如何利用基本不等式求函数的最值

刘润军

在运用基本不等式求最值时，往往要通过添项、去项、凑系数、凑分子、常数代换等方式来配凑出两式的和、积，并使其中之一为定值.

例1.已知0

解：因为8-2x>0，且2x+8-2x=8，

当且仅当2x=8-2x，即x=2时等号成立，

因此f（x）=x（8-2x）的最大值是8.

检验取等号是否成立是解题的必要步骤，若取等号时不等式不成立，就不能用基本不等式求最值，需寻找其他的方法，如利用对勾函数的单调性、导数法来解题.

解法2.由x+y=4可得y=4-x，

总之，运用基本不等式求函数的最值，需要注意：（1）将函数式进行合理的变形，以配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值；（2）关注和式、积式的符号，确保各式都大于0；（3）在求得最值后，还需注意检验等号成立的条件是否满足题意.

（作者单位：江苏省常州市金坛第四中学）

对一道二面角问题的解法的探究

范志君

二面角是指两个半平面所成的角，通常用二面角的平面角的大小来表示二面角.求解二面角问题主要有两种思路：（1）利用几何知识；（2）构建空间直角坐标系，利用空间向量知识求解.下面结合一道例题，探讨一下求解二面角问题的思路.

一、几何法

要求二面角的余弦值，需首先根据二面角的平面角的定义，过二面角的棱上的一点在两个半平面内分别作两条射线，则两个条射线所成的夹角即为二面角的平面角；然后根据平面角的位置，构造三角形，根据勾股定理、正余弦定理、三角函数的定义求得平面角的大小.

解：过P作PH垂直AD于点H，连接SH、AC，

因为平面MBD⊥平面ABCD，

所以M點的投影必在线段BD上，

也必在线段PC在底面的投影上.

又因为△PAD是等腰三角形，

且二面角P-AD-C是直二面角，

所以M点在底面的投影是△ACD的重心，

记为点O，连接OM，

作CH⊥DM.因为CN⊥DM，

所以DM⊥平面CNH，

所以NH⊥DM，

所以∠NHC是二面角B-MD-C的平面角.

解答本题，需从二面角的平面角的定义入手，证明CN⊥DM、NH⊥DM，即可根据平面角的定义确定二面角B-MD-C的平面角；然后添加合适的辅助线，构造△PCS、△MCD；再根据余弦定理、勾股定理求得平面角∠NHC的余弦值.

二、构建空间直角坐标系

对于规则的或容易找出垂直关系的几何图形，通常可根据几何图形的特点建立空间直角坐标系，通过

解法1.取AD的中点O，连接OP，

因为平面PAD⊥平面ABCD，AD为等腰直角三角形PAD的斜边，

所以OP⊥平面ABCD，分别以OD，OP所在的直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则P（0，0，1），A（0，-1，0），D（0，1，0），

因为AB2+AD2=BD2，所以AB⊥AD，

我们根据条件“二面角P-AD-C是直二面角，AD为等腰直角三角形PAD的斜边”，添加辅助线OP，即可构造出空间直角坐标系.再求得各个点、线段的坐标以及平面的法向量，即可通过空间向量的坐标运算求得问题的答案.

解法2.因为AB2+AD2=BD2，所以AB⊥AD.

连接AC，交BD于N，取AD中点H，连接PH，过点N作PH的平行线，分别以NC，ND所在的直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图2所示.

我们先根据AB⊥AD以及二面角P-AD-C是直二面角，来建立垂直关系；再添加辅助线，即可构造出三条互相垂直且交于一点的直线NC、ND、过点N且与PH平行的直线，并将其作为三条坐标轴，从而建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量，即可根据平面向量的数量积公式求得二面角的余弦值.

相比较而言，几何法比较常用，只需根据相关的定义、定理、性质添加合适的辅助线，利用立体几何知识和平面几何知识求解.向量法虽然较为简单，但是解题过程中的运算量较大，同学们需谨慎计算.