率；（2）甲盒至少接到1个小球的概率。

【解析】第（1）问的概率为[13]；第（2）问是两步试验，我们通过画树状图或列表（略），可以知道共有9种等可能的结果，其中符合题意的结果有5种，所以甲盒至少接到1个小球的概率为[59]。

概率的问题中，有的有“放回”“不放回”“至少”等表述，有的没有，这就需要我们做好识别与判断，将其“显化”，否则容易出现差错。

例2 现有甲、乙、丙三人组成的篮球训练小组，他们三人之间进行互相传球练习，篮球从一个人手中随机传到另一个人记作传球一次，共连续传球三次。若开始时篮球在甲手中，求经过连续三次传球后，篮球传回甲手中的概率。

【解析】此题本質上是“不放回”且有“三次”的问题，故应用画树状图的方法（略），可知共有8种等可能的结果，其中符合题意的结果有2种，因此所求概率为[14]。

数学概念都有其独有的内涵和特征。我们要体会每句话的含义，并学会提炼概括。只有这样，我们才能正确理解和灵活运用。在用公式求概率时，我们首先要分析问题的本质，运用分类思想列举出所有等可能的结果，有时还需将表面上的“不等可能事件”转化为“等可能事件”，唯此，才能逐步形成严谨、深刻等思维品质。

（作者单位：南京师范大学第二附属初级中学）