关于第十二届全国大学生数学竞赛一道赛题推广的条件

华梦霞, 陈 庆

(南阳师范学院 数学与统计学院,河南 南阳 473061)

数学竞赛活动的开展,可以增强大学生学习数学的兴趣,培养其分析、解决问题的能力,发现和选拔数学创新人才,故不少文献都关注了竞赛试题的研究[1-6]。本文对2020年第十二届全国大学生数学竞赛初赛(数学类A卷)第五题的推广做进一步的研究。 原试题如下:

φ是R上严格单调增加的连续函数,ψ是φ的反函数,实数列{xn}满足

证明{xn}收敛或举例说明{xn}有可能发散。

该试题的答案是可以证明{xn}收敛,文献[1]说明:去掉连续性假设仍可证明{xn}是收敛的。 文献[2]对此进行了推广,得到了如下结果。

命题1φ是R上严格单调函数,ψ是φ的反函数,实数列{xn}满足

xn+2=ψ(αnφ(xn)+(1-αn)φ(xn+1)),

(*)

给出命题1后,文献[2]在αn取一些特殊值时给出了{xn}的极限,但在计算一些具体的{xn}的极限时,仍然假设了φ是连续的。

本文将指出,在命题1基础上计算{xn}的极限时,仍无需假设φ的连续性,可得完全相同的结论。本文主要结果如下。

证明：不妨设φ严格单调递增,

xn+2=ψ(αnφ(xn)+(1-αn)φ(xn+1)),

则

φ(xn+2)=αnφ(xn)+(1-αn)φ(xn+1)。

记yn=φ(xn),于是

yn+2=αnyn+(1-αn)yn+1,

由此可知

yn+2-yn+1=-αn(yn+1-yn)。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(1)若x1

由(3)(4)(5)三式可知

y1

(6)

x1

(7)

x2n+1

(8)

由于φ严格单调递增,所以

φ(x2n+1)<φ(B)≤φ(A)<φ(x2n),

即

y2n+1<φ(B)≤φ(A)

令n→∞,y0≤φ(B)≤φ(A)≤y0。所以φ(A)=φ(B)。由于φ严格单调递增,所以A=B,所以{xn}收敛。

因为φ严格单调递增,所以φ在点x0的两个单侧极限均存在,设

(9)

下证a=b=φ(x0)即可。

由于φ严格单调递增,故

b≤φ(x0)≤a。

(10)

由于φ严格单调递增,y2n+1=φ(x2n+1)<φ(x0)<φ(x2n)=y2n。

(2)若x1>x2,采用完全相同的办法,可以证明φ在点x0连续。

若φ严格单调递减,采用类似的方法可以得到结论。

注2：命题2并没有保证φ在R上连续,仅说明:若x1≠x2,{xn}满足(*)式,则φ在{xn}的极限x0连续,若x1=x2,则{xn}为常数列,x1仍可能是φ的间断点。