高观点视角下的必要性探路问题及高考应用

陕西省榆林市吴堡中学(718200)郭蒙

《普通高中数学课程标准》(2017 年版2020 年修订)第88 页在考试命题原则中强调: 考查内容应围绕数学内容为主线,聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用,强调基础性、综合性;注重数学本质、通性通法,淡化解题技巧.把握数学核心概念的本质,明晰什么是数学的通性通法,在第97 页中强调: 我们教师应关注理解与高中数学关系密切的高等数学的内容,能够从更高的观点理解高中数学知识的本质[1].必要性探路是指对某些与函数有关的恒成立问题,通过选取函数定义域内的某些特殊值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内进行讨论,或去验证其充分性,进而得到参数的准确范围的方法,本文主要研究其在高考中的应用.

1 必要性探路

若f(x) ≥0 恒成立,求参数a的取值范围集合A,可以选一个特殊的x0代入f(x) ≥0 中,解出参数a的一个取值范围B,则必有A⊆B,即B为f(x) ≥0 成立的必要条件,因此称为必要性探路.在集合B的范围内讨论参数a便可减少讨论次数,降低思维的成本.在解题时希望B=A,即B为f(x)≥0 成立的充分条件,对于部分试题,这并非巧合,将f(x) ≥0 转化为g(x) ≥l≥h(x),其中l为g(x)与h(x)的公切线,g(x)与h(x)分别位于切线l的两侧,而代入的特殊值x0恰好为切点的横坐标,因此出现B=A的情况.

评注必要性探路的方法求出的结果并不一定就是所求的实际范围,但可以缩小参数的讨论范围,减少分类讨论的类别,降低思维的成本,此法求得的参数范围为f(x) ≥0 的必要条件,必须证明充分性.

例1(2022 年高考甲卷理科第21 题) 已知函数.若f(x)≥0,求a的取值范围.

解析因为f(x)≥0,所以f(1)≥0,即a≤e+1.下证充分性.

当a≤e+1 时,,由切线不等式ex≥ex,lnx≤x-1 得,,当且仅当x= 1 时取等号,充分性成立,因此a的取值范围(-∞,e+1].

评注不等式可变为, 设,g(x) = lnx-x+a,切点坐标为P(x0,y0),则f(x0) =g(x0),f′(x0) =g′(x0).进而得到,x0=1.

将x= 1 代入f(x) ≥0,解出a的范围即为所求答案, 在充分性证明, 完美解答了此题, 图1 为示意图.

2 端点效应

命题1若f(x,m) ≥0 (m为参数)在[a,b] (a,b为常数) 上恒成立, 且f(a) = 0 (或f(b) = 0), 则f′(a) ≥0 (或f′(b)≤0).

命题2若f(x,m)≥0 (m为参数)在[a,b] (a,b为常数)上恒成立,且f(a) = 0,f′(a) = 0(或f(b) = 0,f′(b) = 0),则f′′(a)≥0(或f′′(b)≤0).

推论1若f(x,m) ≥0 (m为参数)在[a,b] (a,b为常数)上恒成立,且f(a)=0,f′(a)=0,··· ,f(n-1)(a)=0,则f(n)(a)≥0,n≥1,n∈N.

推论2若f(x,m) ≥0 (m为参数)在[a,b] (a,b为常数)上恒成立,且f(b) = 0,f′(b) = 0,··· ,f(n-1)(b) = 0,则f(n)(b)≤0,n≥1,n∈N.

评注上述结论的细节请参看文献[2].多次应用命题1、2 即可得到推论1、2,此法求得的参数范围为答案的必要条件,必须证明其充分性,端点效应为必要性探路的一种特殊情况,在利用端点效应求得的参数范围下,当f(n)(x)不变号时, 可得到f(x)为单调函数, 此参数范围必满足充分性,即为所求答案,当f(n)(x)变号时,此时端点效应可能失效.2023 年全国各地高考数学导数压轴题,大部分恒成立试题都可以利用端点效应解答,高考命题人更倾向于考查学生利用分类讨论法解答此类题的能力,可以利用端点效应得到参数的分界点,进而利用分类讨论法完美解答.

例2(2023 年高考甲卷理科第21 题) 已知函数;(1) 略.(2)若f(x) < sin 2x恒成立,求a的取值范围.

方法一 (端点效应)设g(x)=f(x)-sin 2x,,则g(x) < 0 在上恒成立, 因为g(0) = 0, 所以g(x) ≤0 在上恒成立, 由端点效应可得g′(0) ≤0,,因此a-3 ≤0 即a≤3.

下证充分性.当a≤3 时,令t=cos2x,则t∈(0,1),,0

评注本题可转化为端点效应题型,并且充分性成立,充要性得证利用端点效应可缩小参数的范围,使得分类讨论的问题得到了简化,端点效应为我们用分类讨论解题提供了参数的分界点.

方法二(分类讨论)设g(x)=f(x)-sin 2x,,则g(x)<0 在上恒成立,g(0)=0,

因此g′(x) < 0, 函数g(x) 在上单调递减,g(x) 0 即a> 3 时, 设m(x)=x-sinx,x∈(0,+∞),因为m′(x)=1-cosx≥0,所以m(x)在(0,+∞)上单调递增,m(x) >m(0) = 0,因此sinx0,故

评注本解法要求学生具有较强的数学运算能力,对于矛盾区间(矛盾点)可以直接对原函数进行放缩.

例3(2023 年高考甲卷文科第21 题)已知函数.(1) 略.(2)若f(x)+sinx<0,求a的取值范围.

方法一(端点效应)设,则g(x) < 0 在上恒成立,因为g(0) = 0,所以g(x) ≤0 在上恒成立,由端点效应得g′(0) ≤0,因为,所以a≤0.

下证充分性.当a≤ 0 时, 因为, 所以0

故g(x)在上单调递减,g(x)

评注本题可转化为端点效应题型,检验充分性成立,充要性得证,得到的答案为我们利用分类讨论法提供参数的分界点,进而完美解答此题.

方法二 (分类讨论+ 连续函数保号性)设,则g(x)<0 在上恒成立,,g(0) = 0,g′(0) =a.当a≤0 时由方法一可知,满足题意.当a>0 时,g′(0)=a>0由于函数g′(x)在上连续,因此存在δ> 0 且,使得当0 0,函数g(x)在(0,δ)上单调递增,g(x) >g(0) = 0,不满足题意,舍去.综上,a的取值范围为a≤0.

评注利用必要性探路可得到参数的分界点,以此分界点进行分类讨论,在利用连续函数保号性推出矛盾,巧妙地解答了此题.

方法三(分类讨论+放缩法)设

则g(x) < 0 在上恒成立,,g(0)=0,g′(0)=a.当a≤0 时,满足题意.当a>0 时,因为sinx 0, 所以, 取, 满足,因此与已知矛盾,舍去.综上,a的取值范围为a≤0.

评注以必要性探路得到的参数分界点进行分类讨论,利用sinx

例4(2023 年高考乙卷文科第20 题) 已知函数.(1) 略.(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求a的取值范围.

方法一(端点效应)由题意得f′(x) ≥0 在(0,+∞)上恒成立,, 令, 则g(x) ≥0 在(0,+∞)上恒成立, 因为g(0) = 0, 所以g(x) ≥0 在[0,+∞) 上恒立,,g′(0) = 0,g′′(0) = 2a-1,因此g′′(0) = 2a-1 ≥0,解得.

因此g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x) >g(0) = 0,满足题意.综上,a的取值范围为.

评注本题可化为端点效应题型,检验充分性成立,充要性得证,以此为参数的分界点可以利用分类讨论法得到满分.

方法二(分类讨论)由题意得

图2

图3

评注利用必要性探路可得到参数的分界点,以此分界点展开分类讨论,进而完美的解答了此题.

方法三(极限保不等式性质+必要性探路)由题意得f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,因此

评注利用极限保不等式性质,缩小了参数a的范围,再检验其充分性,完美解答了该问题.在解题过程中,利用对数“单身狗”,减少了运算量.

例5(2023 年高考新课标Ⅱ卷第22 题)

(1)证明当0

(2) 已知函数f(x) = cosax-ln(1-x2), 若x= 0 是f(x)的极大值点,求a的取值范围.

(1)证明设g(x)=sinx-(x-x2)=sinx-x+x2,x∈

(0,1),g′(x) = cosx-1+2x,g′′(x) = 2-sinx> 0,因此g′(x) 在(0,1) 上单调递增,g′(x) >g′(0) = 0, 故g(x) 在(0,1) 上单调增,g(x) >g(0) = 0, 即x-x2< sinx, 设m(x) =x-sinx,x∈(0,1), 因为m′(x) = 1-cosx≥0,所以m(x) 在(0,1) 上单调递增,m(x) >m(0) = 0, 因此sinx

(2)解析函数f(x) 的定义域为(-1,1),f(-x) =cos(-ax) - ln[1 - (-x)2] =f(x), 因此函数f(x) 为偶函数,,f′(0) = 0.因为x= 0是f(x) 的极大值点, 因此存在δ> 0 且, 当0

即f′(x) > 0, 不满足题意, 舍去.当时, 因为h′(0) = 2 -a2< 0 且函数h′(x) 在(0,1) 上连续, 因此存在充分小的δ> 0, 当0

评注此解法充分利用极值点概念,极值点为函数的局部性质,利用端点效应,得到答案的必要条件,使得参数范围缩小,在进一步验证充分性,完美解答此题,此题其它解法可参见文献[3].2022 年全国乙卷理科第21 题,2022 年新高考全国Ⅱ卷第22 题,2020 年新高考Ⅰ卷第21 题,2010 年湖北高考理科第21 题,2016、2017 年全国ⅠⅠ卷文科数学第21 题,2019 年高考全国Ⅰ卷文科第20 题都可利用端点效应完美解答,在运用端点效应解题时,有时也出现了端点效应失效,如2020 年新高考卷第21 题.

例6(2020 年高考Ⅰ卷理科第21 题) 已知函数f(x)=ex+ax2-x,当x≥0 时,,求a的取值范围.

方法一(必要性探路)令,则g(x)≥0在[0,+∞) 上恒成立, 因此g(2) ≥ 0, 解得.

方法二(分类讨论)令,则g(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,当时,解法同方法一.当时,g(2)=e2-7+4a

评注令,则h(x) ≥0在[0,+∞)上恒成立,,h′′(x)=ex-3x+2a,h(0)=0,h′(0)=0,因此h′′(0)≥0,得,但是,并不是答案,原因在哪?

图4

从上面分析中可以看出, 端点效应失效一个原因是, 原函数取等于0 时除了端点x= 0还可以有一个零点.当时,h(x)的图象如图5 所示.此题还可利用分离参数法或者直接利用指数找朋友分类讨论法解答,也可以在范围内进行讨论,进而得到参数的准确范围,此处略去.本题难度较大,利用必要性探路, 充分性证明, 完美解答, 大大降低了试题的难度,要求学生具有较强的逻辑推理,直观想象能力.

图5

3 结语

必要性探路,是解决含参数不等式恒成立的一个有力武器,取特殊点不是靠运气,而是有一定原因的,作为教师应该帮助学生讲好背后的精彩故事,导数恒成立压轴题如果不易分类讨论、也不容易进行分离参数时,不妨尝试此法,虽然得到的参数范围是必要的,不一定满足充分性,但可以使得参数范围缩小,分类讨论的问题会简化,从2023 年高考导数压轴题也可以看出,必要性探路是一种克敌制胜的法宝,用高观点来指导高中数学的教学是很有必要的,可以将问题化难为易,变得简单明了,很多问题只有在高观点下才能得到更深刻的理解,只有厘清高等数学与初等数学的结合点,深入剖析高考热点问题,才能准确把握高考命题的新方向,在高三一轮复习时,老师们应重视基础知识,强化基础知识的落实,为二轮复习做好铺垫,重视通性通法,重视知识的形成过程,淡化技巧,做完题要反思,体会出题人的意图,明确考察的知识与能力,落实数学学科核心素养,重视导数与三角函数、数列等的多元融合,适当渗透高观点去探究问题的本质,开阔解题思路,提高学生分析问题、解决问题的能力,进一步提升学生的数学学科素养,希望本文对读者的学习有一定的启发作用.