从平抛运动到第一宇宙速度*

蒋悠然 王 佳 蒋 敏

(西南大学附属中学校 重庆 400700)

人类自古以来对太空无限神往,有关太空的艺术创作更是层出不穷,近年来,宇宙航行类科幻电影更是引发全民热议.

人类要探索太空,需要发射航天器.发射航天器的最小速度为第一宇宙速度,高中物理教材上对第一宇宙速度的大小是这样推导的:

设地球的质量为M,航天器的质量为m,航天器在贴近地球表面的圆轨道上运行,地球对航天器的万有引力提供向心力,有

得

半径r近似等于地球半径R,所以

取G=6.67×10-11N·m2/kg2,M=6×1024kg,R=6.4×106m,计算得v≈7.9 km/s.

在教材中,引入第一宇宙速度时还有这样一段话:如图1所示,在1687 年出版的《自然哲学的数学原理》中,牛顿设想,把物体从高山上水平抛出,速度一次比一次大,落地点也就一次比一次远;抛出速度足够大时,物体就不会落回地面,成为人造地球卫星[1].显然,牛顿是从抛体运动出发想到卫星发射的.我们已经学习了抛体运动的规律,可否用抛体运动的规律推导第一宇宙速度?

图1 物体从高山上水平抛出

先将教材中的插图模型化,如图2所示,在高为h的山顶以水平速度v0掷出石子,忽略空气阻力,若分析非常短的一小段时间,重力的大小、方向几乎不变,石子的运动可视为平抛运动.经过非常短的一小段时间t,石子由P点运动到Q点,石子的水平位移为x,竖直位移为y.

图2 物体平抛运动分析

由平抛运动规律,有

x=v0t

由于山的高度远小于地球半径,所以上式的g就是地面的重力加速度.要石子离地面的高度不变,此时Q点到地面的距离应该为山的高度h.

由勾股定理有

(R+h)2=x2+(R+h-y)2

代入x、y的表达式,有

解得

由于t趋近于零,有

取g=9.8 m/s2,R=6.4×106m,计算得v0≈7.9 km/s.可见,用平抛的思路推导出来的第一宇宙速度大小与教材上是一样的.

通过以上思考分析过程,有很多收获:第一,学习要多看教材,往往教材上的一段话就是一个引子,可以帮我们打开一个新的思路.第二,物理真是很奇妙,运用平抛运动规律加上一点简单的数学知识就可以推导出第一宇宙速度.