例析带电粒子在洛伦兹力作用下的多解问题

■重庆市巫溪县中学校 刘显平

不考虑重力的带电粒子垂直射入匀强磁场中,带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用,将在与磁场方向垂直的平面内做匀速圆周运动。带电粒子在洛伦兹力作用下运动时,会因受诸多因素的影响,而出现多解。分析多解问题的关键是明确形成多解的原因,并全面分析符合题意的各种可能性,避免漏解。下面归纳四种因素导致的带电粒子在磁场中的多解问题的求解策略,希望对同学们的复习备考有所帮助。

一、因带电粒子的电性不确定而导致的双解问题的求解策略

电荷有正有负,在题目未明确指出受洛伦兹力作用的粒子是带正电还是带负电的情况下,粒子以一定的初速度垂直射入匀强磁场后在垂直于磁场方向的平面内将可能沿顺时针方向做匀速圆周运动,也可能沿逆时针方向做匀速圆周运动,这样就会导致出现双解。

例1如图1 所示,在平面直角坐标系Oxy的第一象限内分布着垂直于纸面向内的匀强磁场,磁感应强度为B。一带电荷量为q、质量为m的粒子,以速度v沿与x轴正方向成30°角的方向,从坐标原点O射入磁场中,不计粒子自身重力,则粒子在磁场中的运动方向和运动时间分别为( )。

图1

A.粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动,在磁场中的运动时间为

B.粒子沿顺时针方向做匀速圆周运动,在磁场中的运动时间为

C.粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动,在磁场中的运动时间为

D.粒子沿顺时针方向做匀速圆周运动,在磁场中的运动时间为

解析:因为不知粒子所带电荷是正还是负,所以需要分两种情况进行讨论。若粒子带正电,则根据左手定则可知,它仅在洛伦兹力作用下沿逆时针方向做匀速圆周运动,其运动轨迹如图2 所示。根据几何知识可知,粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角θ1=120°。粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期,因此它在磁场中的运动时间。若粒子带负电,同理可知,它仅在洛伦兹力作用下沿顺时针方向做匀速圆周运动,其运动轨迹如图3 所示。粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角θ2=60°,粒子在磁场中的运动时间。

图3

答案:AD

二、因磁场方向不确定而导致的双解问题的求解策略

在题目只确定磁感应强度的大小,而未明确指出磁感应强度方向的情况下,带电粒子以一定的初速度垂直射入匀强磁场后受到的洛伦兹力的方向将变得不确定,这样就会导致出现双解。

例2如图4所示,一带电荷量为-q、质量为m的电子在磁感应强度为B的匀强磁场(图中未画出)中绕固定的正电荷沿光滑轨道做匀速圆周运动。若匀强磁场方向垂直于电子运动轨迹所在平面,且作用于电子的静电力恰好等于洛伦兹力的2倍,不计电子自身重力,则电子做圆周运动的角速度可能是( )。

图4

解析:匀强磁场的方向可能垂直于纸面向里,也可能垂直于纸面向外,根据左手定则可知,电子在方向相反的两种匀强磁场中受到的洛伦兹力方向也是相反的。在由固定的正电荷形成的电场中,电子受到的静电力由电子所在位置指向正电荷。设轨道半径为R,当电子受到的洛伦兹力与静电力方向相同时,根据牛顿第二定律得,解得,因此电子做圆周运动的角速度。当电子受到的洛伦兹力与静电力方向相反时,根据牛顿第二定律得,解得,因此电子做圆周运动的角速度。

答案:BD

三、因临界状态不唯一而导致的多解问题的求解策略

如图5 所示,在长度为l的平行边界MN、PQ之间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场,边界MN、PQ之间的距离为d,当带电粒子从M、P两点之间某一位置以某一初速度垂直于磁场方向飞入后,粒子在洛伦兹力的作用下可能从右侧穿出磁场,也可能偏转180°从左侧穿出磁场,这样就会导致出现多解。

图5

例3如图6 所示,足够长平行边界a、b之间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场,磁场的宽度为L。一带电荷量为+q、质量为m的粒子,以速率v0沿与边界a成夹角θ的方向,从边界a上的P点射入磁场中,不计粒子自身重力,求粒子从匀强磁场中射出所经历的时间。

解析:粒子既可以从边界b射出,也可以从边界a射出,需要分两种情况进行讨论。根据带电粒子所受洛伦兹力提供它做匀速圆周运动所需的向心力得,解得。若粒子恰能从边界a射出,则粒子的运动轨迹如图7 所示,根据几何关系得L=R(1+cosθ)。因此当时,粒子将从边界a射出,所经历的时间,又有,解得。当时,粒子将从边界b射出。若粒子从边界b射出,则粒子的运动轨迹如图8 所示,根据几何关系得L=R(cosθ+sinβ),粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角,粒子从匀强磁场中射出所经历的时间,且。

图7

图8

四、因运动具有周期性而导致的多解问题的求解策略

带电粒子在匀强磁场中做周期性的匀速圆周运动,或在周期性变化的磁场中做往复运动,都将会导致出现多解。求解因运动具有周期性而导致的多解问题,可以借助分析第一个周期内粒子的运动规律,找到周期性运动的通解,以及需要满足的限定条件,进而将通解变为有限个解或单一解。

例4如图9甲所示,间距为l的M、N两块平行金属板竖直放置,两金属板中央各有一个小孔O、O',两小孔正对。两金属板间分布着垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化规律如图9乙所示。一群质量为m、带电荷量为-q的粒子在t=0时刻垂直于磁场方向从小孔O射入磁场,已知负粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期相同,均为T0。不考虑因磁场变化而产生的电场影响,不计粒子自身重力和粒子之间的相互作用。

图9

(1)求磁感应强度B0的大小。

(2)要使负粒子从小孔O'垂直于N板射出磁场,求负粒子射入磁场时的速度v0的可能值。

解析:设垂直于纸面向外的磁场方向为正方向,两金属板间的距离l足够大,则粒子在t=0时刻垂直于M板从小孔O射入磁场后,将在时间内沿逆时针方向做周的匀速圆周运动,在时间内沿顺时针方向做周的匀速圆周运动,在时间内沿逆时针方向做周的匀速圆周运动,然后重复0～T0时间内的运动。

(1)负粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用做匀速圆周运动,设粒子的运动速度为v,运动轨迹半径为R,根据洛伦兹力提供向心力得,又有负粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期,解得。

(2)根据负粒子在磁场中的运动规律可知,要使负粒子从小孔O'垂直于N板射出磁场,则它射入磁场时的速度v0的方向如图10所示,若负粒子在两金属板之间只完成一个周期T0内的运动就从小孔O'垂直于N板射出磁场,则,又有,,解得。若负粒子在两金属板之间完成n个周期nT0内的运动再从小孔O'垂直于N板射出磁场,则,解得。综上,满足题意的负粒子射入磁场时速度的可能值。

图10

总结:带电粒子在洛伦兹力的作用下会受不同因素的影响而出现多解问题,求解带电粒子的多解问题时,需要先根据已知条件,确定形成多解的原因,再根据粒子的运动规律,作出粒子的运动轨迹示意图,全面考虑满足题目条件的多种可能性,最后根据粒子满足的物理规律列式求解。