高考数学解题技巧（方法类）之填空题的解题策略

代云菊

一、题型与方法介绍

数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题。这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现。因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好技能准备。解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整。合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求。

数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。

二、方法技巧

（一）直接法

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

例1 设[a=（m+1）i-3i，b=i+（m-1）j，]其中i，j为互相垂直的单位向量，又[（a+b）⊥（a-b）]，则实数m =              。

解：[a+b=（m+2）i+（m-4）j，a-b=mi-（m+2）j.]∵[（a+b）⊥（a-b）]，∴[（a+b）?（a-b）=0]∴[m （m+2）j2+[ - （m+2）2+m （m-4）]i?j-（m+2）（m-4）j2=0]，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得[m（m+2）-（m+2）（m-4）=0，]∴[m=-2]。

例2 已知函数[f（x）=ax+1x+2]在区间[（-2，+∞）]上为增函数，则实数a的取值范围是。

解：[f（x）=ax+1x+2=a+1-2ax+2]，由复合函数的增减性可知，[g（x）=1-2ax+2]在[（-2，+∞）]上为增函数，∴[1-2a<0]，∴[a>12]。

例3 现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为。

解：由题设，此人猜中某一场的概率为[13]，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为[1313]。

（二）特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

例4 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则[cosA+cosC1+cosAcosC=]。

解：特殊化：令[a=3，b=4，c=5]，则△ABC为直角三角形，[cosA=35，cosC=0]，从而所求值为[35]。

例5 过抛物线[y=ax2（a>0）]的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则[1p+1q=]。

分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

解：设k=0，因抛物线焦点坐标为[（0，14a），]把直线方程[y=14a]代入抛物线方程得[x±12a]，∴[|PF|=|FQ|=12a]，从而[1p+1q=4a]。

例6  求值[cos2a+cos2（a+120°）+cos2（a+240°）=]

。

分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令[a=0°]，得结果为[32]。

（三）数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例7   如果不等式[4x-x2>（a-1）x]的解集为A，且[A?{x|0

解：根據不等式解集的几何意义，作函数[y=4x-x2]和函数[y=（a-1）x]的图象（如图），从图上容易得出实数a的取值范围是[a∈2，+∞]。

[y][x][0][2][4]

例8 已知实数x、y满足[（x-3）2+y2=3]，则[yx-1]的最大值是               。

解：[yx-1]可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆[（x-3）2+y2=3]上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率[yx-1]最大，最大值为[tanθ=3]。

（四）等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

例9 不等式[x>ax+32]的解集为（4，b），则a=              ，b=                。

解：设[x=t]，则原不等式可转化为：[at2-t+32<0，]∴a > 0，且2与[b（b>4）]是方程[at2-t+32=0]的两根，由此可得：[a=18， b=36]。

例10 不论k为何实数，直线[y=kx+1]与曲线[x2+y2-2ax+a2-2a-4=0]恒有交点，则实数a的取值范围是                。

解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆[（x-a）2+y2=2a+4]，∴[-1≤a≤3]。

例11 函数[y=4x-1+23-x]单调递减区间为                 。

解：易知[x∈[14，3] ， y>0.]∵y与y2有相同的单调区间，而[y2=11+4-4x2+13x-3]，∴可得結果为[138，3] 。

总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。

【巩固练习】

1.已知函数[fx=x+1]，则[f-13=_______。]

【解析】由[3=x+1]，得[f-13=x=4]，应填4。

请思考：为什么不必求[f-1x]呢？

2.集合[M=x-1≤log1x10<-12， x∈N]的真子集的个数是[______。]

【解析】[M  =    x    1  ≤  lg  x  <  2  ，   x  ∈  N  =x10≤x<100 ， x∈N]，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是[290-1]，应填[290-1]。

快速解答此题需要记住小结论；对于含有n个元素的有限集合，其真子集的个数是[2n-1。]

3.若函数[y=x2+a-2x+3， x∈a，b]的图象关于直线[x=1]对称，则[b=______。]

【解析】由已知抛物线的对称轴为[x=-a+22]，得 [a=-4]，而[a+b2=1]，有[b=6]，故应填6。

4.如果函数[fx=x21+x2]，那么[f1+f2+f12+f3+f13+f4+f14=_______。]

【解析】容易发现[ft+f1t=1]，这就是我们找出的有用的规律，于是原式＝[f1+3=72]，应填[72。]

5. 已知点P [tanα，cosα]在第三象限，则角[α]的终边在第象限。

【解析】由已知得 [tanα<0，cosα<0，?sinα>0，cosα<0，]

从而角[α]的终边在第二象限，故应填二。

6.不等式[lg202cosx≥1]（[x∈0，π]）的解集为 。

【解析】注意到[lg20>1]，于是原不等式可变形为[2cosx≥0?cosx≥0。]

而[0

7.如果函数[y=sin2x+acos2x]的图象关于直线[x=-π8]对称，那么[a=_______。]

【解析】[y=1+a2sin2+?]，其中[tan?=a]。

[∵ ][x=-π8]是已知函数的对称轴，[∴2-π8+?=kπ+π2]，即[?=kπ+3π4，k∈Z]，于是 [a=tan?=tankπ+3π4=-1。]故应填 [-1]。

在解题的过程中，我们用到如下小结论：函数[y=Asinωx+?]和[y=Acosωx+?]的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形。

8. [x2+1x-27]的展开式中[x3]的系数是[__________。]

【解析】由[x2+1x-27=x2x-27+x-27]知，所求系数应为[x-27]的x项的系数与[x3]项的系数的和，即有[C67-26+C47-24=1008，]故应填1008。

9. 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5， 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________。

【解析】长方体的对角线就是外接球的直径[2R]， 即有[2R2=4R2=32+42+52=50，]从而[S球=4πR2=50π]，故应填[50π。]

10.  若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）。

【解析】本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： [116]，[1112] ，[1412]，故应填[116]、[1112] 、[1412] 中的一个即可。

11. 如下图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 。（要求：把可能的图的序号都填上）

【解析】因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影。

四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图2所示；

四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图3所示，故应填23。

12.直线[y=x-1]被抛物线[y2=4x]截得线段的中点坐标是___________.

【解析】由[y=x-1，y2=4x]消去y，化简得[x2-6x+1=0，]

设此方程二根为[x1，x2]，所截线段的中点坐标为[x0，y0]，则[x0=x1+x22=3，y0=x0-1=2。]

故应填 [3，2]。

13.椭圆[x29+y225=1]上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是________。

【解析】记椭圆的二焦点为[F1，F2]，有[PF1+PF2=2a=10，]

则知  [m=PF1?PF2≤PF1+PF222=25。] 显然当[PF1=PF2=5]，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25。

故应填[-3，0]或[3，0。]