多角度思考关注数学本质以提升核心素养——以2023年新高考Ⅱ卷立体几何为例

吴瑞瑞

(安徽省淮北市第一中学,安徽 淮北 235000)

2023年高考试题突出强调对基础知识、基本概念的深入理解和灵活掌握,注重考查学科知识的综合应用能力,落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求,助力“双减”政策落地.同时,合理控制试题难度,科学引导中学教学,力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接.立体几何是培养学生逻辑推理、数学运算、直观想象学科核心素养的一个很好的载体,本文以2023年新高考Ⅱ卷的立体几何试题为例,从不同角度对解法进行分析,以期为老师的教学,学生的学习提供可借鉴的方法和思路.

1 试题再现

题目(2023年新高考Ⅱ卷第20题)如图1,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E是BC的中点.

图1 2023年新高考Ⅱ卷第20题

证明:(1)BC⊥DA;

2 试题解析

分析第(1)问要证明的是异面直线垂直,常用到的方法是证明线面垂直以达到证明线线垂直的目的,或把异面直线问题转化为共面直线问题,体现降维思想.再利用三角形的有关知识解决,或者利用基底法证明向量数量积为0,也可以选择特殊的基底,比如常用到的坐标法也就是选择单位正交基底来进行解决.

第(2)问求二面角的正弦值,可以采用传统几何法找到二面角,然后解三角形;也可以采用向量法,利用选择的基底表示面的法向量;也可采用坐标法(特殊的基底),找面的法向量或者是找到垂直于交线的两个向量,进而求出二面角的正弦值[1].

2.1 第(1)问解析

解法1如图2,连接DE,AE,因为DB=DC,所以DE⊥BC.又由DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°知,△ADC≌△ADB或△ADC,△ADB为等边三角形.因此AB=AC.故AE⊥BC.又AE∩DE=E,所以BC⊥面ADE.又DA⊂面ADE,所以BC⊥DA.

图2 第(1)问解法1示意图 图3 第(1)问解法2示意图

解法2如图3,取DA的中点记为K,连接BK,CK,由题知△ADC,△ADB为等边三角形.故DA⊥BK,DA⊥CK.又BK∩CK=K,所以DA⊥面BCK.

又BC⊂面BCK,从而BC⊥DA.

解法3如图4,分别取AC,DC,DB的中点M,N,J,连接MN,MJ,NJ,则要证明BC⊥DA,只需要证明MN⊥NJ.

图4 第(1)问解法3示意图

又AE⊥BC,所以AE⊥面BCD.

所以BC⊥DA.

图5 第(1)问解法5示意图 图6 第(1)问解法6示意图

2.2 第(2)问解析

图7 第(2)问解法1示意图

不少老师发声说,新教材更加重视空间向量,而且对于线面角、面面角的问题,学生几乎全部选择建系处理,那么传统几何法和向量法更应侧重哪一个?章建跃主编曾给予回复说,无论是向量法还是几何法,我们都要用几何眼光去观察图形,然后才是用向量法解决,对象还是几何对象,需要了解几何对象结构的基本关系,如果不了解几何对象,是无法运用向量法的,如果不熟悉空间结构就无法建系.也就是说对于立体几何问题的解决,先是直观想象和逻辑推理能力的考查,再选用向量这个有利工具去程序化地解决问题.