逆向思维在初中数学解题中的应用

姜倩梅

(江苏省南通市海门区首开东洲初级中学,江苏 南通 226100)

基于逆向思维的数学解题方式,需要学生能够学会从问题的结果出发,通过尝试置换问题的条件和结果进行思考,通过逻辑推理和反向证明的形式解答复杂的数学问题.对此,学科教师应适时引入逆向思维的数学概念,并进行相关类型问题的实践分析,在激发学生数学学习兴趣的基础上,培养学生的数学解题思维,提升学生的数学核心素养,为学生的发展奠定坚实的能力基础.

1 置换推演,分析解题思路

在数学知识体系中,数学概念的延伸与推演往往是双向的,部分数学推理性问题的设计也同样如此.学科教师可以进行侧面引导,学生在传统的正向思考受阻的情况下,鼓励学生尝试将条件与结果的推演顺序置换,深入理解不同类型数学问题的概念本质,促进学生形成双向思考的解题思维习惯.

在初中数学学习中,经常出现平面直角坐标系与图形几何相结合的数学问题,如果按照正向顺序求解,其过程可能极为复杂,教师应及时引入反向推理的逆向思维方法,分析这类问题的解题思路.

例1在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(3, 4),点B的坐标为(9, 10),当△ABC为等腰三角形时,求点C的坐标满足的条件.

在传统正向思维的影响下,学生可能会尝试计算等腰三角形的两边边长和角度,然后求点C的坐标满足的条件.但是当学生进行计算时,会发现其计算量极其庞大,求解过程非常复杂.为根据等腰三角形的性质列方程求解,需确定等腰三角形的底边和腰,这更是让该数学问题的求解趋于轨迹范畴,情况更趋向多元化.所以数学教师应及时引入逆向思维模型,将数学问题的条件与结果进行置换,辅助学生推演分析解题思路:首先观察到△ABC是等腰三角形,所以应利用等腰三角形的性质解决问题,而本题中对△ABC的等腰三角形属性的界定较为模糊,不能够确定底边和腰具体是哪条边,所以需要基于底边,进行分类讨论和逆向推理,通过将C的坐标(x,y)与等腰三角形条件进行置换,进行逆向推理.在解决本题的过程中,学生需要根据等腰三角形性质,分为三种情况求解.

第三种情况:当AB为底边时,即作为一种特殊情况,学生不能得知AC和BC中其中任意一条的具体长度,那么学生则需要善用两点之间的距离公式,构建当AC=BC时的方程,即(x-3)2+(y-4)2=(x-9)2+(y-10)2,进一步展开整理得x+y=13,从而可知点C在横纵截距都为13的直线上.

由此可以看出,通过逆向思维解题思路的引入与分析,将条件与结果进行置换,能使学生准确把握不同情况下的解题思路.因此,逆向思维能够使学生的数学解题思路清晰完整,培养学生双向思考的数学解题思维习惯,有助于学生更好地理解和把握数学概念与性质,全面提升学生的数学推理能力和问题解决能力.

2 思维转换,优化解题效率

在初中数学解题过程中,思维模式的转化是提高解题效率的关键.逆向思维的实践应用可以帮助学生转换解题方向,提高解题效率.对此,数学教师应引入逆向思维,减少解题过程中的繁琐计算,优化解题步骤,实现解题效率的显著提升.

在初中数学问题解答中,大多数问题都涉及数学公式,常常需要通过代入数值进行计算求解.这种顺向思维的方式可能会导致计算量较大,耗费时间较多,而通过逆向思维,转化解题的思维方式,从而减少计算量,提高解题效率[1].

例2某家服装店以每件30元的价格购进一批T恤,如果以每件40元的价格售出,那么在一个月内,能够售出300件,但是根据过去积累的销售经验,当出售价格每提升1元,当月T恤的销售量则会减少10件,设T恤的出售价格涨价x元,现服装店要求该种T恤当月的利润总额达到3 360元,并尽可能减少库存,则x的值应为多少?售价为多少时,利润最大?

由此可见,逆向思维能够显著提高解题效率.通过转换思维模式,减少繁琐计算,优化解题过程,帮助学生更好地理解问题,找到更简便、更直接的问题解决方法,以促进解题速度和正确率同步提升.

3 逻辑构建,探明解题本质

逆向思维是解决问题的重要思维方式,而逻辑分析作为逆向思维的主轴,是探明数学问题本质的基本方法.对此,数学教师需通过培养学生的逆向思维,帮助学生探明数学问题的本质,培养学生的逻辑思维能力和分析问题能力,提高学生的解题能力和创造力,促使学生深入思考问题,掌握数学问题的解题策略.在进行抽象概念的证明时,可运用逆向思维分析问题.

通过反证法,学生可以更为清晰地把握证明的思维逻辑,帮助学生理解抽象概念的证明过程,并培养学生的逆向思维逻辑和探究问题本质的能力.

可见,通过逆向思维和逻辑分析,数学教师可以帮助学生理解复杂的数学概念,解决更为抽象的问题,并掌握解题的关键思路.这种方法不仅能提高学生的解题能力,还能培养学生的创造力和深入思考问题的能力,使学生的数学思维更加灵活和清晰.

4 反向检验,验证解题答案

逆向思维在初中数学解题中的应用,不仅仅停留于问题的解答,同样也适用于答案的检验.通过逆向思维,学生依托于计算结果,通过推理和分析,验证解题答案的正确性,培养学生的逻辑推理能力,提高解题的正确率和准确性.

在初中数学试题的设计与设置中,方程求解、不等式求解和因式分解求解是代数部分的重点内容,这一系列题型的设计是为了检验学生的计算能力和基础知识水平,所以该部分数学问题的答案具有初中数学的特殊性,其求解过程即便需要应用多种数学解题方法,但最终得到的答案更偏向基础[3].

例4解一元二次方程2x2+5x-3=0.

当学生进行正确解答时,最终所得到的答案应为x1=-3和x2=0.5.但是当学生未能完全掌握逆向思维的解题方法,不使用十字相乘法,而继续使用公式法求解时,往往会在公式的使用上出现纰漏,造成不必要的错误.所以,学生在解决此类题型时,可以借助逆向思维进行反向检验,验证所得到答案的正确性.借助逆向思维,学生可以将x的值代入原方程,然后计算等式是否成立.将x=-3代入方程左边,得到2×(-3)2+5×(-3)-3=18-15-3=0,与原方程左边等于右边的条件一致.将x2=0.5代入方程,同样进行计算,最终得到2×0.52+5×0.5-3=0.5+2.5-3=0,与原方程左边等于右边的条件一致,所以通过逆向思维验证,学生得出的解答x1=-3和x2=0.5是方程的解.

由此可以看出,逆向思维在初中数学解题中的应用,不仅可用于较为复杂问题的解答,也可用于答案的检验.在初中数学教学中,教师需有意识地培养学生的逆向思维能力,在学生学会逆向求解和反向检验的同时,夯实自身的数学基础,从而提升学生的数学核心素养.

总之,逆向思维的培养对学生数学能力水平的提升具有长远的价值和意义.在初中数学教学中,数学教师可通过设计逆向思维教学活动,引导学生尝试置换问题的条件和结果,深入理解其中蕴含的数学思想,探求数学问题的本质,在培养学生的数学逻辑思维,提高整体解题效率的基础上,把握反向证明与逆向求解的技巧,提升学生的数学核心素养.