围岩松动圈敏感因素解析分析

2023-12-04臧冬冬曾朝辰朱初初

煤炭与化工 2023年10期

臧冬冬，曾朝辰，张洋，朱初初

（1.中国矿业大学力学与土木工程学院，江苏徐州 221116；2.河南能源集团永煤公司城郊煤矿，河南永城 476600）

0 引言

巷道开挖后，如果集中应力小于岩体强度，那么围岩将处于弹塑性稳定状态，当应力超过围岩强度之后，巷道周边围岩将首先破坏，并逐渐向深部扩展，直至在一定深度取得三向应力平衡为止，此时围岩已过渡到破碎状态。董方庭等人[1-2]经过长期研究，将巷道围岩中产生的松弛破碎带称为围岩松动圈，其力学特性表现为应力降低，并于1985 年系统地提出围岩松动圈巷道支护理论。巷道开挖后，地应力与围岩的相互作用会产生围岩松动圈，而松动圈范围越大，支护越困难；在目前的技术条件下，支护对松动圈的影响并不明显；松动圈扩展过程中产生的碎胀力及其所造成的有害变形是巷道支护的主要对象。以上3 点是围岩松动圈巷道支护理论的核心内容，是分析锚杆作用机理及指导锚杆支护设计的有效理论依据，在煤炭行业以及各类地下工程中得到了广泛的应用。围岩松动圈是地下工程中普遍存在的实际物理力学状态，从最初董方庭等人通过大量的模型试验和现场测试所验证，后续又经过宋宏伟、靖洪文等多位学者通过声发射法、钻孔摄像、地质雷达等多种测试方法对松动圈进行实测验证和分析[3-10]，刘刚等人采用ANSYS、FLAC3D、MIdas/GST 等数值模拟软件对松动圈进行模拟，并结合实际工程进行验证分析[11-12]。本文采用解析方法，分析影响围岩松动圈范围大小的敏感因素，是对围岩松动圈支护理论的补偿和完善。

1 巷道围岩的弹塑性分析

为简化问题且便于讨论，假设巷道为圆形，其半径为a。对应岩石全应力应变曲线的弹性、塑性和破裂状态，围岩中依次产生松动圈（破裂区）、塑性区和弹性区[14]，如图1 所示。

图1 分析模型Fig.1 Analytic model

考虑平面应变情形，径向、环向应力和应变分别用极坐标σr、σθ和εr、εθ表示；位移用u 表示；原始地应力为p0，支护力为pi；采取Mohr-Coulomb 屈服准则，即：

其中，塑性区：

松动圈（破裂区）：

各区应力满足平衡方程：

几何方程为:

边界条件和接触条件为:

联立式（1）和式（2），得：

此式为松动圈与塑性区应力分布通式，其中D为积分常数，B=c cotφ。

用式（4）中第一式，得：

令Ac=D，则松动圈应力

由于塑性区和弹性区交界处应力既满足屈服准则又符合弹性条件，即r=Rp时：

将式（5）代入，求得积分常数D，得到塑性区应力。

弹性区应力利用拉梅解答，有

至此，各区应力均已求出，由此可计算各区位移。弹性区位移可根据物理方程和几何方程得出：

塑性区位移包含弹性位移和塑性位移两部分。塑性位移的计算可以利用围岩为刚塑性体的假设，即塑性区围岩不可压缩，体积不变，塑性区围岩的体积变形仅有弹性变形；松动圈围岩的体积变形包括弹性变形和碎胀变形，并引进碎胀扩容系数k，用于描述松动圈围岩的扩容情况。

式中：V0为未破裂岩石的体积；V' 为破裂后的体积。

对于塑性区，体积仅有弹性变形。

将式（9）代入：

积分得：

积分常数Dp可利用式（4）中第四式获得。

对于松动圈，体积变形包括弹性变形和扩容变形。

积分可得：

至此，各区应力和位移均已求出，利用塑性区和松动圈接触条件即式（4）中第三式，得

根据上式中第一式可将第二式简化，有

积分系数Dc和Dp取决于Rc和Rp，但Rc和Rp还未确定。至此，所有的边界条件和接触条件都已利用，必须补充一个附加条件才能确定Rp和Rc。

由弹性理论知，只要满足所有的基本方程、边界条件和接触条件，应力应变的解答就是正确的。这样，通过给定不同的松动圈范围Rc就会得到不同的应力应变状态。而在实际情况中，岩体力学参数、原岩应力和巷道尺寸一定的情况下，其应力应变状态应是唯一的。蒋斌松等[3]认为塑性变形不能无限发展，变形达到一定程度岩体就要破裂进入破裂状态，由此建立围岩破裂的变形条件，即在塑性区与破裂区的交界处径向应变相等。将进入塑性状态的岩体假设为刚塑性体，体积不可压缩，体积变形仅有弹性变形，而弹性变形所产生的应变是连续的，自然满足塑性区与破裂区交界处径向应变相等的条件。可以近似求出塑性区和松动圈的径向位移：

利用几何方程可以得到径向应变：

上式在塑性区和松动圈内是连续的函数，自然满足变形限制条件，补充条件无效，无法确定松动圈范围的大小。所以，若将进入塑性状态的岩体假设为刚塑性体，利用此变形条件无法确定松动圈范围的大小。

对于图1 所示简化模型，根据Mohr-Coulomb屈服准则可计算出岩石在塑性状态和破裂状态时的强度，由弹性参数可求出弹性应变，而塑性应变发展到什么程度后试件破裂进入破裂状态却无法确定。假如对试件施加围压同样可求出塑性状态和破裂状态下的强度，而试件破裂时的塑性应变无法计算。对于巷道开挖的情况，利用Mohr-Coulomb 屈服准则可以求得各区应力，由于缺少可以确定岩石材料破裂时塑性应变大小的条件，也就无法判断不同位置处的围岩是否破裂，并无法确定围岩松动圈范围的大小。因此，若要计算松动圈Rc的范围，须从其它方面着手。

2 围岩松动圈范围的计算

由塑性理论可知，塑性变形是可以自由发展的，而实际工程中并非如此。从能量角度分析可知，围岩除了本身内部储存的弹性应变能以外，还有因巷道开挖产生的变形使得外力对其做的功，这些能量在巷道开挖后逐渐转变为弹性应变能和塑性应变能。巷道开挖致使围岩由三向受力变为二向受力，承载能力减弱，围岩所能储存的极限弹性应变能大大减少，能量向塑性能转变；而塑性能首先用于产生不可恢复的塑性变形，微观上即是晶格位错；若能量继续向塑性能转变，岩体中则出现微裂纹，进而裂纹贯通出现宏观破裂面，围岩进入破裂状态。在这一状态，岩石材料已发生破坏或局部破坏，失去或部分失去承载力，所能储存的极限弹性应变能又将减少，岩体继续破坏，直至稳定。沿径向方向，较远部位岩体应力状态得到改善，极限弹性能增加，相应的塑性破坏能减少；总会存在某一位置，在这里塑性能恰好完全消耗于晶格位错，没有产生裂纹，岩石材料的强度也没有损失。这一位置就是围岩松动圈与塑性区的分界线。

因此，若要确定松动圈的范围可以尝试从两个方面着手：一是强度差值条件，找出在围岩松动圈和塑性区交界处切向应力之间关系；二是塑性应变条件，求出塑性应变并确定岩石塑性应变发展到什么程度时破裂。

首先，从强度差值条件着手。由岩石三轴应力－应变曲线可知，随着围压的增大，岩石材料将由脆性逐渐向塑性转变，塑性变形逐渐增大，岩石破坏时的强度差σp-σc逐渐减小，当围压增加到一定程度时岩石的强度随着应变的发展不会降低，岩石不会破裂。由此可知：岩石由于破裂产生的强度差值随着围压的增加逐渐减少至零。围岩中松动圈和塑性区的σr是随着r 的增大逐渐增大的，所以，强度差值△σθ随着r 的增大逐渐减小。若将松动圈内岩体的力学参数假设为恒定，那么，根据Mohr-Coulomb 屈服准则求出的岩石破裂前后强度差值△σθ=(Np-Nc)σr+(Sp-Sc)是随着σr的增大而逐渐增大的，这与三轴压缩试验是矛盾的。因此，松动圈内岩体的力学参数是变量。这是由于围压增加岩体强度的同时也增加了岩体内的弹性应变能、减少了破裂时岩体消耗的塑性能，当围压改变时，岩体破裂损伤程度也随之改变。

假设在松动圈内N、S 为线性增加，即：

将上式代入平衡方程并积分，得：

所以：

上式为Rp和Rc之间的关系，但仍然无法确定其值。

其次，从塑性应变条件着手。由于塑性应变不可能无限发展，达到一定量时岩石进入破裂状态，破裂状态的岩体已经历过塑性状态，材料已经受到损伤，强度有一定幅度的下降，塑性应变已经超过区分塑性状态和破裂状态的临界塑性应变。那么，松动圈围岩的应变必定大于或等于这一临界塑性应变与弹性应变之和，而在松动圈和塑性区的交界处总应变必然相等，即若是可以确定这部分塑性应变的大小，也就可以确定岩石在什么状态下破裂。由塑性位势理论即正交流动法则可知：

式中：f 为应力空间中的屈服面，λ 为塑性应变。塑性位势理论确定了塑性变形的方向，但不能确定其大小，其大小可由变形协调条件确定。由几何方程可得到变形协调方程：

利用Mohr-Coulomb 屈服准则建立塑性势φ=σθ-ασr，求得塑性应变：

式中：塑性区αp=(1+sinφp)/(1-sinφp)，松动圈αc=(1+sinφc)/(1-sinφc)，φ为破裂角。

将塑性应变与弹性应变相加，可得松动圈和塑性区的应变。

塑性区：

松动圈：

若α=1 则塑性应变之和为零，即εrp+εθp=0，此时岩体即为刚塑性体，破裂角为零。

上述应变代入变形协调方程即式（29），得：

解此微分方程得：

式中：D 为积分常数。

将式（31）和式（32）代入，得：

塑性区：

松动圈：

根据几何方程ur=εθr 并利用位移接触条件可得(r=Rc)，由此可以确定积分常数：

再由附加条件[12]εrp=εθc(r=Rc)可得：

联立式（19）第一式，可解出Rp和Rc。

位移也可以确定：

3 围岩松动圈敏感因素分析

现采用MATLAB 软件，利用控制变量法分析各参数对Rc的影响程度。按深部巷道考虑，取围岩弹性模量E=20 GPa，泊松比μ=0.25，粘聚力cp=5.31 MPa、cc=2.0 MPa，内摩擦角φp=38°，φc=15°，破裂角αp=αc=30°，原岩应力p0=20 MPa，支护力p1=0 MPa，根据式（39）可求出Rc/a=1.35、Rp/a=1.43。改变各参数的大小，得出各参数与Rc/a 之间的关系，如图2 所示。

图2 各参数对松动圈范围的影响曲线Fig.2 Influence curve of each parameter on the range of loose circle

分析图2 各曲线图可知：

（1）塑性区岩体的力学参数即原岩力学参数对Rc的影响是显著的，Rc关于原岩力学参数近似成一阶线性关系。塑性区的内摩擦角对松动圈范围Rc的影响较松动圈的内摩擦角和破裂角大，且松动圈内摩擦角的取值范围较小，增大到一定程度Rc没有实数解。塑性区岩体的粘聚力对Rc的影响较松动圈岩体粘聚力的影响大，且Rc对松动圈的粘聚力在一定范围内（cc≤1.5 MPa）较敏感，超出这一范围影响不大。

（2）在松动圈岩体的力学参数中，粘聚力的改变对松动圈范围的影响虽然没有原岩力学参数明显，但也不容忽视。在松动圈粘聚力由1.0 MPa 增加到2.0 MPa 时松动圈范围减少了22%，由2.0 MPa 增加到3.0 MPa 时，松动圈范围减少了11%，继续提高粘聚力对松动圈范围影响越来越小。对松动圈围岩进行注浆加固可有效提高破裂围岩的粘聚力和残余强度，进而可在有限限度内减少松动圈的范围，抑制围岩的继续破坏。

（3）支护力与Ro的关系也近似为一阶线性关系，但对Rc的影响范围较小，与破裂角类似。在支护力由0 增加到0.4 MPa 时松动圈范围减少7.4%，由0.4 MPa 增加到0.8 MPa 时松动圈范围减少了6.4%。而现有的支护技术所能提供的支护力一般在0.2～0.6 MPa。因此，在现有支护条件下，试图通过支护或提高支护强度来阻止围岩的松动破坏，不会产生明显的效果。这与围岩松动圈巷道支护理论的核心内容是一致的，即支护对松动圈的影响工程上可忽略不计。

（4）原岩压力对Rc的影响较大，这是因为原岩压力的取值范围较大，实际上，Rc-pi曲线较Rcp0曲线更陡。但由于支护力的大小范围有限，原岩应力对松动圈范围的影响较支护力更为显著。

图3 和图4 分别为塑性区范围与松动圈范围关系曲线和径向位移分布曲线。分析图3 和图4 可知：①塑性区范围与松动圈范围近似成反比例关系，即松动圈范围越大塑性区范围相应越小，总范围也越来越大，且塑性区范围在总范围中所占比例越来越小；②根据文献[14]由塑性位势理论求得的位移与理想弹塑性条件下的位移相比较大。

图3 塑性区范围-松动圈范围曲线Fig.3 Curve of plastic zone range-loosening zone range

图4 位移分布曲线Fig.4 Distribution curve of displacement

综上所述，松动圈范围的敏感因子为原岩力学参数和原岩应力，其次是松动圈内围岩的粘聚力和支护力。其中，在粘聚力增加到一定程度后对松动圈范围的影响变微小，且由于支护力的取值有限，对松动圈范围的影响也是有限的。支护对破碎围岩的维护作用，表现在松动圈发展变形过程中维持破碎岩块相互啮合不垮落，通过提供支护阻力限制破裂缝的过度扩张，从而减少巷道的收敛变形。