圆环上两类极值问题

杨 燕

(西华师范大学数学与信息学院,四川南充 637002)

0 引言

20世纪40年代前后,Teichmuller等人在Grötzsch问题的启发下研究了拟共形映射的极值问题,从而产生了Teichmuller空间理论.2005年,Astala等人[1]研究了两矩形之间的调和能量极值问题.随后,Iwaniec等人[2]研究了圆环上全能量最小问题.2010年,Astala等人[3]研究了圆环上的平均偏差最小的映射.随后文献[4]和[5]研究了双连通区域上的情形.之后在文献[6-8]中对矩形上更为一般的情况进行了研究.最近,Kalaj[9]研究了圆环上的组合能量,本文主要研究了圆环上加权调和能量极值问题和加权偏差极值问题.调和能量极值问题与偏差函数的极值问题是相关的,具体见文献[10-12].

1 预备知识

设A1和A2分别是复平面上的两个圆环,其中A1={z:1≤|z|≤r},A2={z:1≤|z|≤R},h是A1到A2的微分同胚,并且保持边界对应,即当|z|=1时,|h(z)|=1;当|z|=r时,|h(z)|=R.H(A1,A2)是由h组成的集合.

由于研究圆环上的映射,用极坐标的形式在讨论问题时自然方便,所以令h=ρeiφ,z=teiθ,那么h的径向导数和切向导数分别定义为

(1)

又由

所以有

J(z,h)≤|hN||hT|.

(2)

f的偏差函数定义为

调和能量与Nitsche现象密切相关.1962年Nitsche[13]猜测,圆环A1与A2之间存在调和同胚的充要条件是以下不等式成立.

(3)

这个猜想最终在2011年被Iwaniec等人[14]解决.

在Nitsche猜想的基础上,Kalaj[15]提出了ρ-Nitsche猜想,如下:

如果存在从A1到A2的ρ-调和同胚,则

(4)

定理1.1[17]设ρ(w)=|w|-2,则A1与A2之间存在ρ-调和同胚的充要条件是

这给出了ρ(w)=|w|-2的ρ-Nitsche猜想的肯定回答.

在文献[18]中Iwaniec和Oninnen研究了全能量最小的极值问题.本文分别针对加权能量极值问题和加权偏差函数极值问题给出了两个主要定理.

定理1.2设h:A1→A2的微分同胚,且满足Nitsche条件(3),对所有的h∈H(A1,A2),

定理1.3设f:A2→A1的微分同胚,f=h-1,且满足Nitsche条件(3),对所有的

f∈F(A2,A1),

定理1.3已经出现在文献[15,17]中,这里借助文献[18]中的方法,给出了不同的证明方法.

2 定理1.2的证明

设0≤a≤1,0≤b≤1,A≥0,B≥0且|z|=t>0,则由(1)、(2)及平均值不等式有

≥(1-a2)|hN|2+(1-b2)|hT|2+2ab|hN||hT|

+[2ab]J(z,h)-[(1-a2)A2+(1-b2)B2],

(5)

下面分两种情况讨论.

(6)

将(6)式两边同时在A1上积分得

所以

ε[h]≥ε[h0].

则(5)式变为

(7)

将(7)式两边同时在A1上积分得

证毕.

3 定理1.3的证明

设0≤a*≤1,0≤b*≤1,A*≥0,B*≥0且|z|=t>0,则由平均值不等式有

(8)

(9)

将(9)式两边同时在A2上积分得

所以

E[f]≥E[f0].

(10)

将(10)式两边同时在A2上积分得

证毕.