数学模型在现代农业中的应用研究

黄 冉

(成都农业科技职业学院 四川,成都 610000)

1 数学模型相关介绍

数学模型是建立在实际问题的基础上,通过抽象和简化处理的一种模型结构,构成数学模型的元素有数学符号、函数、流程、公式和图形等。国内外相关研究对数学模型技术在农业生产中的应用结构和应用策略,以及数学模型技术在农业分析中的应用进行了探讨。运用数学模型,同时借鉴农业原理及技术手段,讨论了数学建模在现代农业生产中研究的重要意义。

我国的农业生产发展已从传统农业过渡转型为现代农业。粮食安全、气候预测、作物生长、土壤治理、病虫害防治、农产品销售等都是现代农业发展中亟待解决的问题,数学模型的应用恰好解决了这些问题。将数学建模方法和编程技术用于农业中的气候、土壤、施肥、植物等主要因素的分析,研究农业问题的定量规律的过程中形成了农业模型的概念。农业模型是农业科研与业务、以及生产决策的有力工具。农业数学模型包括生产优化模型、土壤水肥模型、气象模型、病虫害预测模型、作物生长模型等不同方面,模型具有不可替代的“解释、预测和控制”重要功能,它有助于人们认识和理解事物的发展规律与量化关系,进行判断预测,促进农业的可持续发展。

2 现代农业生产中常用的数学模型研究分析

2.1 线性规划模型

在农业生产中,由于资源的有限性,如何合理配置有限资源,实现农业高产高效是一个重要问题。很多农业生产的问题,如生产结构的调整、饲料配方、作物的布局等,都能利用线性规划的方法解决,解决农业生产问题的关键是建立线性规划的数学模型,运用数学方法求解出问题的最优解。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后,线性规划的适用领域更为广泛了,已成为现代农业管理中经常采用的基本方法之一。

线性规划是进行农业生产结构优化的一种常见的定量分析方法,通过组合生产函数和一些条件因素,用数学方法建立约束条件,并建立生产成本或销售利润的目标函数,使得农业生产结构的优化问题转化为求目标函数在一定约束条件下的极值的数学方法。

任一农业生产线性规划模型都由目标函数和约束条件组成,目标函数及约束条件均为线性函数,故被称为线性规划问题。线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小的问题,可表示为

(1)

(2)

上式中,Xj是生产活动的数量,也叫线性规划问题的决策变量,bi是限制生产要素的数量,aij是生产要素的投入产出系数或单位消耗系数,即生产每单位的Xj要消耗多少bi,Cj是目标函数系数。

公式(1)和公式(2)是农业生产线性问题的标准型,公式(1)中,Z是目标函数,它表示所得利润或者生产成本,线性规划的目标函数可以是最大值,也可以是最小值,要解决的目标问题是使得利润函数取最大值(max),或者生产成本函数取得最小值(min),目标函数由对应的目标函数的系数Cj与生产活动的数量的Xj乘积总和。(2)式为决策变量所受的约束条件,也是问题的约束条件。约束条件为不等式,约束条件的不等号可以是小于号,也可以是大于号,对不等号“≤(≥)”的约束条件,则在“≤(≥)”的左端加上(或减去)一个非负变量(称为松弛变量)使其变为等式。

满足约束条件公式(2)的解x=[x1,x2,…,xn]称为线性规划问题的可行解,使目标函数式(1)达到最大值或最小值的解叫最优解。所有可行解构成的集合称为问题的可行域。

在解决实际问题时,把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步,往往也是很困难的一步,模型建立得是否恰当,直接影响到求解。而选适当的决策变量Xj,是建立有效模型的关键之一。

2.2 线性回归分析模型

线性回归分析法是一种常见的统计分析方法,在农业方面有广泛的应用。线性回归分析法是通过对农业生产中的一些环境因素和这些环境因素与产量间的关系来分析实际农业生产趋势,对生产的这些要素进行优化,进而发挥行之有效的作用,达到预测未来的发展趋势和农作物产量的目的,进而指导农业生产,保持农业发展的稳定性和长期性。

我国水稻种植历史悠久源长,是水稻种植大国,有籼稻和粳稻两种类型。由于气候和环境的持续影响,许多农作物面临了病害问题,主要有纹枯病和稻瘟病等病害。随着数学模型在农业生产发展中的广泛应用,专业人士针对水稻种植的病害的问题,构建了水稻主要病害预测的多元线性回归模型和农药施肥效果分析的多元线性回归模型。这对于做好病害的预测和防治工作有重要意义,不仅能有效地提高水稻产量和质量,实现种植的高产高效;同时农药的合理使用也能保障粮食生产的安全。

2.2.1 作物施肥效果分析模型

利用线性回归分析的方法可以研究农药的施肥量和农作物产量之间的关系,由某地某种农作物的生长情况,分析所施肥的肥料因素对作物生长的作用,有利于农作物增产,以此预测收益收成。

若某个地区的某种作物生长需要氮、磷、钾等几种营养素,当其中一种营养素的施肥量发生变化,而其他几种营养素的施肥量保持在某个水平不变时,要分析施肥量与作物产量之间的关系,最后对分析结果需如何改进作出评估。

研究随机变量之间的关系可以采用回归分析方法。作物生长过程中,仅研究单一变化的施肥量与作物产量的关系,可以采用一元线性回归模型进行分析。一元线性回归模型的一般形式为η(x)=β0+β1x,并设观察值为y:

y=β0+β1x+ε

(3)

上式中,β0,β1是未知的待定常数,称为回归系数。x是回归变量,ε是随机因素对响应变量y所产生的影响,即随机误差,它们都是随机变量。总是假设数学期望E(ε)=0,方差D(ε)=σ2,也就是ε～N(0,σ2),随机变量ε服从正态分布,随机变量y服从正态分布N(β0+β1x,σ2),求解出方程的解,确定施肥量与作物产量的关系,再用最小二乘法对分析结果的改进作出评估。

2.2.2 水稻病害预测模型

针对水稻生长过程中常见的纹枯病和稻瘟病,可建立多元线性回归模型[4]进行预测。模型与四个因子有关,分别是病害始见期早晚(RD),病害等级(RQ),病害发展期的温度指数(RT1),以及病害发展期降水指数(RRI)。每个因子都有以下相关的经验式计算,通过数据的标准化处理后,再建立预测模型。

病害始见期早晚(RD):病害始见期发生越早,对水稻产生的危害越大,故RD由下式计算:

RD=25-2.5×DNI12

(4)

上式中,是某年某种病害初见期的距平值(d),当若DNI12>8(d),则令RD=5(d)。

病害等级由下式计算:

RQ=15+7.2×TRQ

(5)

上式中,TRQ在稻瘟病中是病害分布等级(D)和病斑等级(E)的和,在纹枯病中,TRD是雨量等级(W)和病穴加速率的等级(R)的和。稻瘟病的病斑等级(E)有四种,分别是褐点型、慢性型、白点型、急性型。稻瘟病害分布等级通过每亩稻田的发病中心数(S)定义:S<5时,D=1;5≤S<10时,D=2;S≥10时,D=3。若用户缺少病害资料,取D=2。纹枯病病穴增加速率等级(R)是:一旬内R的增加量(U)小于5%时,R=1;增量U[5%10%]时,R=2;增量大于10%时,R=3。雨量等级(W):由预测前20d的雨量和常年同期雨量比较来下定义,如果比常年少了超过25%,则定义W=1;如果比常年多了超过25%,则W=3;如果前者与后者的比值在两个范围之间,则W=2。

病害发展期的温度指数(RT1):温度指数(RT1)是病害发展期的平均气温(RT)的函数,用以下公式计算:

(6)

病害发展期的降水指数(RR1):(RR1)由下式计算:

RR1=34×RR/NR

(7)

式中,RR是当年的病害发展期降水量,NR为常年的病害发展期降水量。

最后,预测水稻病害发生的等级。将RD、RQ、RT1、RR1四个因子的各年数据资料代入水稻主要病害预测的多元线性回归模型,用最小二乘法求出模型回归系数。将某地水稻生长的前期气候数据与病害数据代入建立的数学模型中,计算出回归模型的函数值,用函数值除以10,就可求出病害发生的等级预测值。

2.3 群体光合生产模型

植物的群体光合量采用Monsi积分公式和Beer公式计算:

上式中,PHDi为第i天的群体光合量,NF是氮肥订正因子,TF为温度订正因子,α为群体反射率,Qi为第i天太阳辐射的强度,0.47为太阳辐射转化成光合有效辐射系数,LAIi为叶面积指数,Di为日长时间,A、B为光合作用的参数,随着植物品种和生育期而变化,E是群体消光系数,Qi由式子Qi=TQi/Di计算,此处,TQi是第i天太阳的辐射总量。

计算群体光合速率是由同化室内CO2的浓度下降值来求CO2浓度变化速率R,再将此速率与同化室的体积相乘,最后与同化室的覆盖面积相除,就能求得植物的群体光合速率。由以下公式计算[5]:

(9)

上式中,A是同化室所覆盖土地面积(m2) ,V是同化室的容积(L),P是大气压,t是同化室内气温(C)。现在群体光合速率的单位常用umol·CO2·m-2·s-1表示。

2.4土壤供氮(N)量模型

土壤氮(N)素的供应能力是土壤对作物提供氮(N)的数量,相同土壤对不同的作物供氮量与这一作物的生长期长短有关,也与生长过程中的降雨、气温、灌溉等因素有关。土壤对当季作物的供氮量是用于估算氮肥适宜施用量的主要参数,可采用以下模型对土壤供氮量的预测进行研究分析。作业区第j个区的土壤供氮量(NSj)由下式计算:

(10)

其中,TNSj是第j个区的土壤全N的测定值,Q10是土壤的有机N矿化温度系数,Q10=1.5;A是作业区面积,T是全生育期气温的平均值,0.08是土壤N矿化所占全N的比例,2.25×106是单位公顷面积的土层干重,EN是土壤N供的效率,它与土壤的酸碱度值pH和有机质含量OMS有关。

EN=0.5-0.2FOMS-0.1FpH

(11)

上式中,FOMS和FpH分别是OMS与PH对土壤供氮量(NSj)的影响函数,可表示为:

(12)

(13)

3 农业模型的应用

农业模型不仅能用于有效解决农业发展中的难题,还可以应用于教学、研究、管理及评估等方面。成功的农业模型具备好的预测性与机理性,同时对于多个生态地区和不同层次用户有较强的通用性与灵活性,这对于提高农业产量与经营销售的效率、促进农业的高质高效发展具有重大意义。