探寻抛物线平移规律

刘家良

“上加下减，左加右減”是解抛物线平移的常用口诀，但许多同学只知其然不知其所以然. 下面结合实例探寻口诀“法之源”.

例1 （2022·浙江·湖州）将抛物线y = x2向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是（）.

A. y = x2 + 3 B. y = x2 - 3 C. y = （x + 3）2    D. y = （x - 3）2

解析：设（x，y）为抛物线y = x2上的任意一点，其对应点为（x1，y1），则x1 = x，y1 = y + 3，于是x = x1，y = y1 - 3. 将x = x1，y = y1 - 3代入y = x2，得y1 - 3 = x12，于是y1 = x12 + 3. 因为（x1，y1）为所得抛物线上的任意一点，所以所得抛物线解析式为y = x2 + 3. 故选A.

例2 二次函数y = x2 + 4x + 3的图象可以由二次函数y = x2的图象平移得到，下列平移正确的是（）.

A. 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度

B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度

C. 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度

D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度

解析：y = x2 + 4x + 3 = （x + 2）2 - 1，其顶点为（ - 2，- 1）. 二次函数y = x2的顶点为（0，0），比较两个顶点的坐标，发现原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度. 故选B.

例3 抛物线y = ax2 + bx + c经过A（- 3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x - 1）2 + c = b - bx的解是____.

解析：由a（x - 1）2 + c = b - bx得a（x - 1）2 + b（x - 1） + c = 0. 设y = a（x - 1）2 + b（x - 1） + c，比较两个抛物线，发现y = a（x - 1）2 + b（x - 1） + c是由y = ax2 + bx + c向右平移1个单位长度得到的，相应地，点A，B将向右平移1个单位长度，得A′（ - 2，0），B′（5，0），所以一元二次方程a（x - 1）2 + c = b - bx的解是x1 =  - 2，x2 = 5. 故填x1 = - 2，x2 = 5.

总结：此类问题的解题思路是将抛物线的平移转化为抛物线上点的平移. 类似地，直线、双曲线的平移也都可用这种“化线为点”的方法探寻.