解应用题勿忘根的取舍

蔡忠平

应用一元二次方程解应用题是初中数学的重点之一，也是历年中考的热点题型.解这类问题时，同学们一定要注意解得的根要结合题意和生活实际注意取舍.下面结合近年来中考真题对常见错误进行归纳，并加以分析.

类型一：降低率要小于1，大于1的根应舍去

例1 （2022·山西·太原）某楼盘准备以每平方米12 000元的均价对外销售，由于有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格进行两次下调后，决定以每平方米7680元的均价开盘销售.求平均每次下调的百分率.

错解：因为平均每次下调的百分率都相同，设平均百分率为x，则第一次下调后均价为每平方米12 000（1 - x）元，第二次下调后均价为每平方米12 000（1 - x）2元，则可列方程12 000（1 - x）2 = 7680，解得x1 = 0.2 = 20%，x2 = 1.8 = 180%.

答：平均每次下调的百分率为20%或180%.

正解：若下调的百分率为1.8，即180%，则第一次下调后均价为12 000（1 - 180%） = - 9600（元），出现负值，因此x2 = 1.8不符合题意，故应舍去.所以每次下调的百分率是20%.

类型二：利润问题要根据题干的“暗示”进行取舍

例2 （2021·浙江·台州）某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元，为了扩大销量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件.若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价多少钱？

错解：设每件衬衣应降价x元，根据题意，可列方程（50 - x）（30 + 2x） = 2000.整理得x2 - 35x + 250 = 0，解得x1 = 10，x2 = 25.因此每件衬衣应降价10元或25元.

正解：当x1 = 10时，每天可售出50件，当x2 = 25时，每天可售出80件，由于题干中有“尽快减少库存”的暗示，所以同等利润下销量越大时，库存减少得越快，故选择降价较大的根.因此，每件衬衣应降价80元.

类型三：面积问题要结合图形的长度进行取舍

例3 （2022·福建·福州）如图1，在“精准扶贫”工作中，村委会建议某贫困户借助家里长25 m的墙AB建造面积为450 m2的矩形区域用来养殖绵羊，村委会准备修建长为65 m的篱笆提供给该贫困户.若选取墙AB的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少米？

错解：设CF的长度为x米，则CD = [65-x2]米. 可列方程[x·65-x2=450]，整理得x2 - 65x + 900 = 0，解得x1 = 20，x2 = 45.因此，在墙AB上借用的CF的长度为20 m或45 m.

正解：由“选取墙AB的一部分作矩形的边”，且“借助家里长25 m的墙AB建造……”可知CF ≤ AB，所以x2 = 45不合题意，要舍去.所以CF的长度为20 m.

类型四：题中条件与根有关联

例4 （2021·山东·青岛）某超市销售一种商品，每件成本为55元，经市场调研发现，该商品平均每月的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其部分对应值如下表所示：

超市要想使这种商品平均每月的销售利润达到6300元，同时要求该商品的月销售量不低于160件，商品的销售单价应为多少元？

错解：因为月销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，故可设y = kx + b（k ≠ 0），将（60，300），（63，288）代入y = kx + b，得[60k+b=300，63k+b=288，]解得[k=-4，b=540，]所以y = - 4x + 540，可列方程（x - 55）（ - 4x + 540） = 6300，整理得x2 - 190x + 9000 = 0，解得x1 = 90，x2 = 100.因此商品的銷售单价应为90元或100元.

正解：由于题目中要求该商品的月销售量不低于160件，因此 - 4x + 540 ≥ 160，解得x ≤ 95，即销售单价不超过95元，因此x2 = 100不合题意，要舍去.正确答案为商品的销售单价应为90元.

类型五：数字问题易丟解

例5 （2021·河南·新乡）一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.

错解：设原来的两位数的十位数字是x，则个位数字为5 - x.根据题意，得［10x + （5 - x）］ × ［10（5 - x） + x］ = 736，整理得x2 - 5x + 6 = 0. 解得x1 = 2，x2 = 3. 因此，原来的两位数是23.

正解：方程的两个解都符合题意，所以原来的两位数是23或32.

类型六：注意动点的运动时间

例6 （2022·广西·来宾）如图2，在△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 8 cm，BC = 6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1 cm/s的速度向点B移动，点Q在BC上以2 cm/s的速度向点C移动，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动.在两个点的移动过程中，何时△PBQ的面积为15 cm2？

错解：设运动时间为t s，则BP = 8 - t，BQ = 2t，可列方程[12]（8 - t）·2t = 15. 整理得t2 - 8t + 15 = 0，解得t1 = 3，t2 = 5.因此，当t = 3 s或5 s时，△PBQ的面积为15 cm2.

正解：因为BC = 6 cm，点Q在BC上以2 cm/s的速度向点C移动，所以2t ≤ 6，得t ≤ 3. 故t = 5不合题意，应舍去. 所以t = 3 s时，△PBQ的面积为15 cm2.

类型七：平面和立体图形转化时，结合图形定取舍

例7 （2021·山东·日照）如图3，小明同学用一张长11 cm、宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠（损耗不计）. 求剪去正方形的边长为多少.

错解：设剪去正方形的边长为x cm，可列方程（11 - 2x）（7 - 2x） = 21，整理得x2 - 9x + 14 = 0.解得x1 = 2，x2 = 7. 因此剪去正方形的边长为2 cm或7 cm.

正解：当剪去正方形的边长为2 cm时，长方体纸盒的长为11 - 2 × 2 = 7（cm），宽为7 - 2 × 2 = 3（cm）. 而当剪去正方形的边长为7 cm时，长方体纸盒的长为11 - 7 × 2 = - 3（cm），宽为7 - 7 × 2 = - 7（cm），不符合实际，故x = 7应舍去.正确答案为剪去正方形的边长为2 cm.

综上所述，应用一元二次方程解应用题时，要认真审题，关注题中每一个条件，特别是一些隐性条件，并联系生活实际考虑根的取舍.