考虑预防性维护的二维基础质保策略与价格联合优化

李龙辉,刘子先,张兆民,董方岐

(1.天津大学 管理与经济学部,天津 300072;2.中国民航大学 交通科学与工程学院,天津 300300;3.中国汽车技术研究中心有限公司,天津 300300)

0 引言

产品质量保证(简称质保)是指制造商在销售产品时和顾客签订的一种合同协议[1-2]。按照质保期的不同,可以将质保分为一维质保和二维质保。其中,一维质保主要以时间维度为限制,而二维质保以时间维度和使用量维度组成的二维平面区域作为产品保证期限[3],如大多数家用汽车的质保期为3年或6×104km,以先到者为准。同时,产品质保又可以分为基础质保和延长质保[4-5]。基础质保通常与产品销售进行绑定,当产品在质保期内出现故障时,制造商向顾客提供免费维修或更换服务。随着顾客消费观念的转变,基础质保和产品价格在市场上的关联更加紧密。在市场营销中,优质的质保服务能够提升产品的销售量,但同时会增加相应的成本投入[6]。因此,在产品的生命周期内,如何对产品的价格和基础质保策略进行联合优化是制造商关心的重要问题之一。

产品的价格和质保期对产品销量具有重要影响。特别对于新产品而言,为了消除顾客对产品质量的担心,制造商往往会提供较长的质保期,以促进产品销售。例如,广汽新能源为顾客提供三电系统的终身质保服务[7]。当前,国内外诸多学者对质保期与价格的联合决策问题展开研究,如GLICKMAN等[8]最早提出了以质保时间和价格为决策变量的对数线性需求函数,目前该函数已经得到了广泛的应用。KAPUR等[9]构建了动态市场需求函数,将产品价格和质保时间作为动态决策变量进行联合优化。在二维质保研究中,部分学者在以质保时间和价格为决策变量的需求函数基础上,同时考虑了质保中使用量限制对产品需求的影响。如CHEONG等[10]构建了同时考虑质保时间和使用量限制的动态需求函数,研究在免费最小维修或更换条件下的产品定价和二维质保期的动态联合优化问题。在二维质保期内,由于高产品使用率的顾客更容易达到厂商规定的使用量限制,MANNA[11]提出了以顾客的实际二维质保期结束时间代替二维质保中规定的使用时间限制,对Glickman-Berger需求函数[8]进行了扩展研究。以上研究主要通过构建事后维修策略模型与基于价格弹性和质保弹性的需求模型,在此基础上对质保期与价格进行联合优化,没有考虑预防性维护对质保策略设计的影响。

预防性维护可以提高产品在使用过程中的可靠性。通常设计与优化在质保期内的预防性维护策略(如维护程度、维护次数等)能够降低产品的质保成本[12-13]。在考虑预防性维护的二维质保期与价格联合优化研究中,苏春等[14]采用Copula函数对二维质保产品故障过程进行建模,综合考虑了基础质保时间、产品价格和顾客满意度对产品销量的影响,以制造商利润最大化为目标,首先对预防性维护策略进行优化,在此基础上进行基础质保时间与价格的联合优化研究。HUANG等[15]采用边际分析方法对二维质保产品故障过程进行建模,在基于可靠性的非周期预防性维护策略基础上,对特定可靠性阈值下的二维质保期与价格进行联合优化。由于质保时间和使用量限制均会影响顾客的购买需求,HUANG等[16]构建考虑质保时间和使用量限制的线性需求函数,采用二元失效分布法对二维质保产品故障过程进行建模,研究了预防性维护策略和产品价格对二维质保期的影响。

综合来看,上述关于二维质保期与价格的联合优化研究主要集中在对产品价格、二维质保时间和使用量限制的联合优化研究上。在考虑预防性维护的二维质保期与价格的联合优化研究中,大多将预防性维护策略作为已知条件,没有考虑同时对质保期内的预防性维护策略进行优化。基于以上分析,本文以二维质保产品为研究对象,对产品的二维基础质保期、预防性维护策略和价格进行联合优化研究。以制造商期望利润最大化为目标,构建考虑预防性维护次数和水平的质保成本模型,同时构建考虑不同顾客使用率的二维质保需求模型。在此基础上求解最优的产品价格、基础质保时间和使用量限制组合,以及相应的预防性维护策略。该研究有助于制造商进行产品定价和制定更有效的二维质保期以及维修策略,为二维质保策略与价格的系统设计提供了理论支撑和实践指导。

1 问题描述与模型假设

制造商考虑向顾客提供一个具有二维质保期的产品,二维基础质保范围是以质保时间T和使用量限制U构成的矩形框架Ω(T,U),其中T>0,U>0。假设在质保期内每位顾客的产品使用率r保持不变,根据产品的名义使用率r0=U/T,可以将顾客的基础质保期结束时间分为以下两种情况:在r≤r0的情况下,顾客的基础质保期结束时间为T;在r>r0的情况下,顾客的基础质保期结束时间为U/r。

当产品在质保期内发生故障时,制造商采用最小维修的方式对产品进行维修,维修前后不改变产品的故障率。同时,在质保期内制造商采用不完全修复的方式对产品进行n次周期预防性维护,其中对产品的修复程度体现在预防性维护工作的水平上,故将预防性维护水平记为m。当r≤r0时,制造商向顾客提供时间间隔为H的预防性维护服务,其中H=T/(n+1);当r>r0时,制造商向顾客提供使用量间隔为F的预防性维护服务,其中F=U/(n+1)。由图1可知,若顾客的产品使用率不同,则周期预防性维护的时间间隔存在差异。对于产品使用率为r的顾客来说,实际的周期预防性维护时间间隔为:

(1)

针对二维质保产品,顾客通常会倾向于更长的质保时间和使用量限制[17-18],但延长二维基础质保期W(T,U)会增加制造商的成本压力。在基础质保政策设计中,制造商的利润主要涉及质保成本、生产成本、产品价格和基础质保期,其中通过调整预防性维护水平m和维护次数n,可以对质保成本进行优化。此外,产品价格对制造商利润和顾客的购买决策具有重要影响[19]。因此,在市场营销中制造商面临的问题是:如何将二维基础质保期W(T,U)、价格P和预防性维护策略[m,n]进行联合设计与优化,在质保成本增加与市场需求增加之间进行有效权衡,以实现制造商期望利润的最大化。

本文的主要假设条件如下:

(1)顾客在整个质保期内产品使用率保持不变,不同顾客的产品使用率存在差异,但是顾客整体使用率分布,可以通过历史维修数据或销售数据进行估计[20-21];

(2)与质保期相比,由于最小维修和预防性维护服务时间较短,可忽略不计[22]。

本文的主要符号描述如表1所示。

表1 主要符号与含义

2 模型构建

2.1 可靠性建模

在二维产品质保中,使用时间和使用量是影响产品故障率的两个重要因素。目前有3种方法可以对二维质保产品故障过程进行建模,即复合标度法(composite)、二元失效分布法(bivariate)和边际方法(marginal approach)[23-24],其中边际方法是通过产品使用率将使用量转化为与时间相关的函数,能够有效将二维质保数据转化为一维,目前该方法已经得到广泛应用。因此,本文沿用边际方法进行故障过程建模。已知t,u分别为产品的使用时间和使用量,其中u=rt,对于实际使用率为r的顾客来说,产品故障率函数λ(t|r)可以表示为以下多项式:

λ(t|r)=θ0+θ1r+(θ2+θ3r)t。

(2)

其中θi为故障率函数的常数系数,θi>0,i=0,1,2,3。

2.2 质保成本建模

二维基础质保期内产生的质保成本主要由最小维修成本和预防性维护成本构成。考虑到预防性维护策略对产品故障率的影响,本文参照KIM等[25]利用役龄回退因子δ(m)对预防性维护效果进行描述,δ(m)=(1+m)e-m,其中,δ(m)∈[0,1],m为预防性维护水平,且m=1,2,…,M。对于实际使用率为r的产品,第j次预防性维护后产品的虚拟寿命为:

vj(m)=vj-1(m)+δ(m)L,v0(m)=0。

(3)

根据式(3)可将t时刻产品的虚拟寿命表示为:

v(t)=vj-1(m)+t-(j-1)L。

(4)

式中(j-1)L≤t

假设预防性维护和最小维修时间均忽略不计,则可以使用服从非齐次泊松过程(Non-Homogeneous Poisson Process,NHPP)的条件故障强度进行建模,具体条件故障函数见式(2)。因此,对于实际使用率为r的顾客,在二维基础质保期内其产品的故障次数为:

(5)

式中W0表示基础质保期结束时间,W0=min{T,U/r}。

当给定单位最小维修成本Cr和预防性维护成本CPM时,可将单位产品的期望质保成本表示为:

(6)

式中g(r)为使用率的概率密度函数,rl≤r≤ru,其中ru和rl分别为产品使用率的上限和下限。

2.3 考虑不同顾客使用率的产品需求建模

市场需求主要受到质保期、产品价格等因素的影响。对于二维质保产品,单一的质保服务时间长短并不能够有效反映产品的实际市场需求。在此基础上,HUANG等[16]和HE等[4]分别采用线性和对数线性函数构造产品销量随质保时间和使用量限制变动的二维质保需求函数。然而,上述模型忽略了二维质保期设计不合理的情况:①对于任意二维质保产品而言,都存在使用时间和使用量上限;②当质保时间或使用量限制为零时,产品销量不一定为零。

对于二维质保产品,产品的失效同时受到使用时间和使用量的影响。顾客可以使用的质保区域的面积越大,说明在质保期内顾客可以获得更多的免费维修或更换机会,对顾客越有利[4-18]。因此,本文以可用质保面积作为影响市场需求的重要因素。由于顾客产品使用率的异质性,不同顾客的可用质保面积存在差异。如图2所示,当r>r0时,顾客的可用质保面积为(U/r)×U;当r≤r0时,顾客的可用质保面积为T×(T×r)。则对于实际产品使用率为r的顾客来说,可用质保面积为:

(7)

根据式(7),可将产品使用率为r的顾客能够感受到的可用质保面积所产生的质保效用表示为:

E(T,U|r)=D(T,U|r)φ3。

(8)

式中φ3为质保面积感知因子,并且0<φ3<1。

由图3可知,该函数可以有效地反映不同顾客可感知的可用质保面积对顾客质保效用的影响,并且能够衡量不同产品使用率下的顾客实际质保效用大小。已知顾客的产品使用率概率密度函数为g(r),则单位产品的期望质保效用可以表示为:

(9)

基于以上分析,本文在Glickman-Berger需求函数[8]的基础上,构建了考虑质保时间和使用量限制的需求函数,结合式(9),可以将二维质保的需求函数表示为:

Q(P,T,U)=ω1P-φ1(ω2+A(T,U))φ2。

(10)

式中:ω1>0,ω2>0,φ1>1和0<φ2<1。ω1为振幅因子,ω2为常数,保证制造商不提供质保时,产品需求不为零。

3 二维基础质保期、价格和预防性维护策略联合优化设计

制造商希望通过对产品价格P、二维基础质保期W(T,U)、预防性维护水平m和维护次数n的系统设计,以实现制造商期望利润的最大化。假设产品的需求量等于产品的销售量,制造商制造单位产品的生产成本为CM,则可将二维基础质保期、价格和预防性维护策略联合优化模型表示为:

max{π(P,T,U,n,m)}=Q(P,T,U)(P-

CM-EC(T,U,n,m))。

(11)

s.t.

m≤M,m∈N。

(12)

根据式(11)和式(12),可知若取得期望利润函数中价格的最大值点,需要满足:

(13)

基于以上分析,则可将二维基础质保期、价格和预防性维护策略联合优化问题简化为:

max{π(T,U,n,m)}=

(14)

在二维基础质保期、价格和预防性维护策略联合优化模型中,需要对预防性维护水平m与维护次数n、二维基础质保期W(T,U)与价格P进行系统优化。根据式(14)可知,在满足模型约束条件的固定二维基础质保期W(T,U)组合下,预防性维护策略的优化可以使该二维基础质保期W(T,U)下的期望质保成本最小化,从而使制造商期望利润最大。因此,在二维基础质保期W(T,U)内,只有满足预防性维护策略[m,n]是使期望质保成本最小化的最优维护策略时,才能实现制造商期望利润最大化的目标。由于该模型是一个非线性混合整数规划问题,存在分段积分、连续性和离散性决策变量并存等特点,很难得出决策变量的有效解析解。而在实际情况中,二维基础质保期W(T,U)、预防性维护水平m和维护次数n都是离散取值的,故本文采用网格搜索的方法,以二维基础质保期和价格为主要决策变量,预防性维护策略为跟随决策变量,得到模型的满意解。

4 算例分析

以某品牌汽车制造商的A型号汽车为例,该制造商制定的二维基础质保期为3年或6万公里,预防性维护策略组合为[m=3,n=5]。A型号汽车的参考售价P0为12万元,生产单个产品的平均成本CM为6万元。产品故障率函数λ(t|r)的参数设置为θ0=0.1,θ1=0.2,θ2=0.3和θ3=0.3[26]。通过对A型号汽车在2015年～2017年的顾客产品使用率数据拟合发现,由于产品使用率极高的顾客较少,顾客的产品使用率r服从区间[rl,ru]上的截断威布尔分布[22],其中rl和ru分别为0×104km/a和6×104km/a,产品使用率r的概率密度函数为:

g(r)=βη(rη)-1+βe-(rη)β。

(15)

4.1 模型有效性分析

为验证所提模型的有效性,本文对不同预防性维护水平与维护次数、二维基础质保期与价格进行组合分析,得到了不同预防性维护策略下的二维基础质保期与价格优化组合,以及对应的制造商期望利润值。在实际中,顾客能够接受的预防性维护的最短时间间隔和使用量间隔分别为Hmin=2个月和Fmin=0.5万公里。在此基础上,对质保时间和使用量进行离散取值,其中质保时间以月为最小单位,使用量以千公里为最小单位。考虑到预防性维护策略具有离散性、有限性等特点,本文对所有预防性维护策略下的二维基础质保期与价格优化进行分析,得到了不同预防性维护策略下的最优制造商期望利润,以及对应的二维基础质保期与价格最优解,联合优化结果如表2所示。

表2 不同预防性维护策略下二维基础质保期与价格联合优化结果

在表2中,本文选取了部分预防性维护策略下的二维基础质保期与价格联合优化结果。研究发现,当预防性维护策略组合为[m=4,n=7],质保时间、使用量限制和价格分别为T=59个月、U=12×104km和P=13.192万元时,制造商的期望利润取得最大值为π=79.223亿元。该方案能够将二维基础质保期、价格与预防性维护策略进行有效联合,使预防性维护策略、二维基础质保期与价格同时达到最优。

此外,本文还将预防性维护策略、二维基础质保期与价格进行不同优化组合,得到三类优化质保方案,其中二维基础质保期优化方案PL2(W*,P,PM)和二维基础质保期与价格联合优化方案PL3(W*,P*,PM)是在给定预防性维护策略条件下的两类比较质保方案,方案PL4(W*,P*,PM*)是本文提出的预防性维护策略、价格和二维基础质保期联合优化方案。不同二维质保方案的结果如表3所示。表3中方案PL1(W,P,PM)为优化前的质保方案,即由制造商制定的初始质保方案。通过将方案PL2(W*,P*,PM*)、方案PL3(W*,P,PM)和方案PL4(W*,P*,PM)对比分析,发现预防性维护策略的优化有利于制造商制定二维质保期更长的基础质保策略,并且有利于提高制造商的期望利润。与制造商原有的质保方案PL1(W,P,PM)相比,方案PL4(W*,P*,PM*)使制造商的利润提高了3%,证明了本文提出模型的有效性。

表3 不同二维质保方案的结果

4.2 敏感性分析

在预防性维护策略、二维基础质保期与价格联合优化的研究中,产品使用率分布和需求函数相关参数是影响预防性维护策略、二维基础质保期与价格联合优化方案的重要因素。

首先,分析产品使用率分布对最终优化结果的影响。已知顾客的产品使用率服从威布尔分布,可以通过调整尺度参数η的大小,在维持分布形状大致不变的情况下,改变分布的方差和期望。因此,本文保持形状参数β不变,对尺度参数η进行等百分比调整,调整间隔为10%,得到联合优化方案如图4所示。研究表明,随着尺度参数η值的增加,产品使用率低的顾客增多,为了吸引更多的顾客,需要增加产品的质保时间,同时需要缩减质保产品的使用量限制,以使制造商的利润最大化。

其次,保持质保期弹性因子φ2和其他参数不变,对价格弹性因子φ1从2～2.5进行离散取值,调整间隔为0.1,得到联合优化方案如图5所示。价格弹性因子φ1的值越大,说明价格对市场需求的影响越大。研究结果表明,二维基础质保期、售价、销量和期望利润均随着价格弹性因子的增加而减小。当价格弹性因子φ1的值较低时,制造商可以通过提高产品售价的方式,增加制造商利润,随着二维基础质保期的延长,同时需要适当增加预防性维护的次数,以最大程度地降低质保成本,从而有利于获取更高的期望利润;当价格弹性因子φ1的值较高时,售价的提升对销量的影响过大,不利于制造商获取更高的利润,此时,制造商可以通过缩减二维基础质保期和减少预防性维护次数,同时降低产品售价的方式来稳定收益。

然后,保持价格弹性因子φ1和其他参数不变,对质保期弹性因子φ2进行等比例调整,调整间隔为10%。根据本文提出的预防性维护策略、二维基础质保期和产品价格联合优化方法,可以得到优化结果如图6所示。研究表明,质保期弹性因子对产品销量具有促进作用。随着质保期弹性因子φ2的增加,二维基础质保期、售价、销量和期望利润均出现上升趋势,同时需要适当调整预防性维护策略以应对基础质保期延长带来的质保成本增加。因此,当质保期弹性因子较高时,制造商应延长产品的二维基础质保期,提高产品的售价,并增加维护次数,以获取更高的期望利润。

此外,产品的可靠性和维修成本对预防性维护策略、二维基础质保期与价格联合优化结果具有重要影响。在模型参数θi(i=0,1,2)和CPM已知的情况下,分析参数θ3和Cr对制造商期望利润的影响。当其他分参数不变时,随着θ3的值增加,产品的可靠性降低,即产品的故障率增加。由表4可知,参数θ3的值越大,制造商的期望利润将会越小,与此同时优化后的二维基础质保期逐渐减小,在预防性维护策略不变的情况下,受到二维基础质保期减小的影响,产品的质保成本和最优价格将会逐渐减小,在一定程度上弥补了由二维基础质保期缩减造成的产品销量的下滑,从而有利于抑制制造商期望利润的下降。因此,当参数θ3的值增加时,制造商应适当缩减产品的二维基础质保期,以弥补由产品的可靠性下降造成的制造商期望利润的下滑。

表4 故障率函数的常数系数θ3的敏感性分析

不同维修成本Cr下的优化结果如表5所示。由表5可知,随着维修成本Cr的增加,质保成本和价格的变化并不规律,这是由于质保成本同时受到二维基础质保期、维修成本Cr和预防性维护策略的影响造成的。从总体趋势来看,随着维修成本Cr的增加,产品的二维基础质保期逐渐缩减,销量和制造商期望利润呈现出下滑趋势。

表5 维修成本Cr的敏感性分析

5 结束语

在二维质保研究中,预防性维护策略设计与二维质保期优化密切相关。本文基于产品市场需求,将预防性维护策略、二维基础质保期和产品价格进行联合优化研究。首先,采用虚拟年龄方法描述周期预防性维护的效果,构建了考虑预防性维护水平和次数的质保成本模型。并根据不同顾客的产品使用率差异,提出了基于二维质保期的需求模型。然后,以制造商期望利润最大化为目标,采用网格搜索方法确定了最优的产品价格、二维基础质保期和预防性维护策略。结合算例分析,比较了同时对预防性维护策略优化和给定预防性维护策略两种情形下的二维基础质保方案。研究结果表明,在二维基础质保范围内,对预防性维护策略的优化有利于制造商制定二维质保期更长的基础质保策略,同时有利于提高制造商的期望利润。

本文主要对二维质保产品的基础质保策略与价格优化问题进行研究,没有考虑不同顾客对延长质保服务的需求,如何实现基础质保与延长质保的整体优化有待进一步研究。此外,随着顾客个性化质保需求的增加,产品质保方案的定制化设计成为一种发展趋势,考虑产品使用率差异性的定制化质保方案设计是下一步研究工作的重点。