子群与不变子群的充要条件

王建莉，李晓雪

（1.包头师范学院 数学科学学院，内蒙古 包头；2.太仆寺旗第三小学,内蒙古 锡林郭勒）

1 子群的定义及充要条件

定义1；如果群G 的子集H 对于乘法本身也能做成群，则说G 是一个群。

定理1：群G 的一个子集H 是G 的子群的充要条件是：

证明：若是（i），（ii）成立，H 作为一个群。

1.由于（i），H 是闭的；

2.在G 中运算适合结合律，在H 中也适合结合律；

3.因为H 至少有一个元a，由（ii），H 也有元a-1，所以由（i）

4.由（ii）知，对于H 的任意元a 来说H 有元a-1，则有, a-1a=e。反之，假定H 是一个子群，则可得到（i）。要证明（ii）成立。因为H 也是一个群，H 就会有单位元e'。在H 中取一个元素a，那么e'a=a。但e'和a 都属于G，因此e'也就是ya=a 在G 中的解。不过该方程在G中只有一个解，而且是G 中的单位元e。所以

因此，因为H 是一个群，方程ya=e 在H 中有一个解a'，但a'也是这个方程在G 里的解，而这个方程在G 里只有一个解，就是a-1。即

定理2：群G 的子集H 也是G 的子群的充要条件为：

证明：如果证明（i）与（ii）成立，（iii）成立。如果a,b是H 的元素，

定理3：如果G 是个群,H 就是G 的有限的子集,那么

证明：必要性成立，下面证明充分性也成立。H 是一个有限集合，设H 有n 个元素

在H 中任取一个元素ak，和（1）式中的所有n 个元素作乘法运算，可得

根据定理所给的条件，（2）式中的所有n 个乘积都属于H，而ak也属于H，但H 只有n 个不同的元素，所以（2）式的n 个乘积中，必有一个而且也只有一个和ak相同，为方便起见，设为a1ak，于是有

由（6）式可知，群G 的有限子集合H也就是群。

例1：试找出群S3的全部子群[1]。

解：易知S3的以下六个子集H1={(1)},H2={(1),(12)},H3={(1)，(31)},H4={(1)，(32)},H5={（1），（312），（213）}，H6=S3，以上集合满足子群的充要条件，所以是S3子群。

下证S3仅有这六个子群。

如果H 是S3子集，那么因为|H|为|S3|=6 的因子，于是|H|=2,3。

|H|=2,在H 中除了元素(1)外，其他元素是二阶的元素。但由于S3有且只有三个二阶元，即为(12)，(13)，(23)，所以子集H 只能为H2,H3,H4。

当|H|=3 时，由有限群的阶与元的阶的关系可知，H 中元素的阶一定是三的因数，即为1 或3。所以在H中除单位元之外的其它两个元素一定是三阶元。又由于S3中只有两个三阶元，并且为(123)和(123),所以只能H=H5。

由上述证明，S3只能有六个这样的子群。

2 子群的陪集

定义2：一个群G 和G 的一个子群H，规定一个G 的元中间的关系～(～`)：

3 子群的指数

定理4：如果群G的任意元素a的阶n 能够整除G的阶[2]。

例4：如果G 这个群是交换群，而且阶就是个2n，那么证明当n 是奇数的时候，G 也就只有一个2 阶的子群。

证明：在G 中有偶数多个阶数大于2 的元素，并且特殊元e 的阶为数1，G 的阶是2n，因此G 中也一定包含奇数多个2 阶的元。

这个结论和n 是一个奇数互相矛盾，因此G 只能为2 阶的元，也就是说群G 只能存在一个2 阶的子群。

例5：设群G 的阶数大于2，且G 中的任意元素都满足方程x2=e，证明：群G 一定含有4 阶子群。

证明：

由于G 里的每一个个元都适合x2=e，又有|e|=1，因此G 里e 以外的元的阶数是2，所以每一个元素的逆元素是它自己。

由（7）式和（8）式可得aNa-1=N。

因此由定理1 得，N 是不变子群。

例6：设H,N 是群G 的两个子群，证明：

（1） 如果H,N 中有一个是不变子群，则HN≤G;

（2） 如果H,N 都是G 的不变子群，则HN 是群G 的一个不变子群。

证明：(1)假如H,N 里有一个是不变子群，如果N是群G 的不变子群，则在乘积HN 中任取两个元素a,b，并令

5 不变子群与商群

例8：证明：如果群G 只有一个n 阶子群，那么这个n 阶子群一定是G 的不变子群[5]。

证明：如果H 为群G 的n 阶的子群，那么G 中的元a，aHa-1为G 的n 阶的子群。

综上所述，H 为群G 的不变子群。

6 结论

子群与不变子群的性质与应用在现代代数群论这一方面有着非常关键的作用，特别是子群的性质，它是进一步研究其它群的桥梁，对整个群的性质与结构都有着很大的影响。从不变子群的左右陪集、形成的商群和同态三部分进行分析。同态是比较复杂的内容，习题中多会运用到之前的知识，较为综合。其他内容，主要涉及了群的指数、群的阶等多个方面的内容。通过对子群与不变子群的例题的解答，说明子群与不变子群在数学应用中的灵活性与严密性。